Scuola Secondaria II grado (classe prima) Tassellazioni del piano con poligoni regolari e non regolari (con riga e compasso e con il software di geometria “dinamica” Geogebra) Ricoprire il piano con poligoni regolari Ricoprire il piano con triangoli, quadrilateri, pentagoni ed esagoni irregolari Uso delle isometrie per sviluppare la tassellazione Realizzazione di tassellazioni “artistiche” in collaborazione con l’insegnante di disegno.

Lavori degli studenti Tassellazioni con poligoni regolari (vertici dello stesso “tipo”)

Tassellazioni con vertici non tutti dello stesso tipo

Possiamo tassellare il piano con un triangolo qualunque Possiamo tassellare il piano con un triangolo qualunque? ..se consideriamo il punto medio di un lato e costruiamo il triangolo simmetrico rispetto a questo punto otteniamo un parallelogramma con cui si può tassellare il piano!

Possiamo tassellare il piano con un quadrilatero? Consideriamo il punto medio di un lato (qualsiasi)del quadrilatero e costruiamo il quadrilatero simmetrico rispetto a questo punto : ci accorgiamo che con la figura che abbiamo ottenuto possiamo tassellare il piano! E’ estremamente stimolante per gli studenti utilizzare la funzione di “trascinamento” di Geogebra per deformare il quadrilatero iniziale e vedere che la tassellazione continua a funzionare!

Non possiamo tassellare il piano con pentagoni regolari…ma con pentagoni irregolari? E’ interessante studiare una tassellazione con un particolare tipo di pentagono irregolare (ne esistono anche altri che funzionano): ha due lati uguali che formano un angolo di 60° e due lati uguali che formano un angolo di 120° (vedi figura); ruotando intorno al vertice con l’angolo di 60° si ottiene una specie di “fiore” che per traslazioni tassella il piano. Interessante è modificare il pentagono (lasciano inalterate le sue caratteristiche) con la funzione di trascinamento di Geogebra…

e con esagoni irregolari ..e con esagoni irregolari? Proviamo a costruire un esagono partendo da un triangolo acutangolo e “appoggiando” ai suoi lati tre triangoli come in figura….

Se ruotiamo per tre volte di 120° l’esagono (intorno ad uno dei vertici con angolo di 120°) ricopriamo il piano e ci accorgiamo che con questo modulo possiamo tassellare…

Partendo da una “mattonella con un fregio”… pavimenti diversi! Partendo da un poligono che tassella il piano, per esempio un quadrato, e disegnandovi sopra un “fregio” (vedi figura) possiamo utilizzare le isometrie per ottenere pavimenti diversi! Per esempio se semplicemente trasliamo la mattonella otteniamo il “primo pavimento”, se facciamo una simmetria rispetto ad un lato e poi trasliamo otteniamo il “secondo pavimento”, se ruotiamo la mattonella intorno ad un vertice per 4 volte di 90°e poi trasliamo otteniamo il “terzo pavimento”….

…..pavimenti con piastrelle “triangolo-equilatero”

Nello stesso modo possiamo partire da disegni-base a forma di rettangolo, triangolo rettangolo isoscele o triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°. I “pavimenti” diversi che si possono ottenere sono solo 17 e sono stati tutti realizzati nel complesso dell’Alhambra di Granada!

Per concludere…..la cosa più importante L’insegnante non deve aver fretta di arrivare ad un “risultato”: occorre dare ai bambini (o ai ragazzi) il tempo per sperimentare e fare le loro congetture cercando di valorizzare le loro scoperte e stimolandoli a comunicare in modo chiaro i propri ragionamenti.