Regimi di moto esperienza di Reynolds L’esperienza di Reynolds mise in evidenza l’esistenza di due regimi di moto: laminare e turbolento Il passaggio da laminare a turbolento dipendeva da diversi parametri: viscosità, velocità, diametro del tubo …

Analisi dimensionale delle equazioni di bilancio di massa e qdm Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Analisi dimensionale delle equazioni di bilancio di massa e qdm Si tratta di un approccio diverso alla soluzione dei problemi di moto - Si identificano quelle che sono le grandezze che regolano il problema/fenomeno che vogliamo definire - Si definiscono dei numeri adimensionali costituiti da tali grandezze - Si trovano relazioni tra parametri incogniti con i gruppi adimensionali definiti

Analisi dimensionale delle equazioni di bilancio di massa e qdm Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Analisi dimensionale delle equazioni di bilancio di massa e qdm Si identificano le grandezze caratteristiche del problema in oggetto: L0 = dimensione caratteristica della geometria del problema (es. diametro tubo, diametro sfera ..) v0 = velocità caratteristica ( es. v media) t0 = tempo caratteristico (in assenza l0/v0) ………

Definizione delle variabili adimensionali Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Definizione delle variabili adimensionali Si definiscono quindi le grandezze adimensionali indicate con il simbolo * oppure Si possono definire anche gli operatori adimensionali

Definizione delle variabili adimensionali Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Definizione delle variabili adimensionali Essendo quindi .... Si possono riscrivere le equazioni di bilancio in termini adimensionali

Definizione delle variabili adimensionali Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Definizione delle variabili adimensionali

Definizione delle variabili adimensionali Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Definizione delle variabili adimensionali Sistema di eq. scritto in termini di variabili adimensionali e gruppi adimensionali Sistemi che hanno i medesimi valori dei gruppi adimensionali tra parentesi si dicono dinamicamente simili SCALE-UP SCALE-DOWN

Significato fisico dei gruppi adimensionali Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Significato fisico dei gruppi adimensionali Numero di Reynolds Numero di Froude

Analisi dimensionale: teorema di Buckingham Simulazione dei fenomeni di trasporto Analisi dimensionale: teorema di Buckingham Il teorema di Buckingam definisce il n° di gruppi adimensionali necessari teorema di Buckingham n° parametri – n° dimensioni = n° gruppi adimensionali Procedimento 1 Individuazione dei parametri significativi 2 Individuazione mediante il teorema di Buckingham del numero di gruppi adimensionali necessario 3 Definizione dei gruppi adimensionali

Analisi dimensionale: moto in tubi Simulazione dei fenomeni di trasporto Analisi dimensionale: moto in tubi v D m r L DP Individuazione dei parametri significativi 6 parametri significativi 3 dimensioni (L, t, M) Teorema di Buckingam  6 - 3 = 3 numero gruppi adimensionali I gruppi adimensionali devono contenere tutti i parametri

Analisi dimensionale: moto in tubi Simulazione dei fenomeni di trasporto Analisi dimensionale: moto in tubi Sulla base del teorema di Buckingham si può dire che esiste un legame tra i 3 gruppi adimensionali del tipo: Poiché in caso di moto sviluppato e stazionario essendo

Si definisce fattore d’attrito f tale che: Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito Si definisce fattore d’attrito f tale che: Fattore d’attrito Forza esercitata dal fluido a causa del suo movimento Area caratteristica En. cinetica caratteristica Per il moto in condotti Avevamo trovato Quindi

anche se non ci dice qual è la funzione f Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito Il risultato È molto importante perché riduce la dipendenza di f da 4 variabili a una sola combinazione degli stessi, anche se non ci dice qual è la funzione f

viene espressa mediante Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito La relazione viene espressa mediante grafici (abaco di Moody) equazioni

Un parametro che non avevamo considerato!!!! Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito Le equazioni per dipendono da tipo di moto e intervallo di Re Per moto laminare Un parametro che non avevamo considerato!!!! Per moto turbolento Per tubi lisci Equazione di Blasius Per altre equazioni vedi dispensa “moto in tubi e turbolenza”

Fattore d’attrito in tubi altre relazioni Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito in tubi altre relazioni Eq. di Colebrook Re > 3000 Vale sia per tubi scabri che lisci Re > 4000 Eq. di Churchill

Per geometrie diverse dalla sezione circolare Simulazione dei fenomeni di trasporto Diametro idraulico Per geometrie diverse dalla sezione circolare Valido soprattutto per moto turbolento circolare quadrato rettangolo triangolo equilatero

Analisi dimensionale: moto intorno a oggetti sommersi Simulazione dei fenomeni di trasporto Analisi dimensionale: moto intorno a oggetti sommersi sfera cilindro lastra piana

Analisi dimensionale: moto intorno a oggetti sommersi - sfera Simulazione dei fenomeni di trasporto Analisi dimensionale: moto intorno a oggetti sommersi - sfera v D m r F elenco dei parametri significativi Forza esercitata dal fluido 5 - 3 = 2 gruppi adimensionali Si utilizza

Fattore d’attrito oggetti sommersi Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito oggetti sommersi Fattore d’attrito Forza esercitata dal a causa del suo movimento Area caratteristica En. cinetica caratteristica Per il moto intorno a una sfera

Fattore d’attrito: oggetti sommersi - sfera Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito: oggetti sommersi - sfera La relazione viene espressa mediante grafici equazioni Se non si conosce Re il processo è per tentativi

Coefficiente d’attrito per sfere

Fattore d’attrito: oggetti sommersi – altre geometria Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito: oggetti sommersi – altre geometria cilindro Coefficiente per unità di lunghezza cilindro infinito

Fattore d’attrito: oggetti sommersi – dischi Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito: oggetti sommersi – dischi = sfere

Bisogna quindi calcolare il fattore d’attrito Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6.2-1 Bird Gradiente di pressione? In tubo liscio orizzontale Dietilanilina w= 1028 g/s D= 3 cm T=20 °C r=0.935 g/cm3 m=1.95 cp Bisogna quindi calcolare il fattore d’attrito

Siamo in moto turbolento Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6.2-1 Bird 1 Calcolo Re Siamo in moto turbolento Dall’abaco di Moody Equazione di Blasius Equazione di Churchill Re> 4000

Esempio 6.2-1 Bird Noto f calcolo DP/L Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6.2-1 Bird Noto f calcolo DP/L

Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6.2-1 Bird Nota che nelle dispense c’è la formula che da direttamente il gradiente di P

Portata in pounds/ora? In tubo liscio orizzontale Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6.2-2 Bird Portata in pounds/ora? In tubo liscio orizzontale acqua L= 1000 ft D= 8-in schedule 40  7.981 in T=68 °F DP= 3psi Essendo incognita la portata non conosciamo la v media e quindi non possiamo calcolare né Re né il fattore di attrito Soluzione 1) procedo per tentativi: fisso Re calcolo f e quindi DP. Verifico e fisso nuovo Re Soluzione 2) calcolo che non dipende da v

Equazione di Colebrook Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6.2-2 Bird Equazione di Colebrook

Velocità terminale sfera Simulazione dei fenomeni di trasporto Velocità terminale sfera v terminale? In acqua D=4 mm r=1.05 g/cm3 Per sfera sappiamo che Il problema va risolto per tentativi!

Velocità terminale sfera Simulazione dei fenomeni di trasporto Velocità terminale sfera Si assume Re > 1000 L’ipotesi di partenza non è quindi verificata Si assume 1 <Re < 1000 ipotesi verificata