Metodi di regolarizzazione nell’elaborazione delle immagini biomediche Marcello Demi CNR, Institute of Clinical Physiology, Pisa, Italy

Visione come problema inverso il problema diretto e’ quello di generare l’immagine di un oggetto il problema inverso e’ quello di risalire all’oggetto da una o piu’ immagini dell’oggetto stesso il concetto puo’ essere esteso ad una serie di misure: misurare e’ il problema diretto, quello inverso e’ descrivere il fenomeno misurato il set di misure a disposizione non sempre e’ completo (es. apertura) la maggior parte dei processi di early vision sono soluzioni di problemi inversi

Ill-posed problems la maggior parte dei problemi di visione sono problemi mal posti nel senso di Hadamard la teoria della regolarizzazione sviluppata per risolvere problemi mal posti risolve in modo naturale i problemi di early vision attraverso l’introduzione di vincoli fisici Secondo Hadamard un problema e’ ben posto quando la sua soluzione: (a) esiste (b) e’ unica (c) dipende con continuita’ dai dati iniziali

Fenomeni fisici la maggior parte dei problemi della fisica classica sono ben posti Hadamard argued that meaningfull physical problems had to be well posed (V.Torre, T.Poggio) Data la seguente equazione dove A e’ un operatore noto. Il problema diretto e’ trovare la funzione y data la funzione z mentre quello inverso e’ trovare la funzione z una volta conosciuta la funzione y. Mentre il problema diretto e’ di solito ben posto, quello inverso e’ mal posto. La maggior parte di questi problemi sono mal posti perche’ la soluzione non e’ unica

Metodi di regolarizzazione lo sviluppo della teoria della regolarizzazione risale al 1963 con Tikhonov l’idea base e’ quella di restringere lo spazio delle soluzioni accettabili fino a trovarne una sola come la funzione che minimizza un funzionale e’ richiesta la scelta di una norma ||·|| (di solito quadratica) e di un funzionale stabilizzante P la scelta viene fatta in base a considerazioni matematiche, ma anche in base all’analisi dei vincoli fisici che regolano il fenomeno osservato

Tre i metodi principali 1) Tra le soluzioni z che soddisfano ||Pz||  C con C costante trovare z che minimizza: 2) Tra le soluzioni z che soddisfano ||Az-y||  C con C costante trovare z che minimizza: 3) Dato il parametro di regolarizzazione trovare z che minimizza:

Regularization theory fornisce risultati riguardo la forma dei funzionali stabilizzanti che assicurano unicita’ e convergenza del metodo di minimizzazione (es N-order Tikhonov’s stabilizing functionals) fornisce tecniche per determinare il miglior parametro di regolarizzazione P r (  ) varia con  per consentire isolate variazioni brusche della derivata di ordine r

Un esempio: Motion consideriamo il problema di determinare il campo di velocita’ lungo un contorno misure locali forniscono soltanto la componente perpendicolare al contorno

Movimento il problema inverso e’ quello di risalire al campo di velocita’ v dati t, n e v  in un numero finito di punti del contorno e’ necessario introdurre un vincolo: trovare il campo di velocita’ piu’ smooth consistente con le misure (Hildreth, Horn, Schunck) si considerano oggetti con superficie smooth, la proiezione del campo di velocita’ e’ un campo smooth

Movimento Hildreth propose due algoritmi: il primo nel caso di dati iniziali esatti consisteva nella minimizzazione del funzionale il secondo nel caso di presenza di errori nelle misure della componente v 

Un altro esempio: Edge edge detection e’ per buona parte un problema di calcolo numerico di derivate il problema e’ mal posto perche’ la derivata puo’ variare molto anche per piccole variazioni dei dati la natura mal posta del problema si evidenzia aggiungendo un termine di rumore ad una funzione f(x)

Regolarizzazione dell’operazione di derivata Il nostro modello di funzione e’ se possiamo tollerare l’errore  possiamo determinare la funzione f(x) (di cui conosciamo gli f(x i )  y i ) come la f(x) che minimizza il funzionale La derivata f’(x) si calcola successivamente derivando la funzione f(x). Se invece vogliamo considerare gli errori  i allora possiamo determinare la funzione f(x) come la f(x) che minimizza il funzionale

Interpolating or approximating spline Poggio ha dimostrato che l’uso di stabilizzatori di Tikhonov con il secondo e terzo metodo corrisponde ad interpolare o approssimare i dati con una spline cubica il filtro di convoluzione che corrisponde alla soluzione del funzionale relativo al terzo metodo e’ una spline cubica ed e’ molto simile ad una Gaussiana la scelta del parametro di regolarizzazione corrisponde alla scelta dell’apertura  della Gaussiana

il risultato puo’ essere esteso a due dimensioni e il metodo puo’ essere usato in problemi di edge detection, di interpolazione e approssimazione di superfici, ecc.

Approximating spline Dato un funzionale del tipo dove y(x) e’ la funzione incognita e e’ la misura fornita dallo strumento. Vogliamo trovare la funzione y(x) che minimizza il funzionale  (y). Per il teorema di Parseval posso scrivere Pertanto cercare la y(x) che minimizza  (y) significa trovare Y(  ) che minimizza  (Y). L’equazione di Eulero associata a  (Y) fornisce la condizione necessaria perche’ Y sia minimo di  (Y)

Il parametro Il parametro puo’ variare durante il processo di minimizzazione Parallelo con l’approccio multiscaling quando si varia l’apertura  della funzione Gaussiana

Simulated Annealing The algorithm was originally proposed as a means of finding the equilibrium configuration of a collection of atoms at a given temperature. SA's major advantage over other methods is an ability to avoid becoming trapped at local minima. The algorithm employs a random search which not only accepts changes that decrease objective function f, but also some changes that increase it. The latter are accepted with a probability where  f is the increase in f and T is a control parameter, which by analogy with the original application is known as the system `temperature'.

Storicamente lo sviluppo della formulazione variazionale dei problemi fisici nasce nel Per formulazione variazionale di un problema fisico si intende la trasformazione in forma integrale delle equazioni differenziali che lo regolano, in questo caso la soluzione del problema matematico associato è riconducibile alla ricerca della funzione che minimizza o massimizza l’espressione integrale. L'espressione matematica che si ottiene è quindi una funzione di funzioni, si chiama FUNZIONALE e lo indichiamo con  Supponiamo di avere un problema descritto da una funzione di funzioni F di un sola funzione indipendente u(x), funzione a sua volta della sola variabile indipendente x nel dominio , e delle sue derivate Calcolo variazionale ed equazione di Eulero

Una volta individuato l’integrale, il CALCOLO VARIAZIONALE si propone di determinare, fra tutte le funzioni ammissibili u quella funzione particolare u * che minimizza o massimizza, il funzionale stesso. Condizione necessaria (ma non sempre sufficiente) perche’ una funzione sia soluzione del problema variazionale (sia valore estremo del funzionale) è che sia soddisfatta l'EQUAZIONE DI EULERO associata al problema.

Soluzione del problema variazionale il problema variazionale si risolve cercando la soluzione dell’equazione differenziale di Eulero associata si puo’ risolvere anche cercando direttamente il minimo del funzionale in entrambi i casi si usano metodi iterativi di calcolo numerico (metodo di Eulero, metodo di Runge-Kutta, metodo del gradiente coniugato, algoritmo di Brent, metodo di Powell, Simplex method, ecc.)

Regolarizzare regolarizzare significa trasformare un problema mal posto in un problema ben posto regolarizzare significa risolvere un altro problema diverso da quello iniziale sia la norma che il funzionale stabilizzante modificano il problema iniziale la soluzione del problema ben posto puo’ non essere una soluzione accettabile del problema originale attenzione a non farsi prendere la mano, problema dell’unicita’ della soluzione e della dipendenza di questa dai dati iniziali (ovvero dal punto di partenza del metodo iterativo)