Conservazione dell’Energia Pallina, la nostra mascotte

Indice dei contenuti Il volo di Pallina Energia cinetica Urti elastici ed anelastici Lavoro Energia cinetica Energia potenziale gravitazionale Caduta di un grave ed energia meccanica Energia potenziale elastica Forze conservative e non conservative Attrito viscoso Esperimenti virtuale: la caduta dei gravi

Pallina, che energia!

Che possiamo dire sul “volo” di Pallina? tempo Compressione dell’asta Altezza Velocità L’asta si fissa Massima flessione, Pallina comincia a schizzare verso l’alto Pallina arriva alla massima altezza e comincia la discesa Pallina arriva a terra!

Energia Cinetica: legata al movimento –Tipicamente legata alla velocità Potenziale: legata alla posizione –Altezza di una massa –Compressione di una molla –Distanza da un pianeta L’energia può assumere tante forme, ciascuna delle quali può trasformarsi nelle altre, la cosa più importante è che la somma di tutte rimane spesso costante, anche dopo tutte le trasformazioni possibili fatte dalla Natura!

Energia cinetica E C =½mv 2 Energia cinetica totale: E C = ½m 1 v ½m 2 v … Si misura in kg X (m/s) 2 = kg m 2 /s 2 = J (joule)J (joule)

“Visualizziamo” 1 Joule Quale è la velocità di un libro di 1 kg che ti casca in testa dalla libreria dall’altezza di 1 m? v = √(2gz 0 ) ≈ √(2x10m/s 2 x1m) = √20 m/s ≈ 4.5 m/s Quale è l’energia cinetica del libro al momento dell’impatto con la tua testa? E C = ½ mv 2 ≈ ½ 1 kg (4.5 m/s) 2 ≈ 10 kg m 2 /s 2 ≈ 10 J Dunque il libro ti arriva in testa con una energia cinetica di circa 10 J! Se fosse caduto da 1/10 m avrebbe avuto circa l’energia di 1 J!

Incidenti stradali?.. Meglio “urti” in Laboratorio! m1m1 v1v1 m2m2 v2v2 w1w1 w2w2 Prima dell’urto: v 1, v 2 Dopo l’urto: w 1, w 2 Se si conserva l’energia cinetica l’urto è detto elastico:conserva l’energia cinetica

Valutiamo le velocità dopo l’urto elastico x y R P/ √ m 1 P/ √ m 2 La conservazione dell’energia è una equazione sola, mentre le incognite sono le velocità dopo l’urto, w 1 e w 2, e sono due. Pertanto non abbiamo abbastanza informazioni per calcolare w1, w2.  Conservazione della quantità di moto! Adesso possiamo risolvere il sistema di due equazioni con due incognite, oppure cercare una soluzione geometrica. Se sostituiamo per semplicità le incognite w 1, w 2 con x, y definite come segue: Sostituendo w 1, w 2 nella conservazione dell’energia e della quantità di moto, si ottiene: Intersezione di un cerchio di raggio R con una retta, facilmente risolvibile geometricamente su carta millimetrata

Elastico o anelastico? m1m1 m2m2 Immagina la situazione di un urto su una pallina ferma (v 1, v 2 =0), poi la prima si ferma e la seconda riparte (w 1 =0, w 2 ). L’energia cinetica si conserva? Sicuramente si conserva la quantità di moto, che si conserva sempre Se adesso valuti la differenza dell’energia cinetica prima e dopo l’urto ottieni zero solo se le masse delle due palline sono uguali. Quindi l’energia cinetica si conserva per masse uguali (urto elastico) e non si conserva per masse diverse (in questo caso l’urto è detto anelastico)! w2w2 v1v1

Urto anelastico m1m1 v1v1 m2m2 w Immagina la situazione di un urto su una pallina ferma (v 1, v 2 =0), poi le palline proseguono assieme (w). L’energia cinetica si conserva? Sicuramente si conserva la quantità di moto, che si conserva sempre (1 equazione ed 1 incognita: ricavo w solo dalla conservazione della q.m.!) Se adesso valuti la differenza dell’energia cinetica prima e dopo l’urto ottieni SEMPRE una quantità diversa da zero: quindi l’energia cinetica non si conserva! L’urto è detto anelastico.

Lavoro e Forza F s L = F X s = 0 se i due vettori sono ortogonali Si misura in N X m = kg X m /s 2 X m = kg m 2 /s 2 = Joule: la stessa unità di misura dell’energia cinetica! s F F s Prodotto scalare: proiezione ortogonale di F su s, o di s su F L = F s = = |F| |s| valore massimo se i due vettori sono paralleli (come nell’esempio in alto) |v| = modulo del vettore = “lunghezza” = -|F| |s| valore minimo se i due vettori sono antiparalleli

Lavoro ed Energia Cinetica F ss Nel caso in cui la forza e dunque l’accelerazione cambino durante il percorso, possiamo dividere l’intero tragitto in tanti pezzettini ed immaginare che in ogni piccolo spazio la forza sia quasi costante, e fare il conto per ciascuno intervallino: Avendo indicato:  v fin, v in : le velocità finali e iniziali nell’intervallo  s   t: il tempo impiegato per percorrere lo spazio  s  E C,fin, E C,in : l’energia cinetica finali e iniziale nell’intervallo  s Il lavoro fatto per spostare una massa m per un tratto  s è pari alla variazione dell’energia cinetica (Teorema delle forze vive)

Lavoro ed Energia Cinetica (2) F ss Il risultato vista prima vale rigorosamente solo in un piccolo intervallo  s, dove possiamo approssimare la forza come quasi costante. Però dividendo l’intervallo [0,T] in tanti intervallini [0,  t], [  t,2  t], …, [T-  t,T], ed applicando il teorema delle forze vive in ciascuno, si ottiene: Teorema delle forze vive: Il lavoro fatto per spostare una massa m per un tratto qualsiasi, anche in presenza di forza non costante, è pari alla variazione dell’energia cinetica!

Potenza Potenza = Lavoro eseguito per unità di tempo: A parità di lavoro, (ad esempio a parità di forza applicata e spostamento prodotto), si ha che una macchina è più potente quanto rapidamente esegue il lavoro: P 1 /P 2 =  t 2 /  t 1 L’unità di misura è il J/s (o N m / s) definito Watt. Esempio: una sollevatrice pesi che solleva i pesi nella metà del tempo di un sollevatore, avrà una potenza doppia!

Se le forze sono nulle (F=0), oppure agiscono per un tempo nel quale il sistema ha uno spostamento nullo (s=0), oppure sono perpendicolari allo spostamento (L=0), si ha che il lavoro fatto è nullo. Pertanto, dal teorema delle forze vive, la variazione di energia cinetica è anch’essa nulla, ossia: l’energia cinetica finale eguaglia quella iniziale. In altri termini: l’energia cinetica si conserva! Ecco spiegata la magia della conservazione dell’energia cinetica negli urti elastici Conservazione dell’energia cinetica, alla luce del teorema delle forze vive

Energia potenziale gravitazionale z z=z in -mg z=z fin Applichiamo il teorema delle forze vive ad una massa m che si sposta sotto l’effetto della sola forza peso (che è costante): lo spostamento è pari alla differenza di altezza, s=zfin-zin, e la forza peso F=-mg: Portando a sinistra le quantità con indice fin ed a destra quelle con indice in, si trova: Definendo l’Energia Meccanica: U = mgz è detta Energia Potenziale gravitazionale Possiamo rileggere il teorema delle forze vive come la conservazione dell’energia meccanica!

Caduta di un grave (1) E = ½mv 2 + mgz E = mgz 0 = ½mv A 2  v A =-√(2gz 0 ) z=0 z v0v0 z=z 0 A I E = ½mv 0 2 +mgz 0 = ½mv A 2  v A =√(v gz 0 ) t A =√(2z 0 /g) v A =-gt A =-g√(2z 0 /g)=-√(2z 0 g 2 /g)=-√(2z 0 g) Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica al moto fra I ( z=z 0, v 0 =0) all’atterraggio in A (z=0 e v = massima velocità = v A, sconosciuta): Verifichiamo la correttezza, facendo il calcolo esplicito utilizzando le leggi della caduta dei gravi: Il risultato ottenuto prima è corretto, ed è stato ottenuto anche molto più velocemente! Nel caso generale in cui v 0 sia diverso da 0:

Trasformazione dell’energia: potenziale  cinetica E = E C + U E C = ½mv 2 = ½m (gt) 2 U = mgz = mg(z 0 - ½gt 2 ) Utilizzando le leggi del moto di un grave, possiamo scrivere la forma dell’energia potenziale e di quella cinetica al variare del tempo: Si vede che all’inizio (t=0) l’energia cinetica è nulla e l’energia potenziale massima, poi l’energia potenziale diminuisce (il corpo diminuisce di altezza) e nel contempo l’energia cinetica aumenta (la velocità aumenta). All’arrivo al suolo l’energia potenziale è nulla e la cinetica massima. La loro somma però rimane costante ad ogni istante: l’energia potenziale iniziale si trasforma in energia cinetica.

M IA 0 E (J) t (s) I Caduta di un grave (2) E=½mv 0 2 +mgz 0 =mgz M  z M =z 0 +v 0 2 /(2g) z v0v0 z=0 z=z 0 A I M: v=0 Al rientro in I l’energia potenziale è la stessa che a t=0, e dunque anche l’energia cinetica deve essere la stessa: questo significa che la velocità è la stessa in ma cambiata di segno: v=-v 0 Il punto di massima altezza è caratterizzato da v=0: E = E C + U E C = ½mv 2 = ½m (gt) 2 U = mgz = mg(z 0 - ½gt 2 )

Molla ed energia potenziale elastica U = ½kx 2 x=0 x x Molla a riposo (equilibrio) Molla allungata Come per la forza peso, anche per la molla possiamo definire una energia potenziale elastica:possiamo definire E = E C +U = ½mv 2 + ½kx 2 In modo tale che l’energia meccanica rimanga costante durante il moto della molla: ½kA 2 = ½ mv o 2  v o = A √(k/m) Ad esempio, se applichiamo la conservazione dell’energia meccanica fra il punto di massima estensione (x=A, v=0) e quello centrale (x=0, v=v o ), otteniamo:

Grafico dell’energia elastica durante il moto E = E C + U E C = ½mv 2 U = ½kx 2 Si noti che il periodo dell’energia è la metà di quello del moto: il motivo è che, ad esempio, quando la massa si trova agli estremi, x=±A, la posizione ed anche la velocità hanno segni opposti, mentre (a causa dei quadrati) l’energia cinetica e l’energia potenziale sono le stesse! t (s) E (J) T moto T energia

Cannone a molla E = ½mv 2 + ½kx 2 All’istante iniziale, molla compressa di una quantità l e massa ferma: x=l, v=0. Alla fine: molla a riposo nella posizione di equilibrio e velocità costante della pallina: x=0, v Applicando la conservando l’energia meccanica: ½k(l) 2 = ½mv 2 Da cui si ricava v=l√(k/m)

Energia potenziale elastica Applichiamo il teorema delle forze vive al caso di una massa m soggetta alla forza elastica di una molla (F=-kx). Consideriamo un intervallo di tempo  t nel quale la pallina si è spostata di  x, da x in ad x fin. La forza non è costante, ma varia poco essendo l’intervallo piccolino, e possiamo prendere il valore medio agli estremi dell’intervallo: Pertanto: Utilizzando il teorema delle forze vive:teorema delle forze vive Come fatto per la forza peso, possiamo ora definire una energia meccanica, che include il termine potenziale elastico 1/2kx 2. Abbiamo così dimostrato che l’energia meccanica rimane costante in tutte le trasformazioni subite dal sistema massa-molla durante il moto:forza peso

Forze conservative ed energia meccanica (1) Forze conservative: il lavoro non dipende dal percorso fatto dal sistema fisico, ma solo dalla posizione iniziale e finale P in P fin Consideriamo una forza con potenziale associato U(P). In tal caso, come abbiamo visto per la forza peso e quella elastica, il lavoro fatto è dato da: Pertanto NON dipende dal tragitto ma solo dalle posizioni iniziali e finali. Dunque: tutte le forze con un potenziale associato sono forze conservative! Applicando il teorema delle forze vive possiamo verificare che l’energia meccanica si conserva:

Forze conservative ed energia meccanica (2) Vediamo se vale anche il contrario: data una forza conservativa vediamo se è possibile associargli una energia potenziale. Se una forza è conservativa, il lavoro fatto dipende solo dalle posizioni iniziale P e finale Q, ossia esiste una funzione f tale che:Nel tragitto dal punto P al punto Q la forza che agisce è la stessa che si ha nel tragitto dal punto Q al punto P, l’unica cosa che cambia è il segno dello spostamento, pertanto il lavoro cambia segno: Indichiamo con U(P) il lavoro fatto per portare la massa da una posizione un punto P ad una posizione infinitamente lontana: In tal caso, sfruttando tutto quanto detto, possiamo valutare il lavoro: Pertanto U(P) rappresenta proprio l’energia potenziale associata alla forza conservativa. Abbiamo così dimostrato che ogni forza conservativa ha una energia potenziale associata. P Q R Inoltre potrei andare direttamente da P a Q, oppure attraverso un punto intermedio R ed il lavoro non cambia:

Forze non conservative Forze non conservative: il lavoro dipende dal percorso fatto dal sistema fisico Un tipico esempio sono le forze di attrito, o dissipative: (a) (b) Nel caso (a) molta più energia che nel caso (b) è andata dispersa nel calore grazie all’attrito fra massa e piano! Quindi il lavoro fatto nelle due situazioni è completamente diverso! Come ben sappiamo dalla vita reale! NB: il teorema delle forze vive vale sempre, solo che adesso occorre specificare la traiettoria per calcolare il lavoro e non possiamo definire una funzione potenziale, né quindi una energia conservata

Caduta in un fluido viscoso Questo è un esempio difficile ma interessante. Nel caso di un corpo che cada in un fluido reale (aria, acqua, olio, miele) e non in assenza di atmosfera (come sulla Luna), si verifica una forza di resistenza al moto che esprime la resistenza dl fluido ad “aprire un varco” per il passaggio del corpo. Questo attrito produce come al solito in agitazione termica (con emissione di calore) del fluido vicino alla traiettoria. Come abbiamo visto, la velocità aumenta sino ad una velocità limite, che rimane costante sino all’impatto col suolo. In tal modo l’energia cinetica rimane costante mentre l’energia potenziale diminuisce. Così la loro somma, ossia l’energia meccanica, non può rimanere conservata! Le stesse cose che abbiamo detto in forma di equazioni

Lavoro nel caso di forza viscosa F = -bv

Esperimento virtuale: la caduta dei gravi osserviamo il fenomeno fisico nell’intervallo di tempo da t=0 a t=t oss, dividiamo l’intervallo in tante parti piccole di larghezza  t: [0,  t), [  t, 2  t), [2  t, 3  t), … In ogni intervallino applichiamo la definizione discreta di accelerazione e velocità come variazione rispettivamente della velocità e dello spazio diviso per l’intervallo di tempo  t, e da qui cerchiamo di ricostruire nel tempo la storia di a, v, z. t (s) z (m) a (m/s 2 ) v (m/s) 0z 0 =10-9.8v 0 = ) 2) 3) Nota la leggera differenza fra lo “schema alle differenze“per la velocità e quello per la posizione Istante per istante possiamo calcolare l’energia potenziale e quella cinetica, e la loro somma (energia meccanica), per valutare se rimane costante.

Cambiamo le condizioni iniziali nell’esperimento virtuale … Prova adesso a vedere cosa succede alle tabelle ed ai grafici modificando i parametri, ad esempio nel seguente modo: cosa succede se ti trovi su Marte dove g=3.7 m/s 2 ? Oppure su Giove dove g=24.8 m/s 2 ? Cosa osservi se anziché da 10 m il tuo grave cade da 5 m? Oppure da 20 m? Cosa cambia se dimezzi o raddoppi il  t? A parte la variazione del tempo totale di osservazione, cosa osservi per l’errore numerico su altezza e velocità? Vediamo adesso un esperimento “nuovo”, nel quale il grave parte dal suolo con velocità iniziale non nulla rivolta verso l’alto, ad esempio di 10 m/s. Prova a modificare i parametri iniziali e guarda che cosa succede alle tue figure. Il risultato è in accordo con quanto ti aspettavi? Verifica che il punto di inversione del moto, all’apice, estratto numericamente dai grafici eguagli quello che ti aspetti teoricamente. Cosa cambia nell’esperimento descritto sopra se la velocità iniziale dimezza o raddoppia? Come ultimo esperimento prova a vedere cosa succede per z 0 =10 m e v 0 vale 1m/s ed è rivolta verso il basso oppure z 0 =10 m e v 0 vale 1 m/s ed è rivolta verso l’alto.

La caduta dei gravi Condizioni iniziali output g (m/s 2 ): Parametri z 0 (m): v 0 (m/s): Scarica qui l’interfaccia excel velocitàposizione  t (s): Energie