Applicazioni della teoria dei giochi Valentina Meliciani

In un gioco vi sono tre elementi caratteristici 1)I giocatori 2)Le strategie a loro disposizione 3) I Payoffs associati ad ogni combinazione di strategie

Ipotesi sul comportamento dei giocatori Razionalità - Sono interessati a massimizzare il payoff materiale individuale - Sono “calcolatori” perfetti - Tutti conoscono la razionalità degli altri e si aspettano che gli altri si comportino in modo razionale

Rappresentazione di un gioco Forma normale: matrice delle vincite Forma estesa: albero del gioco

Forma Normale

Forma Normale 2 per 2 Uso di matrice a doppia entrata Le righe rappresentano le mosse che può compiere il giocatore di riga Le colonne rappresentano le mosse che può compiere il giocatore di colonna In ogni cella sono rappresentate le vincite che i due giocatori (di riga e di colonna) ottengono attuando le mosse raffigurate nelle corrispondenti righe e colonne

Esempio: il gioco dell’entrata Giocatori B A EntroNon entro Entro 5, 510, 0 Non entro0, 100, 0 Strategie BStrategie AUno dei 4 esiti del giocoPayoff APayoff B

Esiti dei giochi Strategie dominanti e dominate Equilibrio di Nash Equilibrio in strategie miste

Soluzione dei giochi Equilibrio per un gioco: situazione in cui nessun giocatore desidera modificare il suo comportamento unilateralmente dato il comportamento degli altri giocatori

Equilibrio di Nash L’equilibrio di Nash si definisce strategicamente stabile o autovincolante perché nessun giocatore, singolarmente preso, desidera deviare dalla propria strategia di equilibrio ferme restando le strategie adottate dagli altri giocatori Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore per lui, quando anche gli altri giocatori giochino la loro strategia di equilibrio

Come si trova l’equilibrio di Nash strategia che risulta migliore (garantisce più alti payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori Strategia DOMINANTE Strategia DOMINATA strategia che risulta inferiore (garantisce più bassi payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori Se esiste una strategia dominante un giocatore razionale giocherà QUELLA Se esiste una strategia dominata un giocatore razionale non la giocherà MAI

B LCR T0,04,-11,-1 AM-1,43,33,2 B-1,20,14,1 Strategie dominate ed equilibrio di Nash La strategia (T, L) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l’incentivo a cambiare strategia data la scelta dell’altro giocatore A considera le strategie C e R dominate dalla L: se A gioca T a B conviene giocare L, idem se A gioca M o B A sapendo che B giocherà sicuramente L, giocherà T

B b1b2b3 a10,34,21,3 Aa22,13,22,3 a35,11,41,0 Problema  non sempre è possibile trovare la soluzione di Nash utilizzando le strategie dominanti Consideriamo il gioco rappresentato in tabella Ora non ci sono né strategie dominate né strategie dominanti Per trovare la soluzione occorre utilizzare la funzione di risposta ottima (BRF) risposta ottima La migliore strategia che un giocatore può effettuare DATA la strategia scelta dagli ALTRI GIOCATORI Funzione di risposta ottima L’insieme delle risposte ottime di un giocatore

B b1b2b3 a10,34,21,3 Aa22,13,22,3 a35,11,41,0 Trovare l’ Equilibrio di Nash utilizzando la BRF Se il giocatore B sceglie b1 la migliore risposta di A è a3 Se il giocatore B sceglie b2 la migliore risposta di A è a1 Se il giocatore B sceglie b3 la migliore risposta di A è a2 Se il giocatore A sceglie a3 la migliore risposta di B è b2 Se il giocatore A sceglie a1 la migliore risposta di B è b1 o b3 Se il giocatore A sceglie a2 la migliore risposta di B è b3 E.d.N deve essere la coppia di strategie che è la risposta ottima di entrambi i giocatori

L’equilibrio di Nash potrebbe non esistere: il gioco del testa o croce B TC T1,-1-1,1 AC 1,-1 Il gioco si gioca tra due giocatori, il Giocatore A e il Giocatore B. Ogni giocatore ha una sola moneta e deve girare segretamente la moneta su testa o croce. I giocatori poi rivelano le loro scelte contemporaneamente. Se la partita finisce con entrambe teste o entrambe croci, il Giocatore A riceve un euro dal Giocatore B (+1 per A, -1 per B). Altrimenti avviene il contrario. Non esiste un equilibrio di Nash.

Strategie miste: strategie che definiscono combinazioni probabilistiche di tutte le possibile strategie pure del gioco Il giocatore non sceglie direttamente una mossa (ad esempio, sx) ma la probabilità con la quale adotterà ciascuna mossa  Valore atteso strategia mista: media ponderata dei premi che il giocatore si aspetta di ricevere, ove i pesi sono le probabilità del verificarsi di tali vincite L’equilibrio di Nash può non esistere in strategie pure Tuttavia esiste se allarghiamo la definizione di strategie per considerare le strategie miste Si può dimostrare che se consideriamo le strategie miste esiste sempre un equilibrio di Nash

Limiti della definizione di equilibrio di Nash: equilibri multipli Lei OperaStadio Lui Opera1, 20, 0 Stadio0, 02, 1 Consideriamo questo gioco classico La guerra dei sessi Esiste una molteplicità (due) di equilibri di Nash Quale selezionare ?

Dilemma del prigioniero Due criminali che hanno commesso in complicità un grave delitto e sono detenuti in celle separate (non possono comunicare). Ci sono le prove solo per accusarli di un delitto minore la cui pena è 1 anno di reclusione Ogni prigioniero può confessare il delitto grave o tacere. Se confessa uscirà subito di prigione, mentre il complice avrà una pena di 4 anni di reclusione. Se entrambi confessano saranno condannati ad una pena intermedia di 3 anni. Se nessuno dei 2 confessa la pena sarà di 1 anno.

O.P Nash B ConfessaTace B Confessa 3, 30, 4 Tace 4, 01, 1 Dilemma del prigioniero L’EQUILIBRIO DI NASH È SOTT'OTTIMALE (in senso Paretiano) rispetto ad un altro esito del gioco che sarebbe preferito da entrambi i giocatori ma che non è ottenibile Risultato paradossale Un comportamento teso a massimizzare il benessere individuale produce un risultato non ottimo da un punto di vista individuale

Rappresentazione in forma estesa Albero del gioco: descrive le regole e i possibili premi di un gioco Nodo: punto decisionale dov’è indicata l’identità del giocatore cui spetta la mossa Rami: rappresentano le scelte fatte nei nodi

Gioco dell’entrata in forma estesa Incumbent (1) che definisce le proprie strategie di risposta all’eventuale ingresso del rivale (2). Primo nodo strategie possibili: entrata (e) o rinuncia (ne) e relativi payoff. Secondo nodo strategie possibili di risposta per l’incumbent: aggressiva (r) o non aggressiva (nr) e relativi payoff. P1=0 P2=50 ene rnr 1 2 P1=-10 P2=-10 P1=10 P2=20 Soluzione con backward induction. Partendo dal nodo (2) subgame la soluzione razionale è quella di non rispondere aggressivamente. Quindi conviene entrare. Subgame perfect equilibrium

Gioco dell’entrata: il valore del committment Nel gioco precedente la soluzione (ne, r) sarebbe possibile se la reazione aggressiva fosse ex ante credibile. Questo può accadere se l’incumbent prende formalmente un impegno ad adottare la strategia aggressiva. Ora l’incumbent decide all’inizio se sottoscrivere (b) o no (nb) l’impegno P1=0 P2=50 ene rnr 1 2 P1=-10 P2=-10 P1=10 P2=-20 P1=0 P2=50 P1=-10 P2=-10 P1=10 P2=20 e ne 2 1 r nr b nb 2

Applicazioni economiche Equilibrio di Nash e modello di Cournot Meccanismo backward induction e modello di Stackelberg Modello di Bertrand, giochi one shot e giochi ripetuti

L’equilibrio di Nash-Cournot MC M4050, , 4500 C4500, , 3600 Si consideri un duopolio caratterizzato da prodotti omogenei, funzione di domanda di mercato p=200-q1-q2, e costi c=20q. La matrice rappresenta i payoff qualora le due imprese si comportino come monopolisti o alla Cournot. L’equilibrio «migliore» sarebbe MM ma non è un equilibrio di Nash. L’equilibrio di Nash è CC

Subgame perfect equilibrium: Stackelberg

Equilibrio di Bertrand e giochi ripetuti Stesse ipotesi del modello di Bertrand ma le imprese possono modificare il prezzo nel tempo (gioco ripetuto) Un possibile equilibrio è quello di Bertrand ma ce ne sono altri Supponiamo che in t 0 le imprese fissano il prezzo di monopolio p m ognuna avrà profitti pari a 1/2  m Nei periodi successivi le imprese continuano a fissare p=p m se nessuna ha deviato dall’accordo altrimenti fissano p=c dove c=costo marginale (strategia del grilletto)

Equilibrio di Bertrand con giochi ripetuti I profitti scontati attesi (V) in caso di non deviazione sono: V=(1/2)  m +  1/2)  m +  2 (1/2)  m +….=1/(1-  )*(1/2)  m dove  indica il tasso di sconto I profitti scontati attesi in caso di deviazione (V’) sono: V’=  m Il primo periodo l’impresa fissa un prezzo p m -  dove  è un numero infinitesimo (trascurabile), l’altra impresa risponde fissando p m =c quindi nel futuro i profitti sono zero. Conviene non deviare se: 1/(1-  )*(1/2)  m >  m Ovvero se 

Quando è più probabile la collusione?  r/f)]*h*(1+g) Il parametro  dipende da: 1.Tasso di interesse annuale r (-) 2.Frequenza con cui le imprese possono modificare i prezzi (f volte l’anno) (+) 3.Probabilità che vi siano profitti nei periodi successivi h (l’industria potrebbe scomparire) (+) 4.Possibilità che il mercato cresca, g=tasso di crescita della domanda (+)