Trattamento delle immagini numeriche Marcello Demi CNR, Institute of Clinical Physiology, Pisa, Italy

Immagini numeriche l’immagine e’ una matrice di punti i punti sono detti pixel a ogni pixel e’ associato un valore variabile detto livello di grigio per lo piu’ l’immagine e’ ottenuta per campionamento e quantizzazione di una immagine analogica f nm e’ una misura di una qualsiasi grandezza fisica

Alcune categorie di trattamento ripristino della qualita’ compressione enhancement ricostruzioni da proiezioni analisi con estrazione di informazioni

Ripristino della qualita’ l’acquisizione di una immagine e’ sempre accompagnata da fenomeni non voluti che contribuiscono a degradarne il contenuto si tende a minimizzare il danneggiamento l’argomento e’ complesso e sono note numerose tecniche di filtraggio inverso caso di processo di degradazione lineare tipo smoothing e presenza di rumore additivo

Ripristino della qualita’ The pseudoinverse filter reduces the amplification of noise In realta’ i due filtri sono molto sensibili al rumore e si preferiscono filtri statistici che cercano la soluzione come funzione q’(x,y) che minimizza lo scarto quadratico medio E{[q’(x,y)-q(x,y)] 2 }. Filtro di Wiener

Compressione di una immagine con la compressione si vuol ridurre il numero di bit necessari per la sua rappresentazione compressione con perdita e senza perdita di informazione senza perdita il rapporto di compressione e’ basso (1/2), si basano sulla codifica di Huffman, run lenght code con perdita il processo e’ irreversibile e in diagnostica questo spesso non e’ tollerabile, si basano sulla trasformata di Fourier

Compressione di una immagine senza perdita di informazione codifica di Huffman: si basa su di un codice a lunghezza variabile, si usano stringhe binarie piu’ corte per codificare i livelli di grigio piu’ frequenti e stringhe binarie piu’ lunghe per codificare i livelli di grigio meno frequenti run lenght code: codifica il livello di grigio e il numero di volte che questo appare tra due diversi livelli di grigio codifica mista: Huffman e run lenght code

Image enhancement procedure che accentuano le caratteristiche dell’immagine, contorni, contrasto ecc. facilita la percezione del contenuto informativo dell’immagine sono manipolazioni dei livelli di grigio

Operazioni sulle immagini operazioni unarie (riguardano una sola immagine) o duali (riguardano due o piu’ immagini) operazioni puntuali operazioni locali operazioni geometriche operazioni algebriche e logiche esaltazione del contrasto, equalizzazione o amplificazione finestra dei grigi

Operazioni puntuali trasformano una immagine f nm in una immagine g nm e il livello di grigio u di ogni pixel di g nm dipende soltanto dal livello di grigio v del corrispondente pixel di f nm Esempi u=t(v) look-up table u=av+b varia contrasto e luminosita’ u=v  variazione del gamma u=0/255 if v 128 sogliatura

Operazioni geometriche il risultato al pixel x,y e’ funzione del valore del pixel di coordinate x’,y’ operazioni di rototraslazione e di zoom problema del campionamento (date le coordinate intere x,y del nuovo punto p le vecchie coordinate x’,y’ non sono intere) ricostruzione dell’immagine analogica e ricampionamento esempio della rotazione

Operazioni algebriche e logiche algebriche: il valore del pixel x,y in uscita e’ dato da una combinazione algebrica dei valori dei rispettivi pixel x,y di due o piu’ immagini logiche: analoghe al caso algebrico con operatori logici effettuate bit a bit esempio algebriche: sottrazione per DSA, somma per ridurre la varianza del rumore scorrelato esempio logiche: operazioni per sovrapporre grafici e scritte ad una immagine pittorica

Operazioni locali trasformano una immagine f nm in una g nm e il valore di ogni pixel n,m di g nm e’ determinato dai valori dei pixel di un intorno I del pixel n,m di f nm medie mobili, problema della normalizzazione e dei bordi smoothing, sharpening, edge crispening, mediano filtri lineari e non lineari

Medie mobili si sposta una matrice finestra kxk su di una immagine (k dispari) gli elementi della matrice sono detti pesi w ij (normalizzazione?) per ogni posizione della finestra il valore in uscita si calcola moltiplicando i pesi w ij per i sottostanti valori dell’immagine e sommando tutti i contributi (bordi?)

Filtri lineari l’immagine in uscita e’ ottenuta come convoluzione dell’immagine in ingresso con la risposta impulsiva del filtro proprieta’ dei filtri lineari risposta impulsiva, funzione di trasferimento, risposta alla continua che cosa e’ e come si calcola la PSF

h i,j f i,j g i,j

Smoothing attenuano i dettagli, le variazioni brusche e il rumore sono filtri passa basso

Filtro mediano ordina in ordine crescente gli N valori dei livelli di grigio compresi all’interno della finestra se N e’ dispari la mediana e’ il valore che occupa la posizione centrale la mediana e la media coincidono nel caso di distribuzioni di probabilità simmetriche, ma in generale sono diverse e’ un filtro passa basso che non degrada le variazioni brusche

Smoothing 3X3, 5X5 e 7X7

Filtro mediano

Sharpening sono filtri che evidenziano i dettagli sono filtri passa alto derivate direzionali, derivate prime e seconde

Derivate direzionali

Laplaciano

Edge crispening evidenzia i dettagli senza eliminare la continua si ottiene sommando all’immagine originale il risultato di un passa alto o di un passa banda moltiplicato per un opportuno coefficiente amplifica una banda di frequenza senza modificare la continua

Edge crispening

Maschere Gaussiane ed elaborazione dell’istogramma Marcello Demi CNR, Institute of Clinical Physiology, Pisa, Italy

Maschere Gaussiane la funzione gaussiana, una volta campionata, e’ molto usata nella realizzazione di filtri FIR segnali con durata finita hanno banda infinita, segnali con banda finita hanno durata infinita la gaussiana rappresenta il miglior compromesso tra larghezza della banda e durata nel tempo la trasformata di una gaussiana e’ ancora una gaussiana

Relazione di Heisemberg se la funzione x(t) e’ una gaussiana allora  t  =1/2 dove t 0 e  0 sono i momenti di ordine uno di (x(t)) 2 e di (X(  )) 2

Grafici della gaussiana e della sua trasformata

Proprieta’ della gaussiana confronto con la funzione box in frequenza e’ un filtro passa basso isotropico puo’ essere scritta nello spazio come prodotto di due gaussiane monodimensionali derivate prime (seconde) come convoluzione di una derivata prima (seconda) di gaussiana per la proprieta’ associativa della convoluzione differenza di due gaussiane per derivata seconda e crispening le derivate di gaussiana possono essere realizzate come cascata di un filtro passa basso, decimazione, filtro passa banda

Confronto della funzione gaussiana con la funzione box (media pesata o media?) box box campionata trasformata di box trasformata di box campionata

Confronto della funzione gaussiana con la funzione box (media pesata o media?) gaussiana gaussiana campionata trasformata di gaussiana trasformata di gaussiana campionata

Maschera ottenuta campionando una funzione box e maschera ottenuta campionando una funzione gaussiana

La gaussiana e’ un filtro passa basso isotropico

Una gaussiana bidimensionale puo’ essere scritta nello spazio come prodotto di due gaussiane monodimensionali Una convoluzione bidimensionale della funzione f(x,y) con una maschera g(x,y) di dimensione NXN puo’ essere eseguita come cascata di due convoluzioni monodimensionali diminuendo il numero delle moltiplicazioni per ogni pixel di f(x,y) da N 2 a 2N

derivate prime (seconde) come convoluzione di una derivata prima (seconda) di gaussiana per la proprieta’ associativa della convoluzione

La differenza di due gaussiane puo’ approssimare una derivata seconda (un laplaciano di gaussiana in 2D) e puo’ essere usata per progettare un filtro di edge crispening

Le derivate di gaussiana possono essere realizzate come cascata di: filtro passa basso, decimazione, filtro passa banda L’immagine risultante dalla convoluzione con g(x,  2 ) puo’ essere decimata e la seconda convoluzione puo’ quindi essere eseguita su di una immagine piu’ piccola diminuendo il numero delle moltiplicazioni

Istogramma in una immagine digitale la variabile livelli di grigio v e’ discreta consideriamo il diagramma della frequenza n dei livelli v in funzione di v, questo diagramma e’ detto istogramma la frequenza puo’ essere normalizzata per il numero di pixel N 2 Data una immagine digitale il grafico di p v in funzione di v e’ il suo istogramma

Modificazione dell’istogramma i livelli di grigio v di una immagine possono essere considerati variabili casuali con una loro densita’ di probabilita’ p v (v) esempi di p v (v) per immagine chiara e immagine scura esempi di trasformazioni con operazioni puntuali trasformazioni invertibili: trasformazione di p v (v) in una p u (u) voluta con trasformazione u=t(v) monotonica crescente o decrescente

Equalizzazione dell’istogramma si ottiene una immagine i cui livelli hanno densita’ uniforme u e’ la funzione di distribuzione di v si consideri la trasformazione

Procedura per l’equalizzazione dell’istogramma Da notare che ad una immagine corrisponde un solo istogramma, non e’ vero il contrario Data una immagine I con n k livelli di grigio v k con v k compreso supponiamo tra 0 e 255 Si calcolano le rispettive frequenze p v k con la relazione n k /N 2 dove NXN e’ il formato dell’immagine Per ogni valore v k di I si calcola il nuovo livello di grigio u k con la seguente relazione I livelli reali u k devono essere trasformati in livelli interi compresi tra 0 e 255

Amplificazione della dinamica modifica l’istogramma senza modificare la distribuzione relativa dei livelli di grigio

Finestra dei grigi consente di percepire tenui differenze di livello di grigio superando i limiti del sistema visivo umano e del dispositivo di visualizzazione si possono esplorare separatamente parti della dinamica dell’immagine

Torace presentato con diverse finestre dei grigi

domande Data la medesima maschera quale e’ la differenza tra l’operazione di convoluzione e l’operazione di media mobile. Dato il contorno chiuso di una struttura calcolarne l’area.