Analisi spettrale numerica di segnali di misura Prof. Leopoldo Angrisani Dip. di Informatica e Sistemistica Università di Napoli Federico II

Contenuti del Corso  Note introduttive: convenienza dell’analisi in domini diversi da quello temporale.  Richiami all’analisi di Fourier: spettro di un segnale.  Trasformata di Fourier: definizione, relazioni fondamentali.  Serie di Fourier: definizione, relazioni fondamentali.  Discrete Fourier transform (DFT): definizione, relazioni fondamentali, implementazione mediante FFT ed applicazione.

Andare oltre il Tempo…….. Ogni segnale reale può essere prodotto aggiungendo onde sinusoidali. a)Coordinate tridimensionali: tempo, frequenza ed ampiezza. b)Vista nel dominio del tempo. c)Vista nel dominio della frequenza.

Perché il Dominio della Frequenza? Dominio del tempo: non sono visibili le componenti sinusoidali di piccola ampiezza. Dominio della frequenza: è facile risolvere anche le componenti sinusoidali di piccola ampiezza.

Elaborare Segnali di Misura significa…..  1° passo: campionamento (segnale discreto nel tempo, ma ancora continuo nelle ampiezze). È svolto da dispositivi Sample&Hold.  2° passo: quantizzazione (segnale discreto nel tempo e nelle ampiezze). È svolto da convertitori analogico/digitali (A/D).  3° passo: elaborazione (applicazione di determinati algoritmi sui campioni in forma numerica). È generalmente svolto da Digital Signal Processor.  4° passo: estrazione delle informazioni (target dell’elaborazione).

Relazioni Fondamentali  Trasformata di Fourier  analisi:  sintesi:  L’espressione s(t) identifica l’evoluzione nel dominio del tempo del segnale in ingresso.  S(f) rappresenta lo spettro di s(t). s(t) aperiodico

Relazioni Fondamentali  Serie di Fourier con oppure con s(t) periodico di periodo T 0 =1/f 0

Relazioni Fondamentali  DFT  analisi:  sintesi: N: lunghezza del segnale. s(n) a tempo discreto e durata limitata

Segnali e Trasformate Trasformata di Fourier Segnali continui ed aperiodici Serie di Fourier Segnali continui e periodici Trasformata di Fourier a Tempo Discreto Segnali a tempo discreto ed aperiodici DFT Segnali a tempo discreto e periodici.

Fast Fourier Transform (FFT)  E’ un algoritmo per la valutazione della DFT, denominato anche “algoritmo a farfalla”.  E’ caratterizzata da carico computazionale estremamente ridotto (N·logN: N numero di campioni) se confrontato con quello derivante dall’applicazione diretta della relazione fondamentale (N 2 ).  N deve essere una potenza di due.  I risultati sono generalmente presentati in forma polare (ampiezza e fase)

Come lavora la FFT? Segnale in ingresso continuo nel tempo. Risultato ottenuto: campioni dello spettro (righe spettrali) del segnale in ingresso. Campioni del segnale in ingresso. Discretizzazione nel tempo e nelle ampiezze.

Principale Assunzione della FFT Il segnale di cui la FFT fornisce le righe spettrali deriva dalla replica del time record lungo tutto l’asse temporale.  Elaborare segnali reali impone una sequenza di campioni di lunghezza finita (time record).

Risultati della FFT  Se N è la lunghezza del time record, la FFT fornisce N/2+1 righe spettrali.  Le righe spettrali sono equispaziate di 1/TR, dove TR è la durata del time record.  Il campo di frequenze analizzate si estende dalla continua (0 Hz) fino alla metà della frequenza di campionamento.

Altra interpretazione della FFT È possibile pensare che ogni riga spettrale sia contenuta in una banda di frequenza di ampiezza 1/TR, espressa come frazione dell’intero campo di frequenze analizzato (N/2TR). Fanno eccezione la prima e l’ultima riga spettrale, cui è associata solo metà della banda indicata.

Problemi della FFT  Aliasing: frequenza di campionamento non maggiore del doppio della massima frequenza presente nel segnale in ingresso (non soddisfacimento del criterio di Nyquist).  Spectral Leakage (dispersione spettrale): lunghezza finita del time record.

Aliasing Problema dell’Aliasing nel dominio del tempo. Problema dell’Aliasing nel dominio della frequenza.

Spectral Leakage Segnale periodico nel time record

Spectral Leakage Segnale non periodico nel time record

Finestratura (Windowing) Windowing nel dominio del tempo Senza finestra Con finestra

Principali Finestre  Hanning: segnali periodici, rumore.  Uniforme: segnali transitori (auto-finestranti)  Flattop: al posto della Hanning per migliori precisioni in ampiezza in campionamento non coerente (a scapito della risoluzione).

Principali Finestre  Hanning  Blackman

Risposta in frequenza di una finestra

Principali Finestre

Caratteristiche delle principali finestre

Scelta della finestra in relazione alla tipologia di segnale

Fattori di correzione ed errore in ampiezza (worst-case)

Campionamento coerente

Campionamento non coerente

Effetto dello spectral leakage sulla rilevazioni di componenti adiacenti

Esempi di segnali auto-finestranti Evoluzione completamente contenuta nel time record.

Misurazione di frequenza e potenza

Migliorare la Risoluzione: aumentare N

Migliorare la Risoluzione: Zero Padding (aggiungere zeri al time record)

Applicazione: FFT Convolution L’uscita di un sistema lineare, y(n), si ottiene valutando la convoluzione (generalmente indicata con il simbolo *) tra il segnale in ingresso, x(n), e la risposta impulsiva del sistema, h(n). Relazioni equivalenti della convoluzione lineare. N: lunghezza x(n); L: lunghezza h(n); N+L-1: lunghezza y(n).

Applicazione: FFT Convolution Per segnali a tempo continuo, la convoluzione nel tempo equivale ad un prodotto in frequenza. Per valutare la risposta di un sistema, può essere, quindi, estremamente conveniente passare prima nel dominio della frequenza, eseguire il prodotto e ritornare poi nel tempo. In presenza di time record di lunghezza finita le cose non sono così banali come potrebbe sembrare………….