Numeri Esatti e Numeri Approssimati Numero di oggetti Numeri fissati per definizione (1 m = 100 cm; 1 h = 60 min). Numeri Approssimati Risultati di una misura fisica (volume, massa, temperatura, pressione, etc. etc.) Il risultato di qualunque misura è sempre un numero approssimato perché ogni misura è caratterizzata da un certo grado di incertezza.

Una misura consiste nel determinare il rapporto tra l’entità della grandezza fisica di interesse nel sistema (“peso” di un corpo) che si sta studiando e l’entità della stessa grandezza fisica in un sistema scelto come riferimento (kg).

UNITA’ di MISURA In campo scientifico esiste l’accordo di utilizzare definite unità di misura, quelle individuate dal Sistema Internazionale Unità di misura fondamentali grandezza dimensione simbolo SI lunghezza metro m massa chilogrammo Kg tempo secondo s temperatura grado Kelvin K corrente elettrica ampere A intensità luminosa candela cd quantità di sostanza mole mol

P  forza peso; m massa; g accelerazione di gravità (g = 9.81 m/s2) La forza di attrazione gravitazionale che la Terra, in prossimità della superficie, esercita su qualsiasi oggetto si dice peso dell’oggetto. P = m • g P  forza peso; m massa; g accelerazione di gravità (g = 9.81 m/s2) L’unità di misura del peso è il Newton, e NON il Kg. Però, se due oggetti hanno la stessa massa hanno lo stesso peso. La frase peso pari a 1 Kg, va inteso come peso di un oggetto la cui massa è 1 Kg.

Prefissi del sistema SI le frazioni ed i multipli di queste unità sono fattore prefisso simbolo fattore prefisso simbolo 10-1 deci d 101 deca da 10-2 centi c 102 etto h 10-3 milli m 103 kilo k 10-6 micro µ 106 mega M 10-9 nano n 109 giga G 10-12 pico p 1012 tera T 10-15 femto f 1015 peta P 10-18 atto a 1018 exa E

Unità di misura derivate grandezza unità simbolo definizione dimensioni forza newton N Kg m s-2 energia joule J N•m Kg m2 s-2 pressione pascal Pa N•m-2 Kg m-1s-2 potenza watt W J•s-1 Kg m2 s-1 quantità carica elett. coulomb C A • s diff. di potenziale volt V W•A-1 Kg m2 s-3 A-1 flusso magnetico weber Wb V•s Kg m2 s-2 A-1 frequenza hertz Hz s-1 Il Pascal è piuttosto piccolo rispetto alle pressioni ordinarie. E’ d’uso comune esprimere le pressioni in atm o bar.

Una misura consiste nel determinare il rapporto tra l’entità della grandezza fisica di interesse nel sistema (“peso” di un corpo) che si sta studiando e l’entità della stessa grandezza fisica in un sistema scelto come riferimento (kg). Il risultato di una misura è SEMPRE affetto da errori, la cui ampiezza dipende dal metodo usato e dall’abilità dello sperimentatore.

Argomento della lezione Immaginiamo di pesarci ad una bilancia elettronica (una cifra decimale). Sul display leggiamo 59.1 kg. 1) Il numero 59.1 kg è un numero preciso o approssimato? 2) La misura è precisa? Che intendiamo per precisione. Qual’e’ la differenza tra precisione ed accuratezza? 3) Come riportiamo il risultato della misura?

La precisione di una misura indica quante diverse determinazioni di una stessa grandezza sono in accordo tra loro (riproducibilità) L’accuratezza è relativa all’errore della misura (differenza tra il valore misurato ed il valore vero) scarsa Precis. scarsa Accur. buona Precis. buona Accur. buona Precis. scarsa Accur.

Numero di Cifre Significative Il numero che deriva da una misura viene espresso con il conveniente numero di cifre significative Sono cifre significative di un numero tutte quelle note con certezza più una esempi…. 43.27 6.2 100.54 0.0000678 È importante non distorcere l’informazione trascurando precisione laddove c’è, o aggiungendo precisione laddove manca.

Conteggio delle cifre significative Tutti i valori rappresentano cifre significative. Unica eccezione: Gli zeri che precedono la prima cifra significativa (digit non nullo) non sono cifre significative. Esempio: in 0.0012, gli zeri (in rosso) non sono cifre significative (il numero in questione ha due sole cifre significative). 43.27 6.2 100.54 0.0000678

NOTAZIONE SCIENTIFICA A x 10m ; A = numero compreso tra 1 e 10 m = numero intero. 0.00030=3.0 x 10-4 (il n° di cifre significative è esplicito) Operazioni: Nelle moltiplicazioni e divisioni gli esponenti vengono sommati tra loro, cambiando segno a quelli del denominatore. Es: 10-4 x 10-4 = 10-8 ; 10-4 / 10-5 = 10 Nelle somme e sottrazioni, convertire alla stessa potenza di 10 e sommare o sottrarre i fattori pre-esponenziali. Es: 5.90 x 1012 – 3.5 x 1011 = 5.90 x 1012 – 0.35 x 1012 = 5.55 x 1012

Valutare il numero di c.f. in un dato sperimentale riportato come: -5.027 x 10-27, 1.69100 x 10-15, 1.69100 Arrontondare -5.027 x 10-27 a 2 cifre significative 3.86994 a 3 “ “ 0.000124 a 1 “ “

Convenzioni per l’arrotondamento di un numero: 2.4587  2.459 la cifra da arrotondare è seguita da un numero  di 5; viene incrementata di 1. 1.5673  1.567 la cifra da arrotondare è seguita da un numero  di 5. Il numero resta invariato (troncamento). se la cifra da eliminare è 5 si sceglie un criterio: 56.785  56.78 5.235  5.24

Le Cifre Significative nelle Operazioni Il risultato di un calcolo non può essere più preciso del dato meno preciso usato per il calcolo stesso. Nelle addizioni e nelle sottrazioni il risultato va arrotondato alla prima cifra incerta. Dovendo sommare 23.581 g + 125.21 g = Il risultato sarà 148.791 g

Le Cifre Significative nelle Operazioni (ctd.) Nelle moltiplicazioni e nelle divisioni, l’errore relativo del risultato è pari alla somma degli errori relativi dei due fattori. Quindi il risultato si riporta con tante cifre significative quanto ne contiene il fattore che ne ha meno. Es: 25.321 cm2 x 2.52 cm = 63.9 cm3 850.0 : 26.982 = 31.50

Può capitare che l’errore relativo diventa troppo grande o troppo piccolo. In tal caso va aggiunta o tolta una cifra. Es: 0.88 x 1.292 = 1.1 L’errore relativo su 1.1 è 0.3/1.1 = 0.27 È 8 volte maggiore dell’ errore relativo su 0.88 è 0.03/0.88 =0.034. In tal caso si aggiunge una cifra, 1.14. Quindi 0.03/1.14 = 0.026.

Le Cifre Significative nelle Operazioni Per quanto riguarda i logaritmi, sia naturali ln che decimali log, la teoria degli errori mostra che l’errore assoluto su ln(x) è pari all’errore relativo su x. Quindi nel calcolare un logaritmo, il risultato si esprime con tante cifre decimali quante sono le cifre significative del dato iniziale, controllando la consistenza degli errori. Molti fenomeni sono regolate da leggi di tipo logaritmico Es: ln(6.518 1012) = 29.5056. L’errore è 0.0003 simile a 3/6518=0.0005!

Le Cifre Significative nelle Operazioni Per quanto riguarda gli esponenziali, al contrario dei logaritmi, la teoria degli errori mostra che l’errore relativo su exp(x) è pari all’errore assoluto su x. Quindi nel calcolare un esponenziale, il risultato si esprime con tante cifre significative quante sono le cifre decimali del dato iniziale, controllando la consistenza degli errori. Es: exp(9.658) = 1.57 104. L’errore è 0.003 diverso da 3/157=0.019! Quindi, exp(9.658) = 1.565 104 (3/1565=0.002)

Le Cifre Significative nelle Operazioni Quando si devono effettuare calcoli consecutivi, è bene utilizzare per i valori intermedi una cifra significativa in più rispetto a quelle “reali”, in modo da non perdere in precisione. Il risultato va però poi riportato col numero corretto di cifre significative.

Esercizi: Esprimere con il numero di cifre significative appropriato il risultato dell'espressione 3.1724•10-6 + 7.6•10-7 R: 3.93•10-6 2.5•102 + 1.1954•107 R: 1.1954•107 5.09•10-9 - 6.9•10-8 R: -6.4•10-8 -2.19•10-17 - 1.437•10-15 R: -1.459•10-15 5.910•1012 × 9.48•109 R: 5.60•1022 ln(0.91) R: -0.09 exp(-0.126) R: 0.882

Esercizi: Convertire: 3.0 mm in cm R: 0.30 cm 7.89•108 pg in mg R: 0.789 mg 1.•10-7 g in µg R: 0.1 µg 9.958•10-4 min in ms R: 59.75 ms 1.453 10-6 m3 in mL R: 1.453 mL 94.07 cm3 in L R: 0.09407 L