Relazione tra due insiemi:

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1 Relazione tra due insiemi:
FUNZIONI Relazione tra due insiemi:

2 FUNZIONI L’insieme costituito dai primi elementi delle coppie che definiscono R viene denominato dominio della relazione e viene indicato con Si ha Se la funzione viene chiamata corrispondenza e viene indicata con C. L’insieme costituito dai secondi elementi delle coppie che definiscono R viene denominato codominio della relazione e viene indicato con il simbolo Risulta

3 FUNZIONI Una relazione R tra due insiemi non vuoti X e Y è una funzione e viene indicata con f se soddisfa le seguenti proprietà: ogni x di X ha almeno un’immagine in Y : , , tale che ogni x di X ha al più un’immagine in Y, ovvero se : tale che e allora

4 FUNZIONI Una funzione f può essere indicata con la scrittura: f :
Una funzione è comunemente indicata: Si definisce:

5 Esempio La funzione parte intera di x:
FUNZIONI Esempio La funzione parte intera di x:

6 Esempio La funzione cubica:
FUNZIONI Esempio La funzione cubica:

7 FUNZIONI Questa è infatti la definizione di funzione!
Una funzione f : si dice iniettiva se ad elementi diversi di X corrispondono elementi diversi di Y. Attenzione non si deve dire: Una funzione è iniettiva se ad ogni x corrisponde un solo y. Questa è infatti la definizione di funzione!

8 Iniettiva Non iniettiva
FUNZIONI Iniettiva Non iniettiva

9 FUNZIONI Una funzione f è suriettiva se ogni elemento di Y è immagine di almeno un elemento di X.

10 FUNZIONI Sia f: la funzione rappresentata da y=f(x). Si definisce funzione inversa la funzione che associa ad ogni y la sua controimmagine Il grafico di una funzione e il grafico della funzione inversa coincidono ! Esempio:

11 Teorema Se una funzione f: è biiettiva, allora è invertibile. Esempio:
FUNZIONI Teorema Se una funzione f: è biiettiva, allora è invertibile. Esempio:

12 FUNZIONI Si consideri una funzione f: e una funzione
Se il codominio della funzione f è un sottoinsieme proprio o improprio del domino di g, si definisce funzione composta di f e g la funzione espressa da

13 FUNZIONI Esempio Si consideri la funzione f(x)=x+1
e la funzione g(x)=2x. La funzione composta ottenuta applicando prima la f e poi la g assume la forma: : L’ordine di applicazione delle funzioni è importante, Infatti se applichiamo prima la g e poi la f il risultato diventa:

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