Rapporti e proporzioni

Slides:



Advertisements
Presentazioni simili
Cosa sono? Come si risolvono?
Advertisements

Le grandezze e la loro misura
Le frazioni Vogliamo ampliare l’insieme numerico N con un insieme numerico nel quale sia sempre possibile eseguire la divisione . Per fare ciò dobbiamo.
1 I numeri relativi DEFINIZIONE. Si dicono numeri relativi tutti i numeri interi, razionali e irrazionali dotati di segno (positivo o negativo). ESEMPI.
1 L’equivalenza delle figure piane
Gli Elementi di Euclide
Equazioni di primo grado
Capitolo 8 Sistemi lineari.
LE MATRICI.
Grandezze omogenee La Misura.
Teorema di Talete Un fascio di rette parallele determina su due trasversali classi di segmenti proporzionali. A’ A B B’ AB:BC=A’B’:B’C’ C C’
Definizione e caratteristiche
1 ESEMPIO F ~ F’’ Definizione
1 Grandezze omogenee, commensurabili e incommensurabili
Esempio : 2x+5=11-x è un’uguaglianza vera se x è uguale a 2.
Elementi di Matematica
RICHIAMI ELEMENTARI DI ALGEBRA MATRICIALE
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO AD UNA INCOGNITA
Liceo Scientifico "A.Volta" Reggio Calabria
PROPORZIONI.
geometria euclidea Realizzato dall’alunna: PARIMBELLI ILARIA
PROPORZIONI E RAPPORTI
Grandezze Proporzionali
Riccardo, alunno della 3A secondaria di 1° di San Macario presenta:
LA FRAZIONE COME OPERATORE.
Tecnica Amministrativa
Le proporzioni.
COSA VUOL DIRE UN MEZZO? COSA VUOL DIRE UN TERZO?
Come aiutare la mamma ….. Oggi a cena dovremmo essere in dieci …..
Scuola media “P.Serafini” Sulmona
Rapporti  Il rapporto è un concetto impiegato per esprimere la relazione che intercorre tra le misure di due grandezze. Nel caso di grandezze dello stesso.
rapporti e proporzioni
Grandezze e funzioni Marco Bortoluzzi.
Rapporti e proporzioni
I RAPPORTI ANNA E NICOLA.
RAPPORTI E PROPORZIONI
DAI NUMERI NATURALI AI RAZIONALI E OLTRE La misura.
I RADICALI.
LE PROPRIETA' DELLE PROPORZIONI Prodotto da Prof.ssa Maria Raschello
Mi viene voglia di scappare!
Attività multimediale sviluppata in gruppi di lavoro Docente coinvolta: G. Alecci.
RAPPORTI E PROPORZIONI PROPORZIONALITA’ DIRETTA ED INVERSA
5 : 7 = : 1 9 × = = 27 : 45 = 0,6 = : 7 = I Rapporti.
Riccardo, alunno della 3A secondaria di 1° di San Macario presenta:
I rapporti . . _______ e le proporzioni.
LE PROPORZIONI.
Rapporti numerici e tra grandezze
La Géométrie di Descartes Le rappresentazioni geometriche delle soluzioni delle equazioni Paolo Freguglia Dept. of Engineering and Science of Information.
Le funzioni matematiche e il piano cartesiano
I poliedri diagonale DEFINIZIONE. Un poliedro è la parte di spazio delimitata da poligoni posti su piani diversi in modo tale che ogni lato sia comune.
32 = 9 x2 = 9 x = 3 32 = 9 √9 = 3 L’estrazione di radice
DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono proporzionali se il rapporto che le lega può essere espresso mediante una proporzione numerica. Le grandezze direttamente.
Rapporti e proporzioni a cura della prof.sa Carmelisa Destradis prerequisiti Saper confrontare due frazioni Conoscere il significato di quoziente Sapere.
Sistemi di equazioni lineari. Sistemi di primo grado di due equazioni a due incognite Risolvere un sistema significa trovare la coppia di valori x e y.
TEOREMA. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. L’enunciato del teorema.
Equazioni algebriche sul campo dei numeri reali. Generalità.
La misura della circonferenza e del cerchio
Raccogliamo x al primo membro e 2 al secondo:
L’unità frazionaria ESEMPIO Rappresentazione
Prof.ssa Livia Brancaccio 2015/16
PERCENTUALE La percentuale è una delle possibili rappresentazioni numeriche del rapporto tra due quantità (A e B), in cui una (A) viene espressa in centesimi.
Le frazioni A partire da N vogliamo costruire un nuovo insieme numerico nel quale sia sempre possibile eseguire la divisione. Per fare ciò dobbiamo introdurre.
Le trasformazioni non isometriche
Prof. Cerulli – Dott. Carrabs
Classe II a.s. 2010/2011 Prof.ssa Rita Schettino
PROPORZIONI E RAPPORTI. Divisioni Es. di divisioni in problemi. 1)Devo distribuire sei biscotti tra 2 amici; quanti biscotti per ciascun amico?
Le proporzioni Definizione I termini di una proporzione
Proporzioni.
Rapporti e proporzioni
Rapporti e proporzioni
Transcript della presentazione:

Rapporti e proporzioni Il concetto di rapporto DEFINIZIONE. Il rapporto fra due valori numerici a e b è costituito dal loro quoziente; a e b sono i termini del rapporto, il primo termine si chiama antecedente, il secondo si chiama conseguente. Si può scrivere nelle forme antecedente antecedente conseguente a b a : b Termini del rapporto Termini del rapporto conseguente Il rapporto inverso dei due numeri si ottiene semplicemente invertendo l’antecedente con il conseguente. Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni La proprietà fondamentale del rapporto PROPRIETÀ. Moltiplicando o dividendo l’antecedente e il conseguente per uno stesso numero, diverso da 0, si ottiene un rapporto equivalente a quello dato. Consideriamo il rapporto equivale a Il valore del rapporto non cambia oppure equivale a Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Il rapporto tra grandezze omogenee PROPRIETÀ. Il rapporto tra due grandezze omogenee dà origine a un numero puro, senza cioè unità di misura e che può essere naturale, razionale o irrazionale. Primo caso Il rapporto dà origine ad un numero naturale. ESEMPIO Calcoliamo il rapporto tra due segmenti lunghi rispettivamente 10 cm e 2 cm. A B AB = 10 cm C D CD = 2 cm AB CD = 10 5 cm 2 1 cm = 5 Il rapporto tra la prima e seconda grandezza è Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Il rapporto tra grandezze omogenee Secondo caso Il rapporto dà origine ad un numero razionale. ESEMPIO Calcoliamo il rapporto tra due segmenti lunghi rispettivamente 10 cm e 6 cm. A B AB = 10 cm C D CD = 6 cm AB CD = 10 5 cm 6 3 cm 5 3 Il rapporto tra la prima e la seconda grandezza è Per questi due primi casi possiamo concludere che: DEFINIZIONE. Due grandezze che hanno per rapporto un numero naturale o un numero razionale si dicono commensurabili (ammettono cioè un sottomultiplo comune). Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Il rapporto tra grandezze omogenee Terzo caso Il rapporto dà origine ad un numero irrazionale. ESEMPIO Consideriamo un quadrato il cui lato è 2 cm. In base al teorema di Pitagora la diagonale è lunga: Eseguiamo il rapporto tra la diagonale e il lato del quadrato: In questo caso possiamo dire che: DEFINIZIONE. Due grandezze che hanno per rapporto un numero irrazionale si dicono incommensurabili (non ammettono cioè un sottomultiplo comune). Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Il rapporto tra grandezze non omogenee REGOLA. Il rapporto tra due grandezze non omogenee dà origine a una grandezza derivata, diversa cioè da quelle date, il cui valore dipende dalla scelta delle unità di misura delle due grandezze date. ESEMPI Calcoliamo il rapporto tra lo spazio percorso da un’automobile (320 km) e il tempo impiegato per percorrerlo (4 ore). Questo rapporto esprime la velocità media dell’automobile: Calcoliamo il rapporto tra il peso di un braccialetto d’oro (27 g) e il suo volume (1,4 cm3). Questo rapporto esprime il peso specifico dei corpi: Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Scala di riduzione e scala di ingrandimento DEFINIZIONE. La scala di riduzione rappresenta il rapporto tra la misura di una distanza sulla carta e la misura della stessa distanza nella realtà (calcolata cioè sul territorio terrestre). La carta geografica della figura a lato è in scala 1 : 2 500 000. Questo significa che 1 cm sulla cartina corrisponde a 2 500 000 cm (25 km) nella realtà. Se misuriamo la distanza tra Ipswich e Londra otteniamo la misura 4,3 cm; questo vuol dire che nella realtà la distanza fra le due città si ricava mediante il calcolo Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Il concetto di proporzione Consideriamo il seguente esempio: Stefano ha realizzato 60 punti in 4 partite di pallacanestro, con una media di punti per partita Paolo ha realizzato 30 punti in 2 partite di pallacanestro, con una media di punti per partita I due giocatori hanno realizzato in media lo stesso numero di punti in proporzione alle partite giocate. È possibile dunque scrivere la seguente uguaglianza: 60 : 4 = 30 : 2 Si legge 60 sta a 4 come 30 sta a 2. Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Il concetto di proporzione DEFINIZIONE. Si dice proporzione un’uguaglianza tra due rapporti. I quattro numeri si chiamano termini della proporzione; il primo e il terzo si dicono antecedenti, il secondo e il quarto conseguenti. Secondo un’altra classificazione possiamo dire che: DEFINIZIONE. Il primo e il quarto numero si chiamano estremi; il secondo e il terzo si chiamano medi. conseguenti antecedenti 60 : 4 = 30 : 2 estremi medi Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Le proporzioni continue DEFINIZIONE. Tutte le proporzioni che hanno i medi uguali prendono il nome di proporzioni continue. Il termine che occupa il posto dei medi si chiama medio proporzionale. Ad esempio, nella proporzione: 125 : 25 = 25 :5 medio proporzionale Il numero 25 è il medio proporzionale. Rapporti e proporzioni

Prodotto degli estremi La proprietà fondamentale delle proporzioni PROPRIETÀ. In ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi. ESEMPIO Consideriamo la seguente proporzione: Si ha che: Prodotto dei medi Prodotto degli estremi Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Proprietà dell’invertire PROPRIETÀ. Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente, si ha ancora una proporzione. ESEMPIO Consideriamo la seguente proporzione: Riscriviamola scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente che è ancora una proporzione perché e In generale possiamo affermare che a : b = c : d allora anche b : a = d : c se Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Proprietà del permutare PROPRIETÀ. Se in una proporzione si scambiano tra loro i due medi, i due estremi o entrambi, si ha ancora una proporzione. ESEMPIO Consideriamo la seguente proporzione: Scambiando i due medi si ha I prodotti sono uguali Scambiando i due estremi si ha I prodotti sono uguali Scambiando i due medi e i due estremi si ha I prodotti sono uguali In generale se a : b = c : d allora d : b = c : a d : c = b : a a : c = b : d Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Proprietà del comporre PROPRIETÀ. In una proporzione la somma tra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) termine come la somma tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto) termine. ESEMPIO Consideriamo la seguente proporzione: Se sostituiamo al primo termine la somma tra il primo e il secondo termine, al terzo termine la somma tra il terzo e il quarto termine, e sostituiamo il secondo e il quarto termine con il primo e il terzo termine, otteniamo cioè Se sostituiamo al primo termine la somma tra il primo e il secondo termine, al terzo termine la somma tra il terzo e il quarto termine, e scegliamo come secondo e quarto termine il secondo e il quarto termine, otteniamo cioè In generale, se a : b = c : d allora (a + b) : b = (c + d) : d (a + b) : a = (c + d) : c Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Proprietà dello scomporre PROPRIETÀ. In una proporzione (avente gli antecedenti maggiori dei rispettivi conseguenti) la differenza tra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) termine come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto) termine. ESEMPIO Consideriamo la seguente proporzione: Se sostituiamo al primo termine la differenza tra il primo e il secondo termine, al terzo termine la differenza tra il terzo e il quarto termine, e sostituiamo il secondo e il quarto termine con il primo e il terzo termine, otteniamo cioè Se sostituiamo al primo termine la differenza tra il primo e il secondo termine, al terzo termine la differenza tra il terzo e il quarto termine, e scegliamo come secondo e quarto termine il secondo e il quarto termine, otteniamo cioè In generale, se a : b = c : d con a > b e c > d allora (a − b) : a = (c − d) : c (a − b) : b = (c − d) : d Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni La risoluzione di una proporzione Risolvere una proporzione significa calcolare il termine incognito conoscendo il valore degli altri tre termini. Primo caso Calcolare un estremo di una proporzione. REGOLA. In una proporzione il valore di un estremo incognito si ricava moltiplicando i due medi e dividendo il prodotto ottenuto per l’estremo noto. ESEMPIO 25 : 2 = 100 : x 4 1 Quindi la proporzione è: Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni La risoluzione di una proporzione Secondo caso Calcolare un medio di una proporzione. REGOLA. In una proporzione il valore di un medio incognito si ricava moltiplicando i due estremi e dividendo il prodotto ottenuto per il medio noto. ESEMPIO 48 : x = 36 : 60 5 16 15 9 3 1 Quindi la proporzione è: Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni La risoluzione di una proporzione Terzo caso Calcolare il medio proporzionale di una proporzione continua. REGOLA. In una proporzione continua il valore del medio proporzionale si ottiene calcolando la radice quadrata del prodotto dei due estremi. ESEMPIO 4 : x = x : 49 Quindi la proporzione è: Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Risoluzione di particolari proporzioni Primo caso REGOLA. In una proporzione il valore di uno dei due medi, che è anche una parte da aggiungere al corrispondente estremo, si ottiene applicando prima la proprietà dello scomporre e poi moltiplicando gli estremi della proporzione ottenuta e dividendo il prodotto per l’altro medio. ESEMPIO Consideriamo la seguente proporzione: applichiamo la proprietà dello scomporre e otteniamo 5 2 1 Quindi la proporzione è: cioè Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni Risoluzione di particolari proporzioni Secondo caso REGOLA. In una proporzione il valore di uno dei due medi, che è anche la parte da sottrarre al corrispondente estremo, si ottiene applicando prima la proprietà del comporre e poi moltiplicando gli estremi della proporzione ottenuta e dividendo il prodotto per l’altro medio. ESEMPIO Consideriamo la seguente proporzione: applichiamo la proprietà del comporre e otteniamo 2 1 Quindi la proporzione è: cioè Rapporti e proporzioni