-7 I numeri interi -5 -4

Cosa sono i numeri interi? Cerchiamo di capire il concetto! I numeri naturali studiati non sono sempre adatti a risolvere tutti i problemi. Sicuramente conosci situazioni dove non è possibile sottrarre un numero più grande da uno più piccolo…. Per esempio 5-14.

Facciamo un esempio….. Pensa al punto più profondo e al punto più elevato della Terra: il punto più alto è il monte Everest con 8.855 metri di altezza, invece il punto più profondo è la Fossa delle Marianne con i suoi 10.916 metri sotto il livello del mare. Se attribuiamo al livello del mare il valore zero, possiamo indicare l’altezza con il segno positivo e la profondità con il segno negativo. In matematica per rappresentare queste situazione si utilizzano i numeri Interi: sono i numeri naturali preceduti dal segno più e dal segno meno. Monte Everest +8.855 m Livello del mare 0 m Fossa delle Marianne -10.916 m

Come indichiamo l’insieme dei numeri interi? ….,-5, -4,-3,-2,-1, 0,+1,+2,+3,+4,+5, …. si indicano con la lettera Z. Il valore assoluto di un numero è il numero stesso senza il segno Ricorda: I numeri preceduti dallo stesso segno si dicono concordi, ad esempio +5,+7. I numeri preceduti da segno diverso si dicono discordi, ad esempio -6, +9.

Come si rappresentano questi numeri su una retta? Consideriamo una retta, fissiamo il punto zero, fissiamo un verso di percorrenza che va da sinistra a destra, prendiamo un’unità di misura e rappresentiamo i numeri positivi ed i numeri negativi su di essa….. Come puoi notare il numero +2 ad esempio dista da 0 due unità. Tutti i numeri negativi si trovano a sinistra dello zero e tutti i numeri positivi si trovano a destra. u -4 -3 -2 -1 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4

Nota bene……. Ogni numero positivo è sempre maggiore di un numero negativo. Lo zero è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo. Due numeri sono opposti quando hanno lo stesso valore ma segno contrario. Ad esempio, guarda la figura:-3 e +3 sono due numeri opposti. u -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4

Osserva ……. l’insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme dell’insieme Z dei numeri interi. Infatti: N={1,2,3,4,5,……..} Z= {…,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,…} Z N

Le operazioni con i numeri interi

L’addizione La somma di numeri interi concordi è il numero che ha lo stesso segno degli addendi e per valore assoluto la somma dei loro valori assoluti. Esempio: (+4)+(+3)=+7 (-3)+(-2)= -5 La somma di numeri interi discordi è un numero che ha il segno dell’addendo maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti. (-7)+(+4)=-3 (+8)+(-3)= +5 Nota bene: la somma di due numeri opposti è zero.

La sottrazione La differenza di numeri due interi si ottiene aggiungendo al minuendo l’opposto del sottraendo. (-3)-(+2)= -5 Esempi: (+10)-(-4)=+10+4=+14 (-8)-(+2)=-8-2=-10 Differenza Minuendo Sottraendo

La moltiplicazione Il prodotto di due numeri interi è un numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e per segno il prodotto dei segni. Ma come si fa il “prodotto dei segni”? La “regola dei segni del prodotto” afferma che : quando si ha un prodotto con lo stesso segno, il prodotto è positivo, invece quando i segni sono contrari il prodotto è negativo. Puoi ricordare la “regola dei segni del Prodotto” ricordando la tabella riassuntiva qui a fianco. • + -

Facciamo ora esempi con la moltiplicazione…. (+3)·(+5)=+15 (-4)·(+4)=-16 (+2)·(-5)=-10 (-6)·(-2)=+12 Nota che moltiplicare per “-1” un numero vuol dire cambiare il segno, infatti: (+5)·(-1)=-5

La divisione La divisione tra due numeri interi è un numero che ha per valore assoluto la divisione dei valori assoluti e per segno quello dato dalla regola dei segni della moltiplicazione. Esempio: (+24):(-4)=-6 (-15):(+5)=-3 (-12):(-2)=+2 (+12):(+3)=+4

Ricordi che cosa è una potenza? La potenza è quel numero che viene moltiplicato per se stesso tante volte quante lo indica l’esponente. Esempio: (+3)2=(+3)(+3)=+9 (2)4=(2)(2)(2)(2)=16 esponente base

Le potenze con i numeri interi Per le potenze con i numeri interi valgono le stesse regole studiate in precedenza, devi stare attento al segno. Infatti: Se la base è un numero preceduto da un segno positivo il risultato della potenza sarà sempre positivo. Se la base è un numero preceduto da un segno negativo: il segno è sempre positivo se l’esponente è pari, il segno è sempre negativo se l’esponente è dispari. Esempio: (-3)2=(-3)(-3)=+9 (-2)3=(-2)(-2)(-2)=-8

Problemi con i numeri interi

Problema In un palazzo un ascensore parte dal primo piano, sale di 10 piani, scende di 12 piani e poi risale di 5. A quale piano ci troviamo? Prima di risolvere il problema guarda la figura, come vedi i numeri interi ti aiutano a risolvere problemi di vita quotidiana +11 sale di 10 Siamo al IV piano scende di 12 +4 sale di 5 -1

Risolviamo il problema…. Incognita: determinare a quale piano si ferma l’ascensore Dati: l’ascensore parte dal primo piano (+1) l’ascensore sale di dieci piani (+10) l’ascensore scende di dodici piani (-12) l’ascensore risale di cinque piani (+5) Soluzione: +1+10-12+5= +4 l’ascensore si ferma al quarto piano