un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. massa inerziale: m i massa gravitazionale attiva e passiva m a, m p (WEP) (Azione-Reazione) m I = m A = m P

m: massa che subisce la forza m i (da 1 a N): masse che esercitano la forza

un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Distribuzione continua  (x)  teorema di Gauss

un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Massa Momento di Dipolo (nullo se s.d.r. è centrato sul centro di massa) Momento di Quadrupolo (nullo per simmetrie sferiche)

un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Terra: R equat. e R polare differiscono di 1 parte su mille Sole: R equat. e R polare differiscono di 1 parte su 10 5 Avanzamento del Perielio dei pianeti: Mercurio Effetto dovuto alla Relatività Generale: 43” per secolo Perturbazione dal moto dei pianeti: 532” per secolo Perturbazione dal momento di quadrupolo del sole: pochi sec per secolo Il resto e’ legato al s.d.r. astronomico solidale con la terra (5025’’) Mercurio: ± 0.20’’ per secolo di cui

Dipende da suo momento di quadrupolo ?

un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Dicke e Goldberg (1961): misura dell’intensità della radiazione solare sulla superficie  J = Q/2MR 3 = 2 x (errore al 10%) Questo valore di J genererebbe un avanzamento del perielio pari a 3 sec arco per secolo rendendo le osservazioni compatibili con la teoria di Brans-Dicke. Hill e Stebbins (1975): Stessa tecnica – smentirono la misura J = Q/2MR 3 = 1 x (errore al 400%) Anni ’80: Misura delle oscillazioni solari J = Q/2MR 3 = 2 x (errore al 10%) Brown et al.(1989): Misura più accurata J = Q/2MR 3 = 1.5 x (errore al 10%)

un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Scarsa accuratezza nella conoscenza di masse e raggi dei pianeti Cavendish Experiment (1798)

un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. E’ considerato il primo esperimento moderno !!! Miglioramenti 1) Fibre di quarzo, Leve Ottiche (Boys, 1889) 2) Periodo invece che angoli (Heyl, 1942) Accuratezza di qualche parte per mille

G Source of the CODATA internationally recommended values

1) Misure di Proporzionalità tra Massa Attiva e Passiva : Saranno discusse le due verifiche più importanti, dovute a Kreuzer e Bartlett-Van Buren 2) Misure di Unicità del Free Fall: Saranno discusse le principali tecniche sperimentali per verificare l’unicità del Free Fall, con particolare attenzione al funzionamento degli esperimenti con la bilancia di torsione. 3) Effetti di gravitazione Classica : le forze mareali

Materiale Didattico TESTI FONDAMENTALI 1) UFF: D.V.Sivuchin, Fisica Generale per l’illustrazione della bilancia di torsione. 2) MASSA ATTIVA E PASSIVA: Leggere le idee fondamentali dei due esperimenti negli articoli originali (non viene richiesta la conoscenza dettagliata). Gli articoli sono disponibili in rete. TESINA POSSIBILE Verifiche dell’UFF Kreuzer L.B., 1968, “Experimental evidence of the equivalence of active and passive gravitational mass”, Phys. Rev., 169, 1007 Bartellet D.F. and Van Buren D., 1986, “Equivalence of active and passive gravitational mass using the moon”, Phys. Rev. Lett. 57, 21

ANALISI DELLE DISCREPANZE SULLE MISURE DI G CON PENDOLI DI TORSIONE La misura di G si basa su misure di 1) Distanza 2) Peso 3) Costante di torsione del pendolo Il risultato di G dipende dal valore m attiva della grande massa attraente. Valori di G diversi ottenuti con masse di diversa natura possono essere interpretati come limite superiore alla dipendenza di m attiva dalla composizione dei materiali. Errore tipico.0.002/6.67 ~ Differenza tra i due valori di  Indicazione della presenza di un errore sistematico o di un effetto di violazione?

L.B.Kreuzer, Phys. Rev., 169, nr.5 ( ), 1968.

Set-up sperimentale Generazione del segnale Cilindro di Teflon (76% di Fluoro, 20 kg) immerso in una mistura di Triclorotilene e Dibromometano (74% di Bromo). Il cilindro traslato avanti e indietro nel contenitore grazie a un filo di nylon che lo traina, se la densità tra liquido e solido è diversa si genera un segnale gravitazionale che dipende dalla posizione del cilindro rispetto al liquido. Sensore: Bilancia di torsione Una torsione viene indotta sulla bilancia grazie alla diversa posizione del cilindro. Lettura del segnale Leva ottica: fascio laser riflesso indietro da uno specchietto solidale con il filo di sospensione della bilancia (manubrio). Registrate variazioni dell’angolo a riposo.

La strategia di misura 1) Bilancia di torsione 2) Misura di zero: variando la temperatura del sistema liquido+solido si può ottenere  solido =  liquido per cui  F=0 a cui corrisponde  bilancia =0 se non ci sono violazioni. 3) I segnali devono dipendere direttamente dalle differenze di massa per ridurre l’errore. 4) Materiali sono scelti per densità simili masse chimicamente inerti e omogenee evidenziare le violazioni sull’equivalenza tra m i e m p possono essere legate alle diverse composizioni nucleari (E/A) e (Z/A) tra solido (76% dii Fluoro) e liquido (74% di Bromo).

I Segnali 1.La forza d’attrazione gravitazionale è proporzionale alla differenza di massa attiva tra fluido e solido; 2.La differenza di densità misura la differenza di massa passiva tra fluido e solido (La densità è data da misure di massa nel campo terrestre.) 3.Quando la differenza di densità è zero si deve avere segnale nullo. Un eventuale segnale residuo pone un limite superiore sulla differenza percentuale tra massa passiva e attiva. Il Metodo ed il suo Limite 1.Rivelazione sincrona al moto del cilindro  vibrazioni indotte sul sistema 2.Misura della temperatura per monitorare la densità, essendo noti i coefficienti di dilatazione del solido e del liquido  dati da tabelle 3.Errore sistematico:  filo di nylon che trascina il corpo diversa da  Teflon Densità uguali L’errore  y nel punto dell’intersezione definisce il limite superiore

un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. 1 2 r 3 a Legge della dinamica: Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria

Mantello ricco di Ferro, (  b  3350 kg/m 3 ) Crosta ricca di Alluminio (  a  2350 kg/m 3 ) d OC = 10 km D.F.Bartlett & D.Van Buren, Phys. Rev. Lett., 57, nr.1 (21-24), 1986.

Se la forza gravitazionale esercitata dal mantello sulla crosta fosse diversa da quella esercitata dalla crosta sul mantello (violazione del principio d’azione e reazione) esisterebbe una forza residua sul Centro di Massa che determinerebbe una deviazione dall’orbita classica legata al parametro: Metodo Lunar Laser Ranging  Accuratezze dell’ordine del cm nella misura dell’orbita Limite concettuale Modelli Accurati composizione Lunare Il rapporto tra m attiva / m passiva è lo stesso per Fe ed Al con un accuratezza di una parte su 10 12

B posizione centro di massa O centro geometrico Indice a  crosta Indice b  mantello OB=s=z cm OC=t=z mantello a raggio della crosta Forza della crosta sul mantello Dal teorema di Gauss (  =-4  GM) Diretta come OC

Violando il 3 o principio si ha Centro di massa della luna Che determina una variazione della velocità angolare orbitale

Forza Terra-Luna r= km raggio orbita a=3470 km raggio crosta

Misure di Lunar Laser Ranging d  dt  secondi d'arco/secolo  Valutazione dalle misure con il satellite LAGEOS dell’effetto delle maree oceaniche sul moto lunare d  dt   5  secondi d'arco/secolo  Supponendo che lo scarto sia attribuibile agli effetti di violazione:   /  < /mese S(a,b) < (1/5) (1/6  )(1/sin14 o ) = Tenendo conto della frazione di composizione di Fe e Al (fattore 0.08) S(Al,Fe)= S(a,b)/0.08 =

se m p diversa da m a  violazione della conservazione dell’impulso La RG si basa su m p =m a In questi studi non si tiene conto degli effetti di ritardo dell’interazione gravitazionale tra i due corpi che sono importanti quando non è più verificata la condizione v/c << 1. La conservazione dell’impulso è riformulata in regime relativistico in termini di conservazione del quadri-impulso. In condizioni relativistiche il sistema a due corpi deve tener conto del campo d’interazione gravitazionale che si propaga in un tempo finito dall’una all’altra particella. Il campo ha anch’esso associato un impulso (ed un’energia) di cui occorre tener conto. Una trattazione rigorosa delle leggi fondamentali della Gravitazione e del complesso problema associato alla conservazione del quadri-impulso nell’ambito della Relatività Generale, è riportata nel capitolo 11 del testo C. Moller, The Theory of Relativity, Claredon Press Oxford 1972.

mPgmPg m P g sin   l Se il rapporto fosse diverso da corpo a corpo il periodo cambierebbe a seconda del tipo di pendolo

mPgmPg m P g sin   l Ideato da Newton ( ) Bessel ( ) Il rapporto è lo stesso per tutti i corpi esaminati con un’accuratezza di una parte su Si può usare il pendolo per ricavare informazioni sull'attrazione gravitazionale in un particolare luogo. Questo tipo di misura era servita proprio per verificare la legge di gravitazione universale: le osservazioni venivano eseguite al livello del mare e su una montagna per vedere se l'accelerazione di gravità diminuiva come previsto da Newton.

Esperimenti sul principio di equivalenza e precisioni ottenute Simon Stevin 1585 Drop Tower 5x10 -2 Galileo Galilei 1590 Pendolo, Drop Tower 2x10 -2 Isaac Newton 1686 Pendolo Friedrich Wilhelm Bessel 1832 Pendolo 2x10 -5 Southerns 1910 Pendolo 5x10 -6 Zeeman 1918 Bilancia di torsione3x10 -8 Loránd Eötvös 1909 Bilancia di torsione 5x10 -9 Potter 1923 Pendolo 3x10 -6 Renner 1935 Bilancia di torsione2x10 -9 Dicke, Roll, Krotkov 1964 Bilancia di torsione 3x Braginsky, Panov 1972 Bilancia di torsione Shapiro 1976 Lunar Laser Ranging Keiser, Faller 1981 Supporto fluido 4x Niebauer, et al Drop Tower Heckel, et al Bilancia di torsione Adelberger, et al Bilancia di torsione Baeßler, et al.1999 Bilancia di torsione 5x Adelberger, et al.2006 Bilancia di torsione Adelberger, et al.2008 Bilancia di torsione 3x10 -14

F grav =g m P r RTRT  

Deviazione del filo a piombo Se il rapporto variasse la deviazione dipenderebbe dal corpo utilizzato come massa del filo a piombo r RTRT 

Deviazione del filo a piombo r RTRT  a =1.7 x a 45 0 di latitudine

F G =- m g g vers(z) F c = m i a x vers(x)+m i a z vers(z)

l’  2 r  z La componente verticale della forza centrifiga è bilanciata dalla forza di gravità Equilibrio della bilancia lungo l’asse verticale: l

S l  2 z Equilibrio dei pesi Torsione attorno all’asse orizzontale l’

l=l’ Se i due corpi avessero rapporti diversi tra massa inerziale e gravitazionale passiva, la relazione di equilibrio potrebbe essere verificata solo se le due masse inerziali fossero diverse. Questo implicherebbe però che le due forze centrifughe sarebbero diverse e quindi le diverse componenti orizzontali indurrebbero una torsione intorno all’asse verticale  l Torsione attorno all’asse verticale

 Rotazione intorno all’asse verticale l

S N l  2 r  z Parametro di Eotvos

S N l  2 Ruotando il sistema di si dovrebbe invertire il segno del momento e si otterrebbe una rotazione dalla parte opposta

S N l  2 I risultati nulli ottenuti da Eotvos ci dicono che il rapporto tra massa inerziale e massa gravitazionale è lo stesso per tutti i corpi a meno di qualche parte per miliardo