Teoria delle Piastre e dei Gusci UNIVERSITÀ DEL SALENTO Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Lezione 1 Teoria delle Piastre e dei Gusci

Definizioni Le piastre possono essere genericamente identificate con tutti quegli elementi strutturali che sono racchiuse o individuate da superfici. Questa definizione implica che tutti questi elementi hanno una dimensione – lo spessore – piccola in confronto alle altre dimensioni. Una piastra è un corpo racchiuso tra due superfici, una inferiore e l’altra superiore. La distanza tra le due superfici ne definisce lo spessore punto per punto. E’ quindi possibile sostituire all’oggetto tridimensionale una sua schematizzazione costituita dal piano medio e dallo spessore in ogni suo punto.

Classificazione in base al piano medio Lastra (Plate): il piano medio è una superficie piana e i carichi agiscono nel piano medio Piastra piana (Plate): il piano medio è una superficie piana e i carichi sono generalmente normali al piano medio Piastra curva (Shell): il piano medio è una superficie curva Classificazione in base allo spessore Piastra uniforme: lo spessore è identico in tutti i punti Piastra a spessore variabile

Classificazione strutturale Gusci o Membrane (Thin Shell): piastre curve caratterizzate da uno spessore così piccolo che gli unici sforzi rilevanti sono quelli membranali Piastre sottili o di Kirchoff: piastre aventi uno spessore piccolo ma tale da garantire una certa rigidezza flessionale Piastre spesse o di Mindlin: lo spessore è tale che non è più accettabile trascurare le deformazioni di taglio

Stato di tensione nelle piastre Fissato un sistema di riferimento curvilineo x,y sul piano medio della piastra, si individua una porzione infinitesima di piastra delimitata da curve a x=cost. e y=cost. distanti rispettivamente dsy e dsx

Stato di tensione nelle piastre Nelle piastre le caratteristiche di sollecitazione sono forze per unità di larghezza e hanno dimensioni [N/mm] Tali forze sono la risultante degli sforzi agenti sulle superfici che delimitano la porzione di piastra Forze normali: Nx, Ny Forze trasversali: Nxy, Nyx Forze di taglio: Tx, Ty

Stato di tensione nelle piastre In una sezione x=cost. si individua un’area infinitesima posta a distanza z dal piano medio quest’area infinitesima ha una larghezza variabile essendo la piastra curva:

Stato di tensione nelle piastre Si possono quindi calcolare le risultanti:

Risultanti delle tensioni nelle piastre Nota: il segno – nelle espressioni dipende dalla convenzione positiva scelta per T

Momenti risultanti delle tensioni I pedici x e y del momento flettente M stanno ad indicare che si tratta del momento risultante relativo rispettivamente alla tensione sx e sy. In realtà tali momenti sono dei vettori diretti rispettivamente secondo y e x.

Osservazioni L’uguaglianza delle tensioni tangenziali txy = tyx non implica l’uguaglianza delle forze trasversali e dei momenti torcenti La differenza sparisce per corpi sferici (rx = ry) o per piastre quasi piane (rx ~ ry ~ ∞) o per piastre sottili (rx+z ~ rx) Le relazioni ottenute valgono indipendentemente da come sono distribuite le tensioni nello spessore z

Distribuzione delle tensioni Ipotesi. Le distribuzioni di tensione sono assimilabili a quelle che si ottengono in travi a sezione rettangolare caricate da sforzo normale, momento flettente e taglio Nota. Assumendo queste relazioni non è detto che si ottenga lo stesso valore per txy e tyx. Questo errore dipende dall’utilizzare le espressioni valide a rigore solo per lo sforzo normale e la flessione

Teoria dei gusci sottili o membrane Spessore t molto piccolo Rigidezza flessionale trascurabile Mx, My, Mxy, Myx, Tx, Ty = 0 Nxy = Nyx Teoria di Kirchoff delle piastre sottili Lastre piane: rx = ry = 0 Spessori sottili Nx, Ny, Nxy = 0 Nxy = Nyx; Mxy = Myx Teoria di Mindlin delle piastre spesse Spessore t elevato Tensioni di taglio txz, tyz rilevanti

Teoria di Kirchoff delle piastre sottili Ipotesi La piastra deve essere piana I carichi agenti sulla piastra devono essere normali al piano medio Segmenti normali al piano medio rimangono rettilinei e normali alla superficie elastica: le sollecitazioni di flessione devono essere prevalenti rispetto a quelle di taglio Le tensioni normali devono essere nulle in corrispondenza del piano medio: la piastra deve avere una sufficiente rigidezza flessionale Gli abbassamenti w sono così piccoli che si può confondere la configurazione deformata e indeformata La tensione normale sz è trascurabile: lo stato di tensione è piano

Campo di spostamento nella piastra Sotto l’effetto dei carichi la piastra subisce un abbassamento w e si incurva. Si individuano due rotazioni del segmento normale al piano medio jx e jy relative rispettivamente al piano xz e yz

Campo di deformazione nella piastra Ipotesi di stato di tensione piano sz = 0

Campo di tensione nella piastra

Momenti risultanti

Momenti risultanti Introducendo la definizione di rigidezza flessionale della piastra e tenendo conto delle relazioni costitutive si ottengono le equazioni della superficie elastica della piastra

Equilibrio alla rotazione

Equilibrio alla traslazione verticale

Equazione della superficie elastica Tenendo conto delle espressioni ricavate in precedenza si ottiene l’equazione della superficie elastica della piastra:

Considerazioni fisiche Una piastra rettangolare appoggiata su due soli lati opposti si comporta come una trave appoggiata. Poiché però la contrazione laterale è impedita, la rigidezza flessionale aumenta

Considerazioni fisiche Una piastra appoggiata su tutti e quattro i lati si comporta come un graticcio di travi: il carico flettente viene sopportato in parte dalle “travi” parallele all’asse x, in parte dalle “travi” parallele all’asse y

Considerazioni fisiche A causa della differente flessione di “travi” contigue, nasce una solidarietà che si traduce nella nascita di un momento torcente, che contribuisce ulteriormente al sostentamento del carico

Teoria dei gusci Ipotesi Il piano medio della piastra è una superficie di rivoluzione Lo spessore è così piccolo che gli unici sforzi non nulli sono quelli membranali Mx, My, Mxy, Myx, Tx, Ty = 0 Nxy = Nyx

Geometria dei gusci Meridiano: curva generatrice della superficie di rivoluzione Parallelo: circonferenza corrispondente al generico punto del meridiano Longitudine q: distanza angolare che individua il generico meridiano Latitudine f: distanza angolare misurata a partire dall’asse di rivoluzione che individua il generico punto del meridiano Raggio di curvatura r1: raggio di curvatura della superficie nel generico punto Distanza r: raggio del generico parallelo Distanza r2: intercetta del segmento normale al piano medio con l’asse di rivoluzione

Geometria dei gusci

Equilibrio dell’elemento guscio Elemento infinitesimo individuato da due meridiani distanti dq e da due paralleli distanti dj

Equilibrio in direzione meridiana

Equilibrio in direzione dei paralleli

Equilibrio in direzione normale

Equazioni di equilibrio dei gusci

Gusci con carichi assialsimmetrici Se i carichi hanno anch’essi simmetria assiale, come spesso accade, le equazioni di equilibrio dei gusci si semplificano L’equazione di equilibrio in direzione dei paralleli diventa indipendente dalle altre in quanto compaiono solo sforzi di taglio