Il comportamento del motore asincrono è descritto da un sistema di equazioni non lineari; non è, quindi, possibile, quando si desidera ricavare dei legami funzionali, determinare delle funzioni di trasferimento relative alle piene escursioni delle variabili, ma occorre limitarsi a considerare funzioni di trasferimento relative a piccole variazioni attorno a un punto di lavoro (linearizzazione).

La linearizzazione è, però, facilitata dalla constatazione che il valore medio della coppia motrice è influenzato solo dalla prima armonica della tensione (o corrente) di alimentazione; è, pertanto, possibile considerare una alimentazione sinusoidale scegliendo assi di riferimento d e q rotanti con una velocità angolare pari alla pulsazione istantanea della tensione (o della corrente) di alimentazione.

La tecnica di controllo impiegata per l’azionamento può prevedere che l’algoritmo di controllo determini: -il modulo e la frequenza della tensione da applicare all’avvolgimento di statore del motore, che risulta, quindi, alimentato a tensione impressa; -il modulo e la direzione del vettore di corrente da applicare all’avvolgimento di statore del motore.

Nel secondo caso l’alimentazione del motore può venire effettuata impiegando un convertitore a corrente impressa oppure un convertitore a tensione impressa con opportuni anelli di controllo atti ad imporre la corrente desiderata. Quando si impiega un convertitore a corrente impressa l’alimentazione del motore, risulta, ovviamente, effettuata in corrente; anche quando si utilizza un convertitore a tensione impressa, se gli anelli di controllo della corrente sono sufficientemente veloci, è possibile supporre che la corrente applicata al motore coincida con il valore desiderato e, quindi, approssimare il comportamento del motore a quello corrispondente ad una alimentazione in corrente.

oppure Approccio classico: alimentazione in tensione Controllo vettoriale: alimentazione in corrente

Quando la macchina asincrona è alimentata a tensione impressa è conveniente scegliere gli assi di riferimento d e q rotanti con una velocità angolare pari alla pulsazione istantanea w a della tensione di alimentazione e orientati in modo tale che risulti v sd = v s e v sq = 0, essendo v s il modulo del vettore rappresentativo dell’armonica fondamentale della tensione di alimentazione. Con tale scelta, assumendo come variabili di stato le componenti dei flussi di statore e di rotore, il modello del motore può essere riscritto nella seguente forma matriciale:

essendo:

E’ possibile effettuare una linearizzazione del modello prendendo in considerazione il vettore delle variazioni delle componenti dei flussi di statore e di rotore attorno al punto di lavoro, cioè: in cui il pedice o caratterizza il valore assunto dalle grandezze nel punto di lavoro prescelto.

Effettuando la linearizzazione si ottiene: essendo

Se si considerano, quindi, le trasformate di Laplace delle variazioni dei flussi, del modulo della tensione, della pulsazione di alimentazione e della velocità angolare, si ottiene: essendo s la variabile di Laplace.

Analogamente, se si considera la variazione della coppia elettromagnetica: essendo: si ottiene:

Trasformando secondo Laplace e sostituendo l’espressione della variazione del flusso, si ottiene, infine, la seguente espressione per la trasformata della variazione della coppia elettromagnetica: che può essere riscritta nella forma:

essendo:

Schema a blocchi funzionale del modello linearizzato.

Il modello linearizzato consente di valutare il comportamento dinamico del motore asincrono alimentato a tensione impressa nell’intorno di un generico punto di lavoro e può essere impiegato per: * verificare la stabilità del motore; * effettuare una sintesi di primo tentativo del dispositivo di controllo.

Il calcolo delle espressioni delle funzioni di trasferimento risulta alquanto laborioso e poco significativo, a causa dell’elevata complessità delle equazioni e della forte dipendenza dal punto di lavoro. E’, però, possibile, quando la pulsazione di alimentazione è sufficientemente elevata, impiegare delle espressioni semplificate G1’, G2’, e G3’ delle funzioni di trasferimento.

In appendice è riportato un approccio che consente di ricavare delle espressioni approssimate G1’, G2’, e G3’ delle tre funzioni di trasferimento E’ interessante notare che le tre funzioni di trasferimento approssimate sono legate tra loro dalla seguente relazione:

Quando un motore asincrono è alimentato a tensione impressa, si possono verificare nella macchina fenomeni di instabilità, anche per valori della pulsazione di scorrimento minori di quella corrispondente alla coppia di rovesciamento. Lo studio della stabilità può venire effettuato impiegando il modello linearizzato; però, siccome l’instabilità si manifesta per frequenze abbastanza basse non è possibile impiegare le espressioni approssimate delle funzioni di trasferimento. Una esauriente trattazione è riportata nel testo.

Schema a blocchi funzionale del modello linearizzato.

Luogo delle radici al variare di V s

Per ricavare il modello linearizzato del motore asincrono con alimentazione a corrente impressa, è conveniente prendere in considerazione il modello del motore che utilizza, come variabili di stato, le componenti della corrente di statore e quelle del flusso di rotore.

Riscrivendo, con un diverso ordine dei termini che compaiono a secondo membro, le ultime due equazioni del modello:

si ricava:

Si può constatare che gli andamenti delle componenti del flusso rotorico dipendono solo da quelli delle componenti della corrente statorica; pertanto il modello composto dalle precedenti due equazioni è sufficiente a descrivere il comportamento del motore asincrono con alimentazione a corrente impressa. Come nel caso di alimentazione a tensione impressa, anche questo modello è non lineare; per ricavare il modello linearizzato è ancora conveniente scegliere gli assi di riferimento d e q rotanti con una velocità angolare pari alla pulsazione istantanea della grandezza di alimentazione, ma modificare l’orientamento in modo tale che risulti i sd = i s e i sq = 0.

Si ottiene: in cui la pulsazione di scorrimento w s è pari alla differenza w a - w.

Linearizzando tali equazioni attorno ad una condizione di equilibrio si ottiene: Nell’analisi a regime permanente si è visto che il vettore rapprentativo della corrente è in anticipo rispetto a quello del flusso di un angolo  pari a:

Pertanto si ha: essendo  ro il modulo del flusso rotorico, a sua volta pari a:

Si ottiene, quindi:

Trasformando secondo Laplace le equazioni: si ottiene:

e quindi: essendo

Sostituendo, infine, le espressioni delle componenti del flusso, si ricava:

Dall’espressione della coppia: si ricava:

Trasformando secondo Laplace, si ottiene: essendo:

E’ interessante osservare che nell’espressione della variazione della coppia, non compare esplicitamente la velocità; pertanto, assumendo la pulsazione di scorrimento come variabile di controllo e scegliendo un modulo della corrente statorica direttamente dipendente dallo scorrimento, non si ha alcuna reazione di velocità e, di conseguenza, non si presentano fenomeni di instabilità. E’, infine, conveniente ricavare le funzioni di trasferimento che forniscono la dipendenza delle variazioni del modulo del flusso da quelle del modulo della corrente e della pulsazione di scorrimento.

si ricava: da essendo: