a partire da determinate condizioni iniziali, un esperimento e’ l’osservazione del verificarsi di qualche “accadimento” che, se si ripete l’esperimento nelle identiche condizioni iniziali, il risultato dovrebbe essere  nella realta’ gli esperimenti, di precisione, non sono mai perfettamente riproducibili un esperimento si definisce aleatorio se il verificarsi di un risultato non è prevedibile a partire dalla conoscenza delle leggi fisiche e delle condizioni iniziali incerto, imprevedibile, affidato al caso che ha tutti i requisiti per essere creduto vero riproducibile a piacimento (determinismo della meccanica classica ) porta ad un particolare “stato delle cose finali “ Esperimenti aleatori valutazione delle possibilità che un fenomeno aleatorio ha di accadere da notare che, al contrario della meccanica classica, la meccanica quantistica e’ una teoria intrinsecamente probabilistica

nacque nell’ambito dei giochi d’azzardo e storicamente e’ la prima definizione di probabilita’  definizione classica (aprioristica) : ma presuppone che gli eventi siano equiprobabili  definizione frequentistica : a) presuppone che le prove siano ripetibili a piacimento c) anche effettuando un numero infinito di prove non e’ garantito che si pervenga al risultato corretto b) non si possono effettuare un numero infinito di prove ma definizione introdotta, e molto usata, in ambito scientifico

Probabilita’ soggettiva nell’ignoranza dei fatti la probabilita’ esprime il nostro grado di fiducia sulla verita di una affermazione la definizione soggettiva di probabilita’ e’ basata sulla nozione di gioco equo e sulla di speranza di vincita ritenere una affermazione probabilmente vera all’80% significa essere disposti a scommettere 8 contro 2 sulla sua validita’

 Definizione assiomatica di probabilita’: assiomi di Kolmogorov :

Eventi indipendenti: due eventi sono incompatibili quando se l’evento (A e B) non puo’ avvenire attenzione a non confondere i concetti di indipendenza ed incompatibilita’ Probabilita’ condizionale: e P (A e B ) = 0 se si ha chein altri termini,  se avviene A non puo’ avvenire B e viceversa  (A e B) e’ l’evento vuoto due eventi sono indipendenti se o se Eventi incompatibili ( mutuamente escludentesi): equivalentemente

Se prende l’ autobus per recarsi al poligono di tiro quale sara’ la probabilita’ totale di ricevere un biglietto dell’autobus con un numero pari oppure di fare centro al primo colpo ? {Evento A} = centro al primo colpo {Evento B} = biglietto con numero pari i due eventi sono indipendenti tra loro quindi dagli assioni di Kolmogorov Esercizio Un tiratore ha probabilita’ di fare centro al primo colpo. percio’ :

una variabile aleatoria ( v.a.) e’ una applicazione che associa ad ogni risultato dello spazio degli eventi un numero reale nell’intervallo [0,1] variabili aleatorie discrete e continue una v.a. discreta e’ rappresentata da una tabella che definisce un modo grafico di rappresentare una v.a. discreta e’ l’ istogramma  la probabilita’ associata ad ogni valore numerico assunto dalla v.a.  il valore numerico assunto dalla v.a. discreta in un istogramma si presentano in successivi intervalli ( bins ) le probabilita’ (frequenze relative ) kP(k) 11/ es. : lancio di un dado attenzione a non confondere il concetto di “a caso” con l’idea di distribuzione uniforme es. : distribuzione della somma dei risultati nel lancio di due dadi il lancio di due dadi e’ “a caso”, ma la somma dei risultati ottenuti non e’ distribuita in modo uniforme

 la funzione f(x) che definisce la v.a. X e’ definita di modo che:  se x, con continua una v.a. continua e’ rappresentata da un funzione continua e derivabile il grafico della f(x) puo’ essere pensato come un istogramma di binnaggio infinitesimo f(x) 0 x densita’ di probabilita  f(x) e’ detta “ densita’ di probabilita ”, e’ il valore numerico assunto dalla v.a. continua X

per caratterizzare in modo sintetico, ma approssimativo, una v.a. si fa uso di indicatori di centralita’ e di dispersione. i principali indicatori sono il valor medio come indice di centralita’ e la varianza come indice della dispersione intorno al valor medio Valor medio e Varianza di una v.a. per v.a. discrete per v.a. continue f(x) 0 x f(x)dx

valor medio = np v.a. di Poisson (eventi rari) valore medio =  varianza = npq varianza =  es. 4! = ? o binomiale alcune tra le principali distribuzioni discrete sono : v.a. Bernoulliana

v.a.Gaussiana v.a. Uniforme [a,b] se la v.a. assume un valore costante in [a,b] altrove valor medio = varianza = valor medio =Varianza = alcune tra le principali v.a. continue sono : f(x) x 0 a b G( ,  2 ) il 68% della probabilita’ (dell’ area sotto la curva) e’ compresa tra il 95% della probabilita’ (dell’ area sotto la curva) e’ compresa tra il 99.7% della probabilita’ (dell’ area sotto la curva) e’ compresa tra e e e per una gaussiana si ha che si parla di v.a. uniforme ( distribuzione casuale ) nell’intervallo

Gaussiana Standard o Normale se e f(x) 0 x N(0,1) la funzione definita come l’area da -  ad un generico punto z di una gaussiana standard, e’ detta “funzione degli errori” ( “error function” in inglese, da cui la denominazione erf(z) ) altre importanti densita’ di probabilita’ sono la Chi Quadratoe la t di Student Funzione degli errori

importanza della gaussiana : teorema del limite centrale

Statistica finito negli esperimenti si effettua sempre solo un numero finito di misure, spesso molto limitato nella teoria della probabilita’ si ha a che fare con v. a. che possono assumere un numero discreto o una infinita’, numerabile o meno, di valori, campione l’insieme delle misure effettuate costituisce il campione oggetto della statistica predittiva e’ di determinare le caratteristiche della popolazione incognita basandosi su una serie finita di misure ripetute esempio : determinare la statura degli studenti di Ingegneria misurando le stature dei soli presenti in aula oggi a seconda che si tratti di v.a. discrete o continue ma esistera’ una statura vera ??? per stimare il valor medio di solito si fa uso in statistica dello “stimatore” media aritmetica in realta’ esiste una distribuzione di stature caratterizzabile tramite valori medi e varianza, parametri che pero’ sono incogniti e che occorrera’ quindi stimare a partire dalle misure effettuate, ossia a partire dai dati campionari

la media aritmetica non e’ l’unico stimatore possibile del valor medio altri stimatori di centralita’ sono la media geometrica ma con la limitazione che tutti gli x devono essere positivi media armonica media quadratica ma con la limitazione che gli x non devono essere nulli in generale la media quadratica e’ sempre maggiore della media aritmetica infine, come indicatori di centralita’ di una distribuzione, si possono usare anche la mediana campionaria (= 50-esimo percentile ) e la moda compionaria ( = valore piu’ probabile)

Errori : errore = | valore misurato – valore vero | cause di errore:  Limiti strumentali categorizzazione degli errori: misura di un intervallo di tempo usando un orologio che va troppo lento, o troppo veloce. indipendenti di solito vengono effettuate molte misure indipendenti della stessa grandezza, incertezze dovute a cause accidentali e alla limitatezza del campione di misure  Casuali o “statistici”  Sistematici si definisce ma a causa degli errori di misura il risultato varia sensibilmente da misura a misura fino a collezionare un numeroso campione di misure  Cause accidentali  Metodi di misura errati misura della lunghezza di un oggetto non in modo perpendicolare all’oggetto ( errore di parallasse) gli errori statistici sono riducibili aumentando il numero di misure indipendenti della stessa grandezza  aumentando la dimensione del campione.

es. : si siano effettuate n misurazioni della stessa grandezza fisica, x 1,x 2 …x n si assume come stima del valor vero della grandezza in esame la media aritmetica dei risultati ottenuti nelle varie misure la media aritmetica delle n misure e’ : la media aritmetica stima il valor “vero” , ma con un certo errore  problema : come stimare l’errore statistico  ? “ valore vero ” ma, ammesso che esista, quale e’ il per saperlo con certezza si dovrebbe fare una infinita’ di misure ripetute se si ha un numero finito di misure si puo’ solo tentare di “stimarlo”, con il minimo margine di errore possibile

come indicatore di dispersione di una distribuzione intorno alla sua media si usa la deviazione standard campionaria o “ errore quadratico medio”, in inglese rms “Root Mean Square” o rms che e’ definito come : commento sull’uso di n o di n-1 una tra le proprieta’ piu’ importanti della media aritmetica e’ che l’errore statistico della media aritmetica stessa e’ dato da:

Intervallo di confidenza si siano effettuate n misurazioni della stessa grandezza fisica, x 1, x 2 … x n la miglior stima del valor medio e’ la media aritmetica ma ripetendo una seconda volta le n misurazioni della stessa grandezza fisica, la miglior stima del valor medio continuerebbe ad essere la media aritmetica ma essendo gli x i ’ diversi dagli x i la media aritmetica sarebbe diversa nella maggior parte dei casi, ma non sempre, se si stima il valor medio( vero ) come dunque anche la media aritmetica varia, imprevedibilmente, da campione a campione di media, o errore sulla media, si assume la deviazione standard campionaria si otterrebbe un secondo, diverso insieme di risultati: x’ 1, x’ 2 … x’ n si ha il 68% di probabilita’ di fare una stima esatta misurazioni ossia e’ essa stessa una variabile aleatoria come stima della fluttuazione della

se si stima il valor medio ( vero ) come si ha il 95% di probabilita’ di fare una stima esatta se si stima il valor medio ( vero ) come si ha il 99.7% di probabilita’ di fare una stima esatta

istogrammando i risultati di misure ripetute, indipendenti tra loro risulta, quasi sempre, se la distribuzione di una generica variabile aleatoria x segue la forma funzionale gaussiana il valore della percentuale che si desidera, ossia la attendibilita’ della stima del valor vero che si desidera ottenere, e’ detto “ livello di confidenza ” e si ha la probabilita’ che il 68% delle misure siano comprese tra il 95% delle misure siano comprese tra il 99.7% delle misure siano comprese tra e e e che le misure si distribuiscono in modo gaussiano Intervalli di confidenza anche la media aritmetica sara’ distribuita in modo gaussiano

Sono state fatte misure ripetute ed indipendenti tra loro di una grandezza fisica, ad es. il peso di un oggetto misurato con una bilancia precisa al per mille e cio’ si giustifica non pensando ad un errore di misura, ma postulando che il fenomeno stesso in esame sia aleatorio si puo’ quindi pensare alla misurazione come al modo di stabilire quale sia la percentuale di palline di un determinato colore contenute nell’urna effettuando una serie limitata supponiamo sia stata preparato un urna riempendola di un numero molto elevato, al limite infinito, di palline con colori diversi in proporzioni diverse vista la precisione della misura e’ piu’ che ragionevole attendersi che i risultati non si riproducano perfettamente ossia che la misura del peso dell’oggetto sia descrivibile in termini di una variabile aleatoria in conclusione: una misura sperimentale e’ assimilabile al verificarsi di uno tra i tanti possibili risultati che una v.a. (il piu’ delle volte gaussiana) puo’ assumere la distribuzione della variabile aleatoria e’ sconosciuta, ma grazie al teorema del limite centrale, molto spesso si puo’ assumere che sia gaussiana allo sperimentatore e’ pero’ sconosciuta la distribuzione dei vari colori delle palline nell’urna di estrazioni di palline dall’urna

compito dello sperimentatore e’ quello di tentare di determinare dopo aver effettuato un certo numero di estrazioni quale sia la proporzione di palline di un determinato colore, ossia di stimare il valor medio della distribuzione sconosciuta cui si da’ il nome di valor vero il risultato di una singola misura equivale ad effettuare l’estrazione a caso di una singola pallina dall’urna e a verificare quale ne sia il colore la statistica predittiva, utilizzando i risultati rigorosi della teoria della probabilita’ e’ in grado di suggerire: ossia di determinare quale sia l’errore sulla media aritmetica quale sia il margine di errore con cui si puo’ fare la stima in funzione della numerosita’ del campione, del numero di estrazioni in questo caso, di valutare quale sia l’attendibilita’ di questa misura in termini di probabilita’, ossia quale sia il livello di confidenza della stima quale sia il miglior stimatore possibile del valor medio, o valor “vero”, di solito la media aritmetica,

non avendo altre informazioni a disposizione si dovra’ stimare il valor medio, impropriamente detto valor “vero” della grandezza incognita, usando i dati del campione di misure calcoliamo la media campionaria e l’ errore sulla media se x i e’ la i-esima misura l’errore sulla media vale arrotondando l’errore ad una sola cifra sono state fatte 25 misure ripetute ed indipendenti tra loro di una grandezza fisica, ad es. il peso di un oggetto misurato con una bilancia precisa al per mille 1.72, 1.65, 1.81, 1.72, 1.72, 1.67, 1.71, 1.72, 1.74, 1.70, 1.73, 1.70, 1.76, 1.72, 1.75, 1.71, 1.71, 1.72, 1.69, 1.79, 1.74, 1.73, 1.76, 1.73, i risultati, in gm, sono : e’ evidente che la misura non si riproduce perfettamente

se il livello di confidenza prescelto e’ il 68 % il risultato della misura e’ : al 95% di livello di confidenza al 99% di livello di confidenza nota : se si utilizzasse la convenzione delle cifre significative il risultato ottenuto con il 68% andrebbe presentato come m = gm mentre se avessimo operato al 95 e 99 % di livello di confidenza andrebbe presentato come m = 1.72 gm da notare la relazione tra la precisione e il grado di fiducia, o livello di confidenza : oppure a parita’ di numerosita’ del campione, ossia a parita’ di n, se una cresce l’altra cala o

per costruire un istogramma ordiniamo le misure in ordine crescente calcoliamo quale sia la frequenza con la quale si presenta un particolare risultato grafichiamo la frequenza relativa, ossia la frequenza diviso il numero totale di misure la frequenza relativa e’ normalizzata all’unita di modo che l’istogramma rappresenti una distribuzione di probabilita’

Misure Frequenza Frequenza relativa = Frequenza / N tot N tot =  F i = 25 ( x i ) ( F i ) ( Fr i ) istogramma delle frequenze relative  F R i = 1