Meccanica quantistica

OBIETTIVI ED IDEE DEGLI STUDENTI

Perché la meccanica quantistica? Contenuto motivante perché permette di affrontare argomenti di ricerca attuali Numerose applicazioni tecnologiche Introduzione di concetti che non hanno corrispettivo classico Dibattuta storicamente ed epistemologicamente

MQ risulta difficile … perché servono alcuni concetti di base di EM e meccanica ondulatoria; … formalismo matematico … difficoltà di visualizzazione … poche strategie didattiche per

Perché è difficile spiegare contraddizioni Un qualunque corpo che si trovi a temperatura T diversa da 0 e sorgente di radiazione elettromagnetica dovuta al moto di agitazione termica degli atomi che lo compongono. L'emissione di tale energia avviene a spese dell'energia termica. Dunque all'interno di una cavità sarà sempre presente una radiazione termica, e, nel caso in cui la temperatura rimanga costante (condizioni di equilibrio termodinamico), la distribuzione di radiazione viene detta spettro di corpo nero.

Secondo l'elettromagnetismo classico (applicando le equazioni di Maxwell alle radiazioni emesse e assorbite dalle pareti del corpo nero) la potenza irradiata per unita di frequenza deve seguire la legge di Rayleigh- Jeans ed essere proporzionale al quadrato della frequenza stessa. Questo implicherebbe che sia la potenza a una data frequenza sia la potenza totale irradiata vadano all'infinito per frequenze sempre più elevate (cadendo così nel problema della "catastrofe ultravioletta"), in contraddizione con i dati sperimentali, oltre che in violazione del principio di conservazione dell'energia.

Secondo la teoria classica, strutture formate da particelle cariche oscillanti ad alta frequenza dovrebbero, a temperatura ambiente, emettere raggi UV, gamma e raggi X. Dovrebbero inoltre assorbire enormi quantità di energia per incrementare la propria temperatura anche solo di un grado Celsius. Entrambi i fenomeni però non sono verificati sperimentalmente.

Problemi con l'assenza di determinismo causati dall'inabilità della funzione d'onda a descrivere una traiettoria e difficoltà di comprensione riguardo al concetto di energia potenziale in sica classica che si traducono in difficoltà nell'ambito delle buche di potenziale

Problemi con la comprensione della relazione tra energia potenziale, lunghezza d'onda e ampiezza di una funzione d'onda Confusione riguardo l'interpretazione delle dimensioni della funzione d'onda L'impossibilità di misurare con precisione posizione e momento (conseguenza del processo di misura) sembra essere per alcuni studenti legata all'inabilità di fare misure precise, quindi ad un errore di misura

Proposte didattiche Di solito combinano materiali scritti, programmi informatici interattivi e multimediali per fornire un ambiente di apprendimento in cui gli studenti ottengono più di una "visione" della fisica quantistica. Questi materiali permettono di analizzare le situazioni in termini di energia potenziale e totale e di fare misure qualitative per delineare le funzioni d'onda di oggetti in movimento sotto l'influenza di forze rappresentate da queste energie; permette ad es. la comprensione di concetti importanti come gli stati di energia negli atomi e l'effetto tunnel.

Proposte didattiche Un proposta vede la comprensione dell'applicazione dei principi fondamentali ai fenomeni fisici ed alle tecnologie moderne (microscopi quantistici ad effetto tunnel, diodi ad emissione di luce etc). Far sapere che la meccanica quantistica ha qualche applicazione pratica nella tecnologia di tutti i giorni e risultato essere uno stimolante gradino verso la comprensione. VQM (Visual Quantum Mechanics) rivolto a scuole superiori e studenti universitari. Unità didattiche comprendono tunnel quantistico, luminescenza, laser e diagrammi di energia potenziale. Una caratteristica interessante della visualizzazione e che gli studenti possono cambiare la massa della particella o anche la costante di Planck ed osservare le conseguenze.

Sequenza libri di testo dall'ipotesi di struttura della materia formulata da Thomson a quella di Rutherford, l'ipotesi di Planck sulla granularita degli scambi energetici tra radiazione e materia, la conseguente proposta di Einstein per spiegare le osservazioni sull'effetto fotoelettrico, le osservazioni sugli spettri di emissione e di assorbimento, l'ipotesi di quantizzazione dell'energia degli elettroni all'interno dell'atomo presentata da Bohr e Sommerfeld.

Cosa dovrebbero sapere gli studenti concetto di equilibrio termodinamico, condizione di equilibrio tra emissione ed assorbimento di radiazione in una camera Una carica accelerata irraggia (la nuova teoria non abolisce l'irraggiamento elettromagnetico) L'analisi in frequenza della radiazione fenomeni di interferenza delle onde elettromagnetiche linearità delle equazioni di evoluzione che governano i campi di vettori dell'Elettromagnetismo

Esperimento delle due fenditure con elettroni

ciò che ci si aspetta classicamente sommando i contributi delle fenditure. i due contributi restituiscono una figura di interferenza.

Esperimento delle due fenditure con elettroni Nonostante l'identica preparazione dello stato iniziale, in prove ripetute, gli impatti sono distribuiti in differenti punti dello spazio. La statistica della posizione degli impatti differisce, qualitativamente e quantitativamente da quanto si osserva quando uno dei due fori è occluso. In più si discosta drasticamente dalla semplice sovrapposizione delle figure osservate quando uno o l'altro foro e chiuso. La figura risultante dalla collisione di molti elettroni e simile alla tipica figura di interferenza delle onde sferiche emesse da due sorgenti puntiformi.

Che cosa "ondeggia" nel mondo microscopico? certamente nulla di materiale! Se per le onde del mare ad oscillare sono le particelle di liquido (nel modello a sfere elastiche), se per le onde sonore sono le particelle d'aria, se per le onde elettromagnetiche sono i campi elettrici e magnetici, per le "onde di materia" non c'e nulla di materiale e nulla che sia direttamente misurabile che si evolve per onde!

Onde di materia la Probabilità di osservare un elettrone in un punto preciso dello schermo e legata all'intensità dell'onda le onde sono onde di possibilità: esse codificano la statistica dei possibili risultati di una qualunque serie di misurazioni sull'elettrone, non è possibile associare tali possibilità a nessuna proprietà effettiva posseduta dall'elettrone fino a che la misurazione non venga effettuata! Sono le onde di possibilità a sommarsi e non le possibilità, che sono invece collegate all'intensità dell'onda!"

Componenti del modello quantistico Lo stato di un sistema quantistico è univocamente definito da un vettore normalizzato in uno spazio di Hilbert complesso H. Le osservabili fisiche sono rappresentate da operatori autoaggiunti in H I possibili risultati della misura di una osservabile sono i valori reali appartenenti al spettro dell'operatore ad essa associato L'evoluzione dello stato del sistema è generata dall'operatore autoaggiunto associato all'osservabile energia del sistema

Finalità del modello quantistico Lo scopo della meccanica quantistica è quello di fornire formule di calcolo per la probabilità di osservare valori specifici di osservabili fisiche quando una tale osservabile sia sottoposta a misura.

Possibili strade Equazione numerica per la psi Analogia con polaroidi Pros: Permette di ricostruire rigorosamente la dinamica della psi, non ricorrendo alla soluzione di equazioni differenziali, preservando i concetti di base Cons: non permette la discussione sulla misura in mq, la non commutabilità degli osservabili o l’entanglement Pros: Permette di discutere la misura in mq, la non commutabilità, entanglement, paradossi Cons: fenomenologia studiata NON è quantistica, l’apparato formale non è intrinsecamente probabilistico

Spiegazione standard diffrazione elettronica Spiegazione con analogia con polaroid e calcite Vedi dopo

Proposta didattica basata sull’analogia

Impostazione didattica 1.1. Obiettivi generali. Si propone una visione sintetica della meccanica quantistica e del formalismo che la sostiene Nodi concettuali. - Approccio ondulatorio; - Passaggio dal continuo al discreto; - Trattazione fenomenologia corredata dal formalismo della quantistica di base Prerequisiti. - Saper effettuare misurazioni in laboratorio e stendere una relazione di laboratorio; - Fotone come particella; - Rappresentazione vettoriale ed elementari leggi di composizione.

Conoscenze. Fenomenologia della polarizzazione Legge di Malus Stato quantico e Proprietà descritte quantisticamente da uno stato Principio di sovrapposizione Comportamento non classico dei fotoni nelle interazioni Concetto di proprietà incompatibili Principio di indeterminazione di Heisenberg Concetto di proiettore e concetto di operatore Grandezza misurabile come soluzione agli autovalori Teoria quantistica della misura Principio di non località

Strumenti. (1) Schede operative (2) Questionari (3) Software per elaborare dati (4) Lavagna (5) Laboratorio di Fisica (6) Materiali per gli esperimenti (materiale povero)

Polaroid

Calcite

Verso il formalismo Legge di Malus: I trasm /I incid = cos 2 θ Legge di Malus: I trasm /I incid = cos 2 θ Interpretiamo (numero di fotoni): N trasm /N incid = cos 2 θ Interpretiamo (numero di fotoni): N trasm /N incid = cos 2 θ Probabilità per i fotoni che attraversano polaroid nello stato u di attraversare anche il polaroid nello stato v: P(u,v) = cos 2 θ Polaroid (u,v) 2 = cos 2 θ P(u,v) = (u,v) 2

Calcite: ogni vettore bidimensionale può essere scritto come combinazione lineare di due vettori ortogonali H e V u=ψ 1 H+ ψ 2 V ψ 1 e ψ 2 sono dette ampiezze e devono obbedire alla condizione di normalizzazione ψ ψ 2 2 = 1 Regole elementari ψ 1 = (H,u) ψ 2 = (V,u) Ψ 1 2 è la probabilità di trovare un fotone nello stato H Ψ 2 2 è la probabilità di trovare un fotone nello stato V

P(D) = P(u,v) = (u,v) 2 = [ψ 1 (H,v)+ ψ 2 (V,v)] 2 = ψ 1 2 (H,v) 2 + ψ 2 2 (V,v) 2 +2 ψ 1 ψ 2 (H,v) (V,v) = P(H) P(D|H)+P(V)P(D|V) +2 ψ 1 ψ 2 (H,v) (V,v) Probabilità di far scattare il rilevatore D Il terzo termine caratterizza l’interferenza quantistica P.s. : Non può essere ottenuto con le regole di probabilità condizinata classica (H,u) 2 Probabilità di far scattare D, se il fotone ha proprietà H (H,v) 2 Probabilità di far scattare D, se il fotone ha proprietà V Ψ 2 2 è la probabilità di trovare un fotone nello stato V

QUESTIONARIO A RISPOSTA MULTIPLA