Giochi Bayesiani 19/07/2011 Università degli studi di Napoli “Federico II” Emiliano Iuliano Francesco De Domenico Corso di teoria dei giochi Prof.ssa Lina Mallozzi I giochi Bayesiani

Giochi Bayesiani Outline 2 2 I giochi Bayesiani Giochi ad informazione incompleta Definizione di equilibrio Bayesiano Esempio di gioco Bayesiano finito Application case: funzione di Rosenbrock con formulazione stocastica Definizione del gioco Bayesiano a potenziale Analisi delle best replies

Giochi Bayesiani Giochi ad informazione incompleta: introduzione 3 3 La teoria “standard” dei giochi assume che le caratteristiche del gioco siano conoscenza comune dei giocatori. Ma non sempre questa assunzione è realistica, come ad esempio l’asta con offerta in busta sigillata (non si conosce la valutazione del giocatore rivale). I giochi con informazione incompleta sono detti anche giochi bayesiani. Nei giochi bayesiani almeno un giocatore è incerto sulla funzione dei payoff di un altro (la funzione dei payoff dipende dal tipo di giocatore e dalle sue diverse azioni ammissibili).

Giochi Bayesiani 4 4 Nel caso di 2 giocatori, può accadere che il giocatore I non sappia quali siano i “payoff” di II, cioè si suppone che il giocatore II non sappia se sta giocando contro il giocatore I.1 i cui payoff sono indicati nella tabella sotto a sinistra o contro il giocatore I.2. Ovviamente, come di consueto, nelle tabelle sono anche indicati i payoff di II che, in questo caso, sono identici in entrambi i casi. L’idea base è quella di “tipo”. Ovverossia, nell’esempio potremmo pensare a due tipi diversi di “giocatore I”. Cioè al giocatore I corrisponde un insieme T 1 di tipi che contiene due elementi: T 1 = {I.1; I.2}. Invece per il giocatore II scriviamo T 2 = {II} ridotto ad un singleton. Giochi ad informazione incompleta: introduzione I.1 \ II y1y1 y2y2 x1x1 0, -12, 0 x2x2 2, 13, 0 I.2 \ II y1y1 y2y2 x1x1 3, -15, 0 x2x2 2, 13, 0

Giochi Bayesiani 5 5 In generale un tipo per un giocatore (cioè un elemento di T 1 o T 2 ) raccoglie tutta l’informazione che è rilevante per le decisioni di tale giocatore e che non è conoscenza comune tra tutti i giocatori. Oltre a questi “nuovi” oggetti, abbiamo anche due insiemi C 1 e C 2 che contengono le azioni a disposizione dei due giocatori rispettivamente: abbiamo infatti C 1 = {x 1 ; x 2 } e C 2 = {y 1 ; y 2 }. Vi è una importante differenza tra “azione” e “strategia” in un gioco bayesiano: un’azione per il giocatore I è un elemento di C 1 ; mentre una strategia (pura!) è una funzione s 1 : T 1 → C 1. Giochi ad informazione incompleta: introduzione

Giochi Bayesiani 6 6 Un altro ingrediente di un gioco bayesiano sono naturalmente le funzioni di utilità. E’ evidente che, nel nostro esempio, avremo per il primo giocatore una u : (C 1 × C 2 ) x T 1 → R Per il secondo avremo v : (C 1 × C 2 ) × T 2 → R Ovverossia, abbiamo u(x i ; y j ; I.1) e u(x i ; y j ; I.2) a seconda del tipo del giocatore I. Per comodità notazionale possiamo anche scrivere: (u,v) : (C 1 × C 2 ) × (T 1 × T 2 ) → R x R Giochi ad informazione incompleta: introduzione

Giochi Bayesiani 7 7 Per completare la definizione di un gioco Bayesiano, bisogna infine assegnare la distribuzione di probabilità soggettiva sulle fonti di incertezza, cioè sui tipi. Allora, nel nostro esempio, il giocatore II “deve” avere una distribuzione di probabilità p II su T 1 (belief). In generale, possiamo “condensare” l’informazione fornita dalle distribuzioni di probabilità in una funzione per ogni giocatore: Giochi ad informazione incompleta: introduzione Grazie al Teorema di Bayes, possiamo ricondurci alle probabilità condizionate (quelle che determinano effettivamente il belief di ogni giocatore sull’altro) tramite le seguenti formule

Giochi Bayesiani 8 8 Infine, un gioco bayesiano (a 2 giocatori) è rappresentabile nella forma Γ b = ((C 1 ;C 2 ); (T 1 ; T 2 ); (p I ; p II ); (u; v)) N.B. Si assume che Γ b sia conoscenza comune dei giocatori e che ogni giocatore sappia quale è il suo “vero” tipo. Inoltre il fatto che ogni giocatore conosca il suo tipo è conoscenza comune tra i giocatori. Giochi ad informazione incompleta: introduzione

Giochi Bayesiani 9 9 Definizione di equilibrio bayesiano

Giochi Bayesiani 10 Riprendiamo l’esempio precedente. Ci sono due aziende: 1.La prima lavora nel suo settore da tempo e deve decidere se aprire una nuova fabbrica. Il primo giocatore è di due tipi a seconda se i costi di costruzione sono alti o bassi; 2.La seconda deve decidere se entrare nel settore. Payoff se i costi del giocatore I sono alti Esempio di gioco bayesiano finito I.1 \ II EnterDon’t Build0, -12, 0 Don’t build2, 13, 0 I.2 \ II EnterDon’t Build3, -15, 0 Don’t build2, 13, 0 Payoff se i costi del giocatore I sono bassi Al giocatore II conviene entrare se, e solo se, il primo giocatore decide di non costruire. Da notare che il primo giocatore ha una strategia dominante: “costruire” se i costi sono bassi, “non costruire” se i costi sono alti.

Giochi Bayesiani 11 Sia p 1 la probabilità che il giocatore II assegna al giocatore I per cui i costi siano alti. Visto che il giocatore I costruisce solo se i costi sono bassi, il giocatore II entra solo se p 1 > ½. Cosa succede se cambiamo i payoff di I.2??? Payoff se i costi del giocatore I sono alti Esempio di gioco bayesiano finito I.1 \ II EnterDon’t Build0, -12, 0 Don’t build2, 13, 0 I.2 \ II EnterDon’t Build1.5, -13.5, 0 Don’t build2, 13, 0 Payoff se i costi del giocatore I sono bassi Quando i costi sono bassi, la trategia ottimale del primo giocatore dipende dalla sua previsione di y, la probabilità che il giocatore II entri. “Costruire” è meglio di “non costruire” se 1.5 y + 3.5(1- y) > 2 y + 3(1- y) → y < 1/2

Giochi Bayesiani 12 Esempio di gioco bayesiano finito Quindi, il gicatore I deve provare a prevedere il comportamento del giocatore II per scegliere la propria azione, e il giocatore 2 non può dedurre l’azione del giocatore I solamente dalla propria conoscenza dei suoi payoff. Una volta scelto il tipo del giocatore I, avremo un gioco standard per cui possiamo trovare l’equilibrio di Nash. Quindi sia x la probabilità che il giocatore I costruisca quando i costi sono bassi e y la probabilità del giocatore II di entrare. La strategia ottimale per i due giocatori è data da: Giocatore I Giocatore II

Giochi Bayesiani 13 Esempio di gioco bayesiano finito

Giochi Bayesiani 14 La funzione di Rosenbrock La funzione di Rosenbrock (1960) è una funzione non-convessa, generalmente utilizzata per il testing degli algoritmi di ottimizzazione. La funzione, nota anche come ‘valle di Rosenbrock’, è caratterizzata da una depressione molto profonda la cui impronta sul piano (x,y) è la parabola y=x 2. Il minimo globale è f(x,y)=0 nel punto (x,y)=(1,1). Nel seguito, si userà la formulazione stocastica, introdotta da Xin-She Yang e Deb (2010).

Giochi Bayesiani 15 Gioco bayesiano e funzione di Rosenbrock Le corrispondenze best reply si ottengono minimizzando la speranza matematica dei payoff. Applicando la definizione dell’equilibrio Bayesiano, si ha:

Giochi Bayesiani 16 Gioco bayesiano e funzione di Rosenbrock Dal teorema di Bayes si deducono le probabilità condizionate: Infine, le corrispondenze best replies per i due giocatori:

Giochi Bayesiani 17 Player 1: funzione payoff, parametrizzazione a y=cost.

Giochi Bayesiani 18 Player 2: funzione payoff, parametrizzazione a x=cost.

Giochi Bayesiani 19 Best Replies

Giochi Bayesiani 20 Bayesian equilibrium (  ≠0) (x*,y*) = (1,1)  Bayesian equilibrium

Giochi Bayesiani Bayesian equilibrium (  ≠0) Il grafico riporta la differenza in valore assoluto tra le due best reply. Si nota come solo nel punto (x,y)=(1,1) le due curve coincidano per ogni valore di 

Giochi Bayesiani 22 Bayesian equilibrium (  =0) (x*,y*) = (1,1)  Bayesian equilibrium