[L x,L y ]=i ℏ L z [L z,L x ]=i ℏ L y [L y,L z ]=i ℏ L x L 2 =L x 2 +L y 2 +L z 2 [L 2,L x ]=[L 2,L y ]=[L 2,L z ]=0 Regole di commutazione per l’operatore momento angolare (corrispondente quantistico dell’usuale momento angolare classico) Osservabili compatibili: L 2 e una delle tre componenti, tipicamente si sceglie L z

Autofunzioni comuni a L 2 e L z : armoniche sferiche Y l m (θ,φ). L2L2 Y l m (θ,φ)= ℏ 2 l(l+1)Y l m (θ,φ); LzLz Y l m (θ,φ)= ℏ mY l m (θ,φ); In notazione di Dirac: L2L2 │l,m ＞ = ℏ 2 l(l+1)│l,m ＞ LzLz │l,m ＞ = ℏ m│l,m ＞ ＜ l’,m’│l,m ＞ =δ l,l’ δ m,m’

|μ|=iS (S=area superficie, i=intensità di corrente) In presenza di B E=-μ ・ B

Visione “semi-classica”: elettrone in un’orbita= spira percorsa da corrente. Se r=raggio (medio) dell’orbita, e T = periodo |μ|=iS=(-e/T)πr 2 L=IW=(mr 2 )2π/T ➞ T= (mr 2 )2π/L ➞ |μ L |=|-eL/2m|; μ L =-eL/2m ➞ quantistica μ L =-eL/2m Momento d’inerzia

In presenza di B (converrà orientare z come il campo..) compare un nuovo termine nell’hamiltoniana: ΔH=(e/2m e )L z B ➞ (vedremo meglio) ➞ (e/2m e ) ℏ m Idrogeno nello stato fondamentale: l=0, m=0: l’elettrone “in orbita” non risente del campo B se l≠0, il campo “splitta” il livello l in un numero dispari 2l+1 di livelli, corrispondenti a m=-l,..0,..,l Ag nello stato fondamentale: Kr 4d10 5s1 Le shell interne sono completamente piene, il momento magnetico è determinato dall’elettrone più esterno. Da questo punto di vista è come l’idrogeno (vedremo meglio).

gas di H foro collimatori B uniforme Gli atomi sono neutri, non ho effetti dovuti alla forza di Lorentz. Ma abbiamo detto che all’elettrone che “orbita” attorno al nucleo è associato un momento magnetico proporzionale a Lz. Appena gli atomi sentono il campo, la loro energia dipenderà dal loro Lz: E=-μzB=+(e/2m)LzB. Se B è uniforme, -∂ z E=Fz=0, il fascio NON viene deflesso (notare che Lz si deve conservare) z

Nello storico esperimento (notare l’anno, siamo prima dell’introduzione dell’equazione di Schrödinger) usarono atomi di argento, ma avrebbero ottenuto lo stesso risultato utilizzando idrogeno.

-∂ z E=F z =-∂ z (e/2m)LzB=-(e/2m)Lz∂ z B z B≈zB I nell’esperimento

z Il fascio verrà deflesso in modo diverso a seconda del valore di Lz. Classicamente (era il 1922) era normale aspettarsi variazioni random: nella “bombola” Lz poteva assumere qualunque valore, poi conservato. Ma anche considerando le nostre conoscenze della M.Q. avremmo previsto deflessione nulla o al limite divisione del fascio in un numero dispari di sottofasci. Invece erano 2. F z =-(e/2m)LzB I

μ L =-eL/2m≡-g L γL Soluzione: oltre al momento magnetico associato al moto orbitale, l’elettrone (ma anche i protoni, anzi, tutte le particelle) possiede anche un momento angolare orbitale “intrinseco”, detto di spin (S). Questo produce un ulteriore accoppiamento con un campo magnetico, per l’elettrone è: μ S =-g s γS (con gs=2, “anomalia di spin”) Se il numero quantico angolare l=0,1,2,3... (per cui m=-l,..,0,..l è un intero), quello di spin può assumere valori semiinteri. Per un elettrone s=1/2, e m=- 1/2,1/2. Occhio a differenze importanti: lo spin non ha equivalente classico. Ma allora cos’è? E’ un operatore momento angolare, ovvero un operatore che soddisfa: γ=“rapporto giromagnetico”, =e/2m per il momento orbitale dell’elettrone (g L =1)

[S x,S y ]=i ℏ S z [S z,S x ]=i ℏ S y [S y,S z ]=i ℏ S x S 2 =S x 2 +S y 2 +S z 2 [S 2,S x ]=[S 2,S y ]=[S 2,S z ]=0 Osservabili compatibili: S 2 e una delle tre componenti, tipicamente si sceglie S z

L2L2 │l,m ＞ = ℏ 2 l(l+1)│l,m ＞ LzLz │l,m ＞ = ℏ m│l,m ＞ ＜ l’,m’│l,m ＞ =δ l,l’ δ m,m’ S2S2 │s,m s ＞ = ℏ 2 s(s+1)│s,m s ＞ SzSz │s,m s ＞ = ℏ m s │s,m s ＞ ＜ s’,m s ’│s,m s ＞ =δ s,s’ δ ms,ms’ m=-l,..0,..,+l m s =-s,..0,..,+s Differenza fondamentale: ogni particella è dotata di un unico valore possibile di s. Per un elettrone, s=1/2.

S2S2 │1/2,m s ＞ =(3/4) ℏ 2 │1/2,m s ＞ SzSz │1/2,m s ＞ = ℏ m s │1/2,m s ＞ ＜ 1/2,m s ’│1/2,m s ＞ =δ ms,ms’ m s =-1/2,1/2 Differenza fondamentale: ogni particella è dotata di un unico valore possibile di s. Per un elettrone, s=1/2, per cui l’unico numero quantico significativo dello stato è quello associato a che può assumere solo due valori! SzSz Per quel che riguarda la sola parte di spin (dimentichiamoci per un attimo di tutte le coordinate spaziali), introdurre questi nuovi gradi di libertà equivale a studiare un sistema a due livelli. L’estensione del formalismo è naturale: introdurrò uno spazio di Hilbert in due dimensioni dove agiscono gli operatori di spin, che saranno pertanto rappresentati da semplici matrici 2x2.

In particolare, privilegiando la componente z dello spin, nel caso s=1/2 (elettrone) sarà naturale usare come base dello spazio bidimensionale quella individuata dagli autovettori di per cui la matrice rappresentativa di Sz sarà: SzSz Sz=( ℏ /2) () con autovettori χ+=χ+= ( 1010 ) corrispondente all’autovalore ( ℏ /2); stato spin up,│↑ ＞ χ-=χ-= ( 0101 ) corrispondente all’autovalore -( ℏ /2); stato spin down,│↓ ＞ parimenti, dovrà valere (ricordare che commutano): S 2 =(3 ℏ 2 /4) ()

Di Sx e Sy so che non commutano con Sz e S 2. Quindi, non saranno diagonali. Non dimostreremo la loro espressione, che risulta data da: Sx=( ℏ /2) ( ) Sy=( ℏ /2) 0 -i +i 0 ( ) Sz=( ℏ /2) () Sx=( ℏ /2)σx; Sy=( ℏ /2)σy; Sz=( ℏ /2)σz, dove: () σz=σz= 0 -i +i 0 () σy=σy= () σx=σx= sono le “matrici di Pauli”.

Il generico stato di spin di un elettrone sarà espresso da: χ= abab () = “spinore”. Per estendere coerentemente il formalismo, richiederemo che lo spinore sia normalizzato, ovvero: │a│ 2 +│b│ 2 = 1. Parimenti: χ= abab () =aχ + + bχ - = a + b ( 1010 ) ( 0101 ) con a= ＜ χ + │χ ＞, e │a│ 2 = prob. di trovare il sistema nello stato spin up. con b= ＜ χ - │χ ＞, e │b│ 2 = prob. di trovare il sistema nello stato spin down.

Esercizio: trovare gli “autospinori” di Sx e Sy 0 -i +i 0 () σy=σy= () σx=σx= Inizio a imporre det(Sx-λI)=0 ⇒ -λ ℏ /2 ℏ /2 -λ () det =0 ⇔ λ x ± =± ℏ /2 - ℏ /2 ℏ /2 ℏ /2 - ℏ /2 ( ) αβαβ () =0 ⇔ α=βχ + x =(1/√2) 1111 ( ) ℏ /2 ( ) αβαβ () =0 ⇔ α=-βχ - x =(1/√2) +1 ( ) λ=λ x + =+ ℏ /2 λ=λ x - =- ℏ /2

Esercizio: trovare gli “autospinori” di Sx e Sy 0 -i +i 0 () σy=σy= () σx=σx= Adesso impongo det(Sy-λI)=0 ⇒ -λ -i ℏ /2 i ℏ /2 -λ ( ) det =0 ⇔ λ y ± =± ℏ /2 - ℏ /2 -i ℏ /2 i ℏ /2 - ℏ /2 ( ) αβαβ () =0 ⇔ α=-iβχ + y =(1/√2) 1i1i ( ) ℏ /2 -i ℏ /2 i ℏ /2 ℏ /2 ( ) αβαβ () =0 ⇔ α=iβχ - y =(1/√2) +i ( ) λ=λ y + =+ ℏ /2 λ=λ y - =- ℏ /2

Sx=( ℏ /2) ( ) Sy=( ℏ /2) 0 -i +i 0 ( ) Sz=( ℏ /2) () χ + x =(1/√2) 1111 ( ) +1 ( ) χ - x =(1/√2) 1i1i ( ) χ + y =(1/√2) +i ( ) χ - y =(1/√2) χ+=χ+= ( 1010 ) χ-=χ-= ( 0101 )

Esercizio: Assegnato il generico stato di spin χ= abab () trovare i valori possibili di Sx, Sy, e Sz, e le corrispondenti probabilità. Come sempre, i valori possibili sono gli autovalori. Inoltre, abbiamo già detto che dalla scrittura: χ= abab () =aχ + +bχ - =a +b si capisce subito che 1010 () 0101 () ; ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 =1 ￨ a ￨ 2 =Prob(Sz=+ ℏ /2); ￨ b ￨ 2 =Prob(Sz=- ℏ /2); Adesso consideriamo Sx

χ= abab () =aχ + +bχ - =a +b 1010 () 0101 () ￨ c ￨ 2 =Prob(Sx=+ ℏ /2); ￨ d ￨ 2 =Prob(Sx=- ℏ /2); Per trovarli basta calcolare c= ＜ χ x + ￨ χ ＞ = χ=cχ x + +dχ x - =c(1/√2) +d(1/√2) 1111 () +1 () c=(a/√2)(1 1) 1010 () =(a+b)/√2+(b/√2)(1 1) 0101 () d=(a/√2)(1 -1) 1010 () =(a-b)/√2+(b/√2)(1 -1) 0101 ( )

c=(a/√2)(1 1) 1010 () =(a+b)/√2+(b/√2)(1 1) 0101 () d=(a/√2)(1 -1) 1010 () =(a-b)/√2+(b/√2)(1 -1) 0101 ( ) ￨ c ￨ 2 =Prob(Sx=+ ℏ /2)=(1/2)(a+b)(a * +b * )=(1/2)( ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 +ba * +ab * ) ￨ d ￨ 2 =Prob(Sx=- ℏ /2)=(1/2)(a-b)(a * -b * )=(1/2)( ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 -ba * -ab * ) ￨ c ￨ 2 + ￨ d ￨ 2 = ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 =1 (ok, prob. totale corretta). Per trovare le probabilità relative a Sy ragiono nello stesso identico modo:

χ= abab () =aχ + +bχ - =a +b 1010 () 0101 () ￨ e ￨ 2 =Prob(Sy=+ ℏ /2); ￨ f ￨ 2 =Prob(Sy=- ℏ /2); Per trovarli basta calcolare e= ＜ χ y + ￨ χ ＞ = χ=eχ y + +fχ y - =e(1/√2) +f(1/√2) 1i1i () +i () e=(a/√2)(1 i) 1010 () =(a-ib)/√2+(b/√2)(1 i) 0101 () d=(a/√2)(-1 i) 1010 () =(-ib-a)/√2+(b/√2)(-1 i) 0101 ( )

￨ e ￨ 2 =Prob(Sy=+ ℏ /2)=(1/2)(a-ib)(a * +ib * )=(1/2)( ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 -iba * +iab * ) ￨ f ￨ 2 =Prob(Sy=- ℏ /2)=(1/2)(-ib-a)(ib * -a * )=(1/2)( ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 +iba * -iab * ) ￨ e ￨ 2 + ￨ f ￨ 2 = ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 =1 (ok, prob. totale corretta). Oss: Ovviamente, (1/2)( ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 +iba * -iab * ) ∈ R come anche (1/2)( ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 -iba * +iab * ). e=(a/√2)(1 i) 1010 () =(a+ib)/√2+(b/√2)(1 i) 0101 ( ) d=(a/√2)(-1 i) 1010 () =(ib-a)/√2+(b/√2)(-1 i) 0101 () (z=x+iy, i(z-z*)=i(x+iy-x+iy)=-2y ∈ R)

Valori di aspettazione di Sx, Sy, e Sz sugli autostati di Sz. ^^^^ ＜ χ+|Sz|χ+ ＞ =(1/2) ℏ m ＜ χ-|Sz|χ- ＞ =-(1/2) ℏ m Sx|χ+ ＞ =( ℏ /2) ( ) 1010 () =( ℏ /2) 0101 ( ) ＜ χ+|Sx|χ+ ＞ =0 Sx|χ- ＞ =( ℏ /2) ( ) 0101 () =( ℏ /2) 1010 ( ) ＜ χ-|Sx|χ- ＞ =0 =( ℏ /2)|χ- ＞ =( ℏ /2)|χ+ ＞

Valori di aspettazione di Sx, Sy, e Sz sugli autostati di Sz. ^^^^ ＜ χ+|Sz|χ+ ＞ =(1/2) ℏ m ＜ χ-|Sz|χ- ＞ =-(1/2) ℏ m Sy|χ+ ＞ =( ℏ /2) 0 -i i 0 ( ) 1010 () =( ℏ /2) 0i0i ( ) ＜ χ+|Sx|χ+ ＞ =0 ＜ χ-|Sx|χ- ＞ =0 ＜ χ+|Sy|χ+ ＞ =0 Sy|χ- ＞ =( ℏ /2) 0 -i i 0 ( ) 0101 () =( ℏ /2) -i 0 () ＜ χ+|Sy|χ+ ＞ =0 =i( ℏ /2)|χ- ＞ =-i( ℏ /2)|χ+ ＞

Valori di aspettazione di Sx, Sy, e Sz su uno stato generico ^^^ ￨ χ ＞ =a ￨ χ+ ＞ +b ￨ χ- ＞ ; ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 =1. Sx|χ ＞ =aSx ￨ χ+ ＞ +bSx=a( ℏ /2) ￨ χ- ＞ +b( ℏ /2) ￨ χ+ ＞ χ ￨ Sx|χ ＞ =(b * a+a * b)( ℏ /2) Metodo alternativo: χ ￨ Sx|χ ＞ =P(Sx= ℏ /2)* ℏ /2+P(Sx=- ℏ /2)*(- ℏ /2)= =(1/2)( ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 +ba * +ab * ) ℏ /2-(1/2)( ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 -ba * -ab * ) ℏ /2= =( ℏ /4)(2ba * +2ab * ) CVD

Valori di aspettazione di Sx, Sy, e Sz su uno stato generico ^^^ ￨ χ ＞ =a ￨ χ+ ＞ +b ￨ χ- ＞ ; ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 =1. Sy|χ ＞ =aSy ￨ χ+ ＞ +bSy=ia( ℏ /2) ￨ χ- ＞ -ib( ℏ /2) ￨ χ+ ＞ χ ￨ Sy|χ ＞ =(-ia * b+ib * a)( ℏ /2) Metodo alternativo: χ ￨ Sy|χ ＞ =P(Sy= ℏ /2)* ℏ /2+P(Sy=- ℏ /2)*(- ℏ /2)= =(1/2)( ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 -iba * +iab * ) ℏ /2-(1/2)( ￨ a ￨ 2 + ￨ b ￨ 2 +iba * -iab * ) ℏ /2= =( ℏ /4)(2iab * -2ia * b) CVD (notare ancora che ∈ R)

Operatori di abbassamento e innalzamento S + =Sx+iSy S - =Sx-iSy ^^^ ^^^ Via i “cappucci” … S + ￨ χ+=Sx ￨ χ+ ＞ +iSy ￨ χ+ ＞ =( ℏ /2) ￨ χ- ＞ (1-1)=0 S + ￨ χ-=Sx ￨ χ- ＞ +iSy ￨ χ- ＞ =( ℏ /2) ￨ χ+ ＞ (1+1)= ℏ￨ χ+ ＞ S - ￨ χ+=Sx ￨ χ+ ＞ -iSy ￨ χ+ ＞ =( ℏ /2) ￨ χ- ＞ (1+1)= ℏ￨ χ- ＞ S - ￨ χ-=Sx ￨ χ- ＞ -iSy ￨ χ- ＞ =( ℏ /2) ￨ χ+ ＞ (1-1)=0

S + ￨ χ+=0 S + ￨ χ-= ℏ￨ χ+ ＞ S - ￨ χ+= ℏ￨ χ- ＞ S - ￨ χ-=0 L’operatore di innalzamento “aumenta di 1” il valore di ms, entro i limiti consentiti. Si annulla quando agisce su uno stato con componente ms massima (per s=1/2 è ammesso solo passare da -1/2 a 1/2). L’operatore di abbassamento “diminuisce di 1” il valore di ms, entro i limiti consentiti. Si annulla quando agisce su uno stato con componente ms minima (per s=1/2 è ammesso solo passare da 1/2 a -1/2). Sono più interessanti quando si considerano spin maggiori di 1. In generale, vale il seguente risultato:

L + =Lx+iLy L - =Lx-iLy ^^^ ^^^ S + ￨ s m s ＞ = ℏ s(s+1)-m s (m s +1) ￨ s (m s +1) ＞ ; ms=-s,-s+1,…,s-1,s S - ￨ s m s ＞ = ℏ s(s+1)-m s (m s -1) ￨ s (m s -1) ＞ ; ms=-s,-s+1,…,s-1,s Se faremo a tempo vi farò vedere come si possono determinare gli autovalori di un qualunque operatore momento angolare sfruttando gli operatori di abbassamento e innalzamento. Per il momento angolare orbitale essi saranno definiti da..

Particella con solo gradi di libertà di spin in un campo magnetico Nel caso più generale, diciamo μ S =-g s γS (con g s =2, “anomalia di spin”; γ=e/2m e ) Per un elettrone: μ S =+ΓS (con g s =2, “anomalia di spin”; γ=e/2m e ); H=-ΓS·B ^ ^ ^^ ^ ^

Adesso considero una particella con spin 1/2, non necessariamente un elettrone, e oriento l’asse z come il campo magnetico, supposto uniforme e di intensità B 0 : H=-ΓSzB o, ovvero: H=-ΓB o ( ℏ /2) ^ ^ ^^ () E’ evidente che gli autostati di H sono gli stessi di Sz: χ+, con energia E=E+=-ΓB o ( ℏ /2)≡- ℏ Δ χ+, con energia E=E-=+ΓB o ( ℏ /2)≡+ ℏ Δ Assegnato il generico stato iniziale χ(o)= ( abab ) χ(t)=c + χ + e +iΔt +c - χ - e -iΔt

χ(0)=c + χ + +c - χ - =aχ + +bχ - c + = ＜ χ + │χ(0) ＞ =a; c - = ＜ χ - │χ(0) ＞ =b χ(t)=aχ + e +iΔt +bχ - e -iΔt = ( ae +iΔt be -iΔt ) Oss: │a│ 2 +│b│ 2 =1. Supponiamo a, e b reali. Possiamo allora considerarli come punti appartenenti alla circonferenza goniometrica nel piano (a,b). Diamo un’interpretazione fisica a questo stato.

χ(t)=aχ + e +iΔt +bχ - e -iΔt = ( ae +iΔt be -iΔt ) Oss: │a│ 2 +│b│ 2 =1. Supponiamo a, e b reali. Possiamo allora considerarli come punti appartenenti alla circonferenza goniometrica nel piano (a,b). Quindi ∃ β tale per cui: a=cos(β); b=sin(β). Preso α=2β ➞ Diamo un’interpretazione fisica a questo stato. χ(t)=aχ + e +iΔt +bχ - e -iΔt = ( cos(α/2)e +iΔt sin(α/2)e -iΔt ) Bene, adesso calcoliamo il valore di aspettazione di Sx, Sy, e Sz in questo stato

χ(t)=aχ + e +iΔt +bχ - e -iΔt = ( cos(α/2)e +iΔt sin(α/2)e -iΔt ) Bene, adesso calcoliamo il valore di aspettazione di Sx, Sy, e Sz in questo stato S z χ(t)=( ℏ /2)cos(α/2)e +iΔt χ + -( ℏ /2)sin(α/2)e -iΔt χ - ➞＜ S z ＞ = =( ℏ /2) ＜ cos(α/2)e +iΔt χ + +sin(α/2)e -iΔt χ - │cos(α/2)e +iΔt χ + -sin(α/2)e -iΔt χ - ＞ =( ℏ /2)[cos 2 (α/2)-sin 2 (α/2)]= =( ℏ /2)cos(α) (cos(2x)=cos 2 (x)-sin 2 (x)) ＜ S z ＞ =( ℏ /2)cos(α) OVVIAMENTE, INDIPENDENTE DAL TEMPO

χ(t)=aχ + e +iΔt +bχ - e -iΔt = ( cos(α/2)e +iΔt sin(α/2)e -iΔt ) S x χ(t)= ＜ S x ＞ =[cos(α/2)sin(α/2)e -2iΔt +cos(α/2)sin(α/2)e +2iΔt ]( ℏ /2) ＜ S x ＞ =( ℏ /2)(1/2)sin(α)(e +2iΔt +e -2iΔt ) (sin(2x)=2sinxcosx) ( ℏ /2) ( ) ( cos(α/2)e +iΔt sin(α/2)e -iΔt ) =( ℏ /2) ( sin(α/2)e -iΔt cos(α/2)e +iΔt ) ➞＜ S x ＞ = ( cos(α/2)e -iΔt ) sin(α/2)e +iΔt ( sin(α/2)e -iΔt cos(α/2)e +iΔt ) =( ℏ /2) ＜ S x ＞ =( ℏ /2)sin(α)cos(2Δt)

χ(t)=aχ + e +iΔt +bχ - e -iΔt = ( cos(α/2)e +iΔt sin(α/2)e -iΔt ) S y χ(t)= ＜ S y ＞ =[-i cos(α/2)sin(α/2)e -2iΔt +i cos(α/2)sin(α/2)e +2iΔt ]( ℏ /2) ＜ S y ＞ =( ℏ /2)(1/2)sin(α)i(e +2iΔt -e -2iΔt ) ( ℏ /2) 0 -i i 0 ( ) ( cos(α/2)e +iΔt sin(α/2)e -iΔt ) =( ℏ /2) ( -i sin(α/2)e -iΔt i cos(α/2)e +iΔt ) ➞＜ S y ＞ = ( cos(α/2)e -iΔt ) sin(α/2)e +iΔt ( -i sin(α/2)e -iΔt i cos(α/2)e +iΔt ) =( ℏ /2) ＜ S y ＞ =-( ℏ /2)sin(α)sin(2Δt)

＜ S z ＞ =( ℏ /2)cos(α) ＜ S x ＞ =( ℏ /2)sin(α)cos(ΓB o t) ＜ S y ＞ =-( ℏ /2)sin(α)sin(ΓB o t) ΓB o ( ℏ /2)≡ ℏ Δ Δ=ΓB o /2 w=ΓB o =“Frequenza di Larmor”. Notare che ＜ S x ＞ 2 + ＜ S y ＞ 2 =( ℏ /√2) 2 sin 2 (α)

＜ S z ＞ =( ℏ /2)cos(α) ＜ S x ＞ =( ℏ /2)sin(α)cos(wt) ＜ S y ＞ =-( ℏ /2)sin(α)sin(wt) ＜ S x ＞ 2 + ＜ S y ＞ 2 =( ℏ /√2) 2 sin 2 (α) z y x ＜ S ＞ =( ＜ S x ＞, ＜ S y ＞, ＜ S z ＞ ) → α w Oss. Classicamente, se un momento di dipolo magnetico a t=0 forma un angolo con il campo, la conservazione dell’energia mi dice che il “moto di precessione” illustrato è l’unico possibile. α Moto di “precessione alla Larmor”

Ci si deve sempre aspettare “comportamento classico” dei valori medi, a causa del “Teorema di Ehrenfest”, che abbiamo dimostrato: d dt = i ℏ Â> t +< Mettiamoci in 1D; H=p 2 /2m+U(x); d dt = i ℏ i ℏ i ℏ i ℏ ^ ^ ^ ^ ^

d dt = i ℏ i ℏ =∫Ψ * U(x)∂ x Ψdx-∫Ψ * ∂ x [U(x)Ψ]dx i ℏ =∫Ψ * U(x)∂ x Ψdx-∫Ψ * ∂ x [U(x)]Ψ)dx-∫Ψ * U(x)∂ x Ψdx =-∫Ψ * ∂ x [U(x)]Ψ)dx= ➞ i ℏ d dt = (II legge di Newton) Principio di corrispondenza (classica/quantistica) d dt = /m ^ ^ ^ ^ ^ ^

d dt = /m Mettiamoci in 1D; H=p 2 /2m+U(x); d dt = i ℏ i ℏ i ℏ i ℏ [p,x]=-i ℏ➞ px-xp=-i ℏ [p 2,x]= ppx-xpp=ppx-pxp-i ℏ p=p(px-xp)-i ℏ p=-2i ℏ p d dt = /m ^^ ^ ^ ^ ^^^ ^^ ^^ ^ ^

[p 2,x]=-2i ℏ p ^^ Oss: è un esempio delle relazioni valide in generale: [x,G(px,py,pz)]=i ℏ ∂ px (G) ^^ [F(x,y,z),px]=i ℏ ∂ x (F) ^ ^ Altro esempio: U(x,y,z)=ax 2 +by 3 +cz 2 ➞ [U(x,y,z),py]=i ℏ 3by 2

Funzioni d’onda dipendenti da spin e posizione Se l’hamiltoniana di un sistema non contiene termini che dipendono dallo spin, come ad esempio: r2r2 ∂r ( ) r 2 sinθ∂θ () 1∂r2r2 ∂ + 1∂ sinθ ∂ r 2 sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ 2 2 -ℏ -ℏ [ 2 2m ] +V(r) Ĥ= ∂x 2 ∂ 2 -ℏ -ℏ [ 2 2m ] ∂y 2 ∂ 2 ∂z 2 ∂ 2 Ĥ=Ĥ= + + Ĥ=f(posizioni, ma anche momenti)

Funzioni d’onda dipendenti da spin e posizione Se l’hamiltoniana Ĥ di un sistema non contiene termini che dipendono dallo spin, allora [H,S 2 ]=[H,S z ]=0 ∧∧∧∧ infatti gli operatori di spin agiscono su “nuovi gradi di libertà” che nulla hanno a che vedere con i “soliti”. Indipendentemente da come agiscono, già questo mi basta per concludere che le parentesi di commutazione qui sopra riportare sono nulle.

Se l’hamiltoniana Ĥ di un sistema non contiene termini che dipendono dallo spin, allora [H,S 2 ]=[H,S z ]=0 ∧∧∧∧ ma allora i due operatori di spin e l’hamiltoniana devono ammettere un sistema comune di autovettori. Ora, se prendo fn(x,y,z), con Ĥf n =E n f n, e la moltiplico per uno spinore χ, Ĥχfn(x,y,z)=χĤfn(x,y,z)=Enχfn(x,y,z), quindi fn(x,y,z) moltiplicata per un qualunque spinore è ancora un’autofunzione di Ĥ corrispondente a En. Parimenti, se prendo ad esempioχ=χ +, allora Szχ + f(x,y,z)=f(x,y,z)Szχ + = ℏ mf(x,y,z)χ + e quindi un autospinore moltiplicato per una qualunque funzione della posizione è ancora un autospinore relativo al medesimo autovalore. (Notare che n qui rappresenta un indice “riassuntivo” di una terna)

Morale: se l’hamiltoniana Ĥ di un sistema non contiene termini che dipendono dallo spin, allora costruire gli autostati è facile. ￨ n=fn(x,y,z); Ĥ ￨ n=E n ￨ n; (prima di conoscere lo spin) ￨ n,s,m s =fn(x,y,z)χ ms ; Ĥ ￨ n,s,ms=E n ￨ n,s,ms; (valida per Ĥ indipendente dallo spin) dove χ ms è l’autospinore dell’operatore Sz per una particella con spin s (fissato, è inutile ri-specificarlo) e autovalore di Sz pari a ms. Per un elettrone ci sono solo due valori possibili: χ +(1/2) ≡χ + = e χ (-1/2) ≡χ - = 1010 () 0101 ()

￨ n,s,m s =fn(x,y,z)χ ms ; Ĥ ￨ n,s,ms=E n ￨ n,s,ms; (valida per Ĥ indipendente dallo spin) χ +(1/2) ≡χ + = e χ (-1/2) ≡χ - = 1010 ( ) 0101 () quindi l’effetto dello spin è quello di trasformare l’autofunzione originale in un oggetto a due componenti, quella “up” e quella “down” (una per ogni valore di ms) fn(x,y,z)-> f↑(x,y,z) f↓(x,y,z) ( ) componente “up” componente “down”

f(x,y,z,m s,t), con x,y,z variabili continue, e m s che può assumere 2s+1 valori. Per un elettrone saranno solo due valori. Sono del tutto equivalenti le scritture f(x,y,z,m s,t); ms=-s,…,-1,0,1,…,s e: f 1 (x,y,z,t) … f (2s+1) (x,y,z,t) Una generica funzione d’onda dipendente da posizione e spin si potrà scrivere: () dove f w (x,y,z,t)=f(x,y,z,s-m s +1,t) e w=0,1,…,2s+1 Alcuni libri usano la notazione intermedia f(x,y,z,w,t), w=0,1,…,2s+1

＜ f(x,y,z,m s,t)│g(x,y,z,m s,t) ＞ = Il prodotto scalare in questo spazio di Hilbert esteso ai gradi di libertà di spin manterrà le caratteristiche tipiche del prodotto interno già visto: ∑ ms ∫∫∫ f * (x,y,z,m s,t)g(x,y,z,m s,t)dxdydz La normalizzazione si scriverà: ＜ f(x,y,z,m s,t)│f(x,y,z,m s,t) ＞ =1= ∑ ms ∫∫∫ │ f(x,y,z,m s,t) │ 2 │ f(x,y,z,m s,t) │ 2 dxdydz = probabilità di trovare la particella con valore di Sz pari a ms nel volumetto attorno a (x,y,z). In generale: │ f(x,y,z,m s,t) │ 2 dxdydz ≤ 1 ∫∫∫ = probabilità di trovare la particella con valore di Sz pari a ms.

＜ f(x,y,z,m s,t)│g(x,y,z,m s,t) ＞ = Ancora sul prodotto interno: ∑ ms ∫∫∫ f * (x,y,z,m s,t)g(x,y,z,m s,t)dxdydz può anche essere scritto nella forma “integrale dell’usuale prodotto interno tra un vettore riga e uno colonna” usando la notazione alternativa: ＜ f(t)│g(t) ＞ = ∫∫∫ dxdydz ( f 1 (x,y,z,t) …f (2s+1) (x,y,z,t) ) g 1 (x,y,z,t) … g (2s+1) (x,y,z,t) () **

Autovalori e autofunzioni dell’atomo di idrogeno considerando lo spin. Lo spin è un momento magnetico. In assenza di campi magnetici esterni e trascurando effetti “fini” o “iperfini”, l’hamiltoniana rimane la solita … r2r2 ∂r ( ) r 2 sinθ∂θ () 1∂r2r2 ∂ + 1∂ sinθ ∂ r 2 sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ 2 2 -ℏ -ℏ [ 2 2m ] +V(r) Ĥ= Quindi, evidentemente [S 2,Ĥ]=[S z,Ĥ]=0 ^^ e le “vecchie” autofunzioni │n,l,m ＞ diventano delle │n,l,m,s,ms ＞ =│n,l,m,1/2,ms ＞ ≡│n,l,m,ms ＞, ovvero

R nl (r)Y l m (θ,φ)χ+ per ms=1/2 R nl (r)Y l m (θ,φ)χ-per ms=-1/2 Gli autovalori corrispondenti E n non cambiano, ma se senza spin avevo due indici di degenerazione (l,m), ora la degenerazione raddoppia per effetto dello spin. Es: n=1,l=0,m=0 senza spin non era degenere. Ora ha degenerazione 2.

r2r2 ∂r ( ) r 2 sinθ∂θ () 1∂r2r2 ∂ + 1∂ sinθ ∂ r 2 sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ 2 2 -ℏ -ℏ [ 2 2m e ] +V(r) Ĥ= Come cambia in presenza di un campo magnetico esterno B 0 (uniforme, orientato lungo z)? Per motivi che saranno chiari più avanti lo immagineremo FORTE. Devo aggiungere all’hamiltoniana il “termine alla Zeeman”: Ĥ Z =(eB 0 /2m e )(Lz+g s Sz) ^^ Hey, ma le autofunzioni dell’atomo idrogeno imperturbato sono ancora autofunzioni!!! Ĥ│n,l,m,ms ＞ =En│n,l,m,ms ＞ (Ĥ+Ĥ Z) │n,l,m,ms ＞ =En│n,l,m,ms ＞ +(eB 0 /2m e )(Lz+g s Sz)│n,l,m,ms ＞ =En│n,l,m,ms ＞ +(B 0 e ℏ /2m e )(m+g s m S )│n,l,m,ms ＞

(Ĥ+Ĥ Z) │n,l,m,ms ＞ =En│n,l,m,ms ＞ +(eB 0 /2m e )(Lz+g s Sz)│n,l,m,ms ＞ =En│n,l,m,ms ＞ +(B 0 e ℏ /2m e )(m+g s m S )│n,l,m,ms ＞ =[En+μ B B 0 (m+g s m S )]│n,l,m,ms ＞, con μ B ≡e ℏ /(2m e )≈6x10 -5 eV/T magnetone di Bohr Quindi, in presenza di un campo magnetico FORTE che agisce su un atomo di idrogeno, e ignorando la “struttura fine”, le autofunzioni rimangono le stesse del sistema imperturbato. L’energia dei livelli cambia: si rompe la degenerazione sia in m sia in ms (livelli E n,m,ms )

E n,m,ms =[En+μ B B 0 (m+g s m S )]│n,l,m,ms ＞ SENZA CAMPO: 2s2p E=E 2 CON CAMPO: l=0 m=0 ms=±1/2 0,0,±1 l=1 m=0,±1 ms=±1/2 1,0,±1/2 e 1,±1,±1/2 0,0,+1/2 Esempio: n=2. Ricordiamo che gs≈2 0,0,-1/2 1,0,+1/2 1,0,-1/2 1,1,+1/2 1,1,-1/2 1,-1,+1/2 1,-1,-1/2 Essenzialmente ho 4 stati distinti (ma occhio alle regole di selezione..)

E n,m,ms =[E n +μ B B 0 (m+g s m S )]│n,l,m,ms ＞ Effetto Zeeman “forte” o “normale”. Il campo deve essere forte rispetto a cosa? L’effetto è “normale” rispetto a quale “anomalia”?