Se A e B sono variabili random statisticamente indipendenti P (2) (B,A)=P(B)P(A) P(A)=probabilità che la variabile stocastica A assuma un certo valore che chiamo ancora A per semplicità P (2) (B,A)=probabilità che la variabile stocastica A assuma un certo valore A e che simultaneamente la variabile B assuma un certo valore B. In caso contrario, P (2) (B,A)=K(B|A)P(A) K(B|A)=probabilità che B assuma un certo valore B condizionata al fatto che A assuma il valore A.

Consideriamo ora l’evoluzione di un sistema stocastico nello spazio delle configurazioni. Per definizione di sistema stocastico, non esiste una legge deterministica che fornisca x=x(t) Se il sistema visita in “successione temporale discretizzata” (o meglio, a step successivi) gli stati x 0,x 1,x 2,…, x n, x n+1,…, in generale P n+1 (x n+1 ) = probabilità di raggiungere lo stato x n+1 al passo n+1 dipenderà dagli stati visitati in precedenza. Se posso determinare la probabilità di raggiungere x n+1 dalla sola conoscenza di x n ->

Se -> K è detta “matrice statistica” (definita positiva e “column normalized”, una condizione abbastanza ovvia) -> siamo in presenza di un “processo markoviano” -> la successione delle configurazioni visitate è detta “catena di Markov”

Osservazione: dato che “Master equation”. Se conosco la probabilità P 0 che al tempo 0 il sistema sia in x 0 e conosco le “probabilità di transizione”, tramite la master equation construisco tutta la sequenza di probabilità al tempo successivo -> risolvo il problema statistico

Definizione: sia la probabilità di finire in x’ a partire da x in M passi. La catena di Markov si dice “ergodica” se per ogni coppia (x’,x) dello spazio delle configurazioni esiste un intero M tale per cui

Domande chiave: 1)La master equation ammette una soluzione stazionaria, e quindi tale per cui 2)Sotto quali condizioni, assegnata una P 0 al passo 0 la catena di Markov converge ad una distribuzione stazionaria, e quindi

Immaginiamo di chiedere che la soluzione stazionaria corrisponda alla distribuzione relativa ad un certo n … se

La condizione di “bilancio dettagliato”: e’ sufficiente a garantire che la master equation ammetta soluzione stazionaria. Si dimostra inoltre (non lo facciamo, non è immediato) che se è soddisfatta la condizione di bilancio dettagliato, e la catena di Markov è ergodica, allora partendo da una distribuzione al tempo 0, e utilizzando la master equation per generare la catena, ottengo una distribuzione stazionaria per n sufficientemente grandi.

Come si costruisce una catena di Markov che evolva, a grandi n, ad una distribuzione desiderata ? N.Metropolis (Los Alamos National Laboratory, primi anni ‘50) ha suggerito il seguente schema: definisco una “probabilità di transizione” T(x’|x) che ha il ruolo della K(x’|x) ma, in generale non soddisfa il bilancio dettagliato. A parte le ovvie proprietò: Richiedo “solo” che T assicuri l’ergodicità. Di fatto, spesso ci si limita a controllarlo “a naso”. Dopodiche’ costruisco ….

Soddisfa il detailed balance, ovvero

Il nostro MC è del tipo x-ax+a x X’ T(x’|x)

Non devo calcolare la funzione di partizione!!! Infatti, si costruiscono quasi sempre T simmetriche

Adesso sappiamo che la nostra costruzione, nel limite di infiniti passi, porta il sistema all’equilibrio, ovvero che le configurazioni visitate dopo molti passi hanno il peso statistico corretto. Quindi, se voglio fare una media di una osservabile all’equilibrio, parto da una configurazione, la porto all’equilibrio e poi medio sulle configurazioni generate da quel punto in poi. Occhio! Se rifiuto una mossa, devo considerare che la nuova configurazione (al passo n+1) è identica alla vecchia, se no do’ il peso statistico sbagliato!!!!!!