FUNZIONI GONIOMETRICHE CLASSE 3 A S A.S. 2013/14

MISURA DEGLI ANGOLI IN RADIANTI L’unità di misura degli angoli usata abitualmente è il grado, definito come la trecentosessantesima parte dell’angolo giro. Questo sistema di misura, che forse è un residuo degli studi degli astronomi babilonesi che consideravano l’anno composto di 360 giorni, non è particolarmente comodo, anche perché, nell’esprimere le frazioni dell’unità, non utilizza la suddivisione decimale. Per le frazioni del grado si usa il primo ( che è 1/60 di grado ed indicato con ‘ ) e il secondo ( che è 1/60 del primo, cioè 1/3600 di grado ed indicato con “ ). Per le applicazioni scientifiche viene utilizzata un’altra unità di misura, detta radiante, la cui definizione deriva da proprietà relative al cerchio.

In ogni circonferenza si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra gli angoli al centro e gli archi. Le lunghezze degli archi sono direttamente proporzionali alle ampiezze degli angoli al centro corrispondenti. Così, se in una circonferenza di raggio r indichiamo con α l’ampiezza in gradi di un angolo e con h la lunghezza dell’arco corrispondente, vale questa relazione :

IL RADIANTE Consideriamo un insieme di circonferenze concentriche. Esse si corrispondono nell’omotetia con centro nel centro comune e rapporto uguale al rapporto dei rispettivi raggi. Un angolo al centro individua su ognuna delle circonferenze un arco la cui lunghezza risulta proporzionale al raggio della circonferenza. Infatti 360° : α = 2πR : h = 2πR’: h’. Di conseguenza, in ogni circonferenza un angolo al centro determina il medesimo rapporto tra la lunghezza dell’arco e la lunghezza del raggio relativo : h : R = h’ : R’

Tale rapporto non dipende dalla particolare circonferenza, ma solo dall’angolo considerato. Può essere quindi utilizzato come un criterio per la misura degli angoli. Qual è, per esempio, il rapporto h : R determinato dall’angolo di 90°? L’angolo retto è la quarta parte dell’angolo giro; la lunghezza dell’arco corrispondente è quindi la quarta parte della circonferenza, cioè h = 2πR/ 4 = πR/2. Per l’angolo di 90° quindi il rapporto h / R vale π/2 e questo valore, come si è detto, non fa più riferimento al particolare raggio R della circonferenza. Se un arco ha lunghezza uguale al raggio R, il rapporto h / R è uguale a 1. Ne consegue che: Si definisce radiante l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente a un arco di lunghezza uguale al raggio della sua circonferenza.

L’ampiezza di un angolo espressa in radianti si calcola dividendo la lunghezza dell’arco corrispondente per il raggio. Per convertire la misura di un angolo da gradi a radianti e viceversa si utilizza la seguente proporzione ( in cui α indica la misura in gradi e x la corrispondente misura in radianti ) : x : π = α : 180

COSENO E SENO DI UN ANGOLO Si può considerare l’angolo da due diversi punti di vista : In modo statico, come “parte di piano compresa tra due semirette aventi origine in comune” : secondo questo modo di vedere, gli angoli di ampiezza superiore a 360° sono del tutto equivalenti, come insiemi di punti del piano, ad angoli di ampiezza inferiore; In modo dinamico, come “ parte di piano descritta dalla rotazione che compie una semiretta attorno alla sua origine a partire da una posizione iniziale”. In talune applicazioni questo punto di vista è essenziale ( apertura di una cassaforte mediante una ghiera ).

Noi intenderemo l’angolo nel suo senso dinamico e allora assegneremo il segno positivo al verso antiorario, quello negativo al verso orario. L’angolo sarà quello della rotazione di centro C che porta una semiterra di origine C (lato iniziale dell’angolo) a corrispondere ad una semiretta di uguale origine (lato finale dell’angolo). Introducendo nel piano un sistema di riferimento cartesiano, consideriamo un angolo in posizione normale quando il suo vertice coincide con l’origine, il lato iniziale coincide con il semiasse positivi delle ascisse e si assume come positivo il verso antiorario. Un insieme di angoli che differiscono tra loro per un multiplo di π / 2π si indica così: x + k π oppure x(mod π ) / x +2 k π oppure x(mod π ).

Fissato un sistema di riferimento cartesiano nel piano, si chiama circonferenza goniometrica una circonferenza con centro nell’origine e raggio unitario Per ogni x reale, il coseno di x ( indicato con cosx ) è l’ascissa del punto A in cui il lato finale dell’angolo di ampiezza x interseca la circonferenza goniometrica Per ogni x reale, il seno di x ( indicato con senx ) è l’ordinata del punto A in cui il lato finale dell’angolo di ampiezza x interseca la circonferenza goniometrica

Sia l’ascissa che l’ordinata del punto A variano da –1 a +1, perché A appartiene alla circonferenza goniometrica. Per ogni x reale, è definito il valore cosx e -1 ≤ cosx ≤ 1 Per ogni x reale, è definito il valore senx e -1 ≤ senx ≤ 1 Poiché la circonferenza goniometrica ha raggio unitario, la sua equazione fornisce la relazione fondamentale tra seno e coseno, che vale per ogni valore reale di x : RELAZIONE FONDAMENTALE TRA SENO E COSENO COS 2 X + SEN 2 X = 1 da cui si deduce che :

TANGENTE DI UN ANGOLO Dato un angolo di ampiezza x, in posizione normale, si chiama tangente trigonometrica dell’angolo l’ordinata del punto di intersezione del lato finale ( eventualmente prolungato ) e della retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto di coordinate ( 1;0). La tangente trigonometrica dell’angolo si indica con tgx o tanx.

C’è qualche relazione tra senx, cosx, e tgx? Osserviamo : Limitiamoci al primo quadrante: I triangoli OCD e OAB sono simili per il primo criterio, quindi i lati sono in proporzione: AB : CD = OA : OC Ma si ha che AB=tgx, CD=senx, OA=1 e OC=cosx Quindi si ottiene : tgx:senx=1:cosx da cui la Relazione fondamentale tra seno, coseno e tangente : tgx = senx/cosx

A questo punto possiamo provare a cercare su Internet : andiamo su e cerchiamo qualcosa sulle funzioni goniometriche. Un altro sito interessante potrebbe essere