La Circonferenza

LA CIRCONFERENZA Assegnato nel piano un punto C detto Centro, si chiama circonferenza la curva piana con i punti equidistanti da C. La distanza fra ognuno dei punti della circonferenza e il suo centro è il RAGGIO della circonferenza. La circonferenza è una curva chiusa semplice, che divide il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita). La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di CERCHIO.

Prendendo un generico punto P(x,y) del piano… Applichiamo la formula della distanza fra due punti Otteniamo L’equazione si può anche scrivere in un modo più semplificato… Svolgiamo i calcoli: Poniamo Otteniamo quindi la nostra equazione scritta in modo semplificato:

CASI PARTICOLARI Considerando l’equazione generica di una circonferenza si possono notare in assenza di uno o due coefficienti o del termine noto casi particolari come:

LA RETTA RISPETTO ALLA CIRCONFERENZA La posizione di una retta rispetto a una circonferenza cambia e questo è dovuto dalla distanza della retta dal centro della circonferenza…La retta può essere: 1- ESTERNA quando non ha punti in comune con la circonferenza e ha d > r. 2-TANGENTE quando ha un solo punto in comune con la circonferenza e ha d = r. 3-SECANTE quando ha due punti distinti in comune con la circonferenza e ha d < r.

DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA Per determinare l’equazione di una circonferenza sono necessarie 3 condizioni come in questi casi: A-Sono noti le coordinate del centro (due condizioni) e il raggio, B-Sono note le coordinate degli estremi di un diametro; C-La circonferenza passa per un punto e sono note le coordinate del centro; D-La circonferenza passa per tre punti non allineati; E-La circonferenza passa per due punti e il centro appartiene a una retta nota; F-Sono note le coordinate del centro e la circonferenza è tangente a una retta nota.

Due circonferenze possono essere secanti in due punti, tangenti in uno stesso punto (esternamente o internamente),una interna all’altra(non concentriche o concentriche) o possono essere esterne. Per determinare gli eventuali punti di intersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere il sistema formato dalle equazioni delle due circonferenze. L’equazione che si viene a trovare viene chiamata asse radicale delle due circonferenze.

I FASCI DI CIRCONFERENZA Un fascio di circonferenze è un insieme di infinite circonferenze i cui centri giacciono su una retta (detta retta dei centri o asse centrale), o anche un insieme di infinite circonferenze aventi il medesimo centro. Il fascio è ottenuto utilizzando due circonferenze (dette circonferenze base o generatrici) le cui equazioni, opportunamente parametrizzate, generano l'equazione dell'intero fascio, cioè dalle due generatrici è possibile ottenere le equazioni di tutte le altre circonferenze del fascio. L’asse centrale è la retta perpendicolare all’asse radicale sulla quale si trovano i centri delle circonferenze del fascio. Per studiare un fascio di circonferenze occorre trovare : centro e raggio; le due generatrici; gli eventuali punti base; l’asse radicale e l’asse centrale; le eventuali circonferenze degeneri.

IL SEGMENTO PARABOLICO

SE UNA RETTA E’ SECANTE UNA PARABOLA NEI PUNTI AB,IL SEGMENTO AB E L’ARCO AB DELIMITANO UNA PARTE DEL PIANO DETTA SEGMENTO PARABOLICO. B B1B1 1.TRACCIAMO LA RETTA PARALLELA AD AB E TANGENTE ALLA PARABOLA 2.CONSIDERIAMO SU DI ESSA LE PROIEZIONI A 1,B 1 DI A E B SI PUO’ DIMOSTRARE CHE L’AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO E’ UGUALE A 2/3 DELL’AREA DEL RETTANGOLO AA 1 B 1 B E’ UNA FIGURA MISTILINEA, CIOE’ CHE I SUOI LATI NON SONO TUTTE RETTE. PER TROVARLO SERVONO : EQUAZIONE RETTA E DELLA PARABOLA. SI USA IL TEOREMA DI ARCHIMEDE. A A1A1 S= 2 A AA 1 B 1 B 3

1. PRENDERE L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA E QUELLA DELLA RETTA E METTENDOLE A SISTEMA TROVIAMO I PUNTI DI INTERSEZIONE.(A,B) 2.METTO A SISTEMA L’EQUAZIONE DEL FASCIO PARALLEO A r y=m+q E L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA E IMPONGO IL DELTA UGUALE A 0 PER LA TANGENZA ALLA PARABOLA. 3.FACCIO LA DISTANZA PUNTO-RETTA DI UNO DEI DUE PUNTI (A.B) ALLA RETTA CHE CI SIAMO TROVATI (PARALLELA) 4.TROVO L’AREA ( DISTANZA AA 1 *AB) E TROVO I 2/3 DEL RISULTATO 1. PRENDERE L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA E QUELLA DELLA RETTA E METTENDOLE A SISTEMA TROVIAMO I PUNTI DI INTERSEZIONE.(A,B) 2.METTO A SISTEMA L’EQUAZIONE DEL FASCIO PARALLEO A r y=m+q E L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA E IMPONGO IL DELTA UGUALE A 0 PER LA TANGENZA ALLA PARABOLA. 3.FACCIO LA DISTANZA PUNTO-RETTA DI UNO DEI DUE PUNTI (A.B) ALLA RETTA CHE CI SIAMO TROVATI (PARALLELA) 4.TROVO L’AREA ( DISTANZA AA 1 *AB) E TROVO I 2/3 DEL RISULTATO

FASCI DI PARABOLA Gli elementi principali dei fasci di parabole sono: Generatrici: sonole parabole che generano il fascio. Si trovano scrivendo il fascio in forma implicita: una delle due si ottiene per k=0 e l'altra per k=1 Punto base: è il punto in cui si intersecano le parabole di uno stesso fascio (non è detto che ci sia e possono essere al massimo due). Si trova come intersezione di due qualsiasi parabole del fascio Equazione dei fasci: y-ax 2 -bx-c+k(y-a 1 x 2 -b 1 x-c 1 )=0 1° GENERATRICE 2° GENERATRICE

CLASSIFICHIAMO I FASCI DI PARABOLA 1.Fasci di parabole secanti in due punti. Hanno due punti base, i due punti di intersezione delle due generatrici e tre parabole degeneri, le due rette verticali passanti per ciascuno dei punti base e la retta obliqua passante per entrambi; 2.Fasci di parabole tangenti in un punto base. Hanno un punto base, il punto di tangenza fra tutte le parabole e unaparabola degenere, che è anche la retta tangente a tutte le parabole del fascio; 3.Fasci di parabole senza alcun punto in comune: non ha punti base perché le parabole non si incontrano mai e hanno una parabola degenere: è una delle due generatrici del fascio; 4.Fasci di parabole congruenti con stesso asse di simmetria.Non hanno né punti base né parabole degeneri. Tutte le parabole del fascio hanno lo stesso asse e cambia solo il coefficiente c; 5.Fasci di parabole congruenti con un punto in comune. Hanno un punto base ed una parabola degenere, che è la retta passante per il punto base.

Ellisse

ELLISSE Presi due punti del piano F 1 e F 2 detti fuochi, si definisce ellisse la curva luogo geometrico dei punti P tali che sia costante la somma delle distanze di P da F 1 e da F 2 : PF 1 +PF 2 =cost PF 1 +PF 2 = P 1 F 1 +P 1 F 2. La distanza F 1 F 2 è detta distanza focale: F 1 F 2 = 2c. Il punto medio del segmento F 1 F 2 è detto centro. Diciamo 2a la somma costante delle distanze dei punti dell’ellisse dai fuochi (PF 1 +PF 2 = 2a). Poiché in un triangolo la somma di due lati è maggiore dell’altro lato: PF 1 +PF 2 > F 1 F 2 2a>2c a>c F 1 (-c;0) F 2 (c;0)

I punti A 1 A 2 B 1 B 2 sono detti vertice dell'ellisse. I segmenti A 1 A 2 e B 1 B 2 sono detti assi ellisse il primo è detto asse maggiore mentre il secondo asse minore. Coordinate del fuoco F 1 (-c;0) F 2 (c;0) Dalla relazione c 2 = a 2 -b 2 essendo c positivo: c=√ a 2 -b 2 quindi: F 1 (- √(a 2 -b 2 );0) F 2 (√(a 2 -b 2 );0)

Poiché b>a, B 1 B 2 è detto asse maggiore e A 1 A 2 è detto asse minore e le formule sono l'opposto rispetto a quelle che abbiamo visto prima. F 1 (0;- √(a 2 -b 2 ) F 2 (0; √(a 2 -b 2 )

-∆<0, il sistema non ha soluzioni reali, la retta e secante; -∆=0, il sistema ha due soluzioni reali e coincidenti, la retta è tangente; -∆>, il sistema ha due soluzioni reali, la retta è secante.

L’ IPERBOLE

L’iperbole (conica o curva del secondo ordine) è il luogo geometrico di punti per i quali è costante la differenza delle distanze di un punto fisso dai due fuochi (i due fuochi sono simmetrici) x²/a² - y²/b² = ±1 il ± dipende se i fuochi stanno sull’ asse delle x o delle y. +1 se i fuochi stanno sull’asse delle x, -1 se i fuochi stanno sull’asse delle y - Il segmento F ₁ F ₂ si chiama distanza focale e misura 2c - L’asse che contiene i fuochi è l’asse trasverso - L’asse che non contiene i fuochi è l’asse non trasverso - Se b = a si avrà un iperbole equilatera (y= ± x), l’iperbole equilatera ruotata ha equazione xy= a²

L’iperbole ha un andamento asintotico perché presenta degli asintoti obliqui cioè rette che passano per l’origine y = ± b/a · x Per rendere l’iperbole asintotica si ruotano gli asintoti e l’equazione diventa xy = k Mentre le equazioni delle curve sono y = k/x x = k/y Per rendere la curva esplicitabile bisogna far ruotare gli asintoti obliqui della curva intorno all’origine facendoli coincidere con gli assi cartesiani. L’ IPERBOLE RIFERITA AGLI ASINTOTI

L’ECCENTRICIA’ DELL’IPERBOLE Per quanto riguarda l’eccentricità è >1 ed è uguale al rapporto tra distanza focale e lunghezza dell’asse trasverso - Più diminuisce l’eccentricità più l’iperbole si appiattisce - Più aumenta l’eccentricità più la curva si apre. FUNZIONE OMOGRAFICA In questo caso gli assi risultano traslati mentre gli asintoti sono paralleli agi assi cartesiani, si utilizza appunto una glissosimmetria che si ottiene applicando prima una rotazione e poi una traslazione è la più diffusa rototraslazione ax · ax+b/cx+d

La funzione esponenziale

In generale si hanno diverse funzioni esponenziali per ogni valore a > 0 che viene scelto: I casi più semplici da analizzare sono: a > 1; 0 < a < 1; a = 1. La funzione esponenziale

Primo caso: a > 1 Ponendo a = 2 si ottiene il grafico e i valori di y in funzione di x si ottengono dalla tabella. X Questo tipo di funzione esponenziale è una funzione crescente (cioè il valore di y cresce al crescere del valore di x), monotòna (l’andamento è costante e non è oscillante) e con andamento asintotico (la funzione si avvicinerà sempre più allo 0 senza mai raggiungerlo e quindi non intersecherà mai l’asse x). y tende a 0

x Questo tipo di funzione esponenziale è una funzione decrescente (cioè il valore di y diminuisce al crescere del valore di x), monotòna (l’andamento è costante e non è oscillante) e con andamento asintotico (la funzione si avvicinerà sempre più allo 0 senza mai raggiungerlo e quindi non intersecherà mai l’asse x).

Terzo caso: a = 1 In questo caso si ha una funzione esponenziale costante poiché qualsiasi elevamento a potenza del numero1 è sempre 1. Il grafico della funzione esponenziale, di questo tipo, interseca l’asse delle y sempre nel punto ≡ (0;1).

IN SINTESI

L’EQUAZIONE ESPONENZIALE

FINE