Le trasformazioni non isometriche L’omotetia Omotetia inversa DEFINIZIONE. Dato un punto O ed un numero reale k, si dice omotetia di centro O e rapporto k, quella trasformazione del piano che associa ad ogni punto A il corrispondente punto A’ tale che i punti O, A e A’ siano allineati il rapporto è uguale alla costante k Se i punti A e A’ sono disposti dalla stessa parte rispetto ad O, l’omotetia si dice diretta. DEFINIZIONE. Se i punti A e A’ sono disposti da parti opposte rispetto ad O, l’omotetia si dice inversa. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche Le proprietà delle figure omotetiche Consideriamo, ad esempio, i triangoli ABC e A’B’C’ che si corrispondono in un’omotetia diretta (a) e inversa (b) di centro O e caratteristica . Notiamo che: 1 3 k = i lati corrispondenti dei due triangoli sono paralleli e di conseguenza gli angoli corrispondenti nei due triangoli sono congruenti; i lati corrispondenti non sono congruenti, ma il loro rapporto è sempre pari al valore di k. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche Le proprietà delle figure omotetiche PROPRIETÀ. L’omotetia, diretta ed inversa, fra due figure stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che: mantiene il parallelismo tra i lati lasciando quindi inalterata l’ampiezza degli angoli; cambia le misure dei lati corrispondenti, secondo un rapporto costante uguale alla caratteristica. In sintesi: il parallelismo fra i lati mantiene Omotetia la posizione nel piano e la misura dei lati cambia Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche Le proprietà delle figure omotetiche Consideriamo i triangoli ABC e A’B’C’ che si corrispondono in un’omotetia diretta di centro O e caratteristica k = 3 In questo caso il triangolo ottenuto rappresenta un ingrandimento del triangolo ABC. In generale è possibile dire che: PROPRIETÀ. Le dimensioni di una figura in una omotetia (diretta o inversa) dipendono dal valore del rapporto: per k > 1 si ottiene un ingrandimento; per k < 1 si ottiene un rimpicciolimento. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche La similitudine DEFINIZIONE. La similitudine è una trasformazione geometrica che si ottiene applicando alla stessa figura e in successione un’isometria ed un’omotetia (o viceversa). Le figure che si corrispondono in questo tipo di trasformazione si dicono simili. Consideriamo le seguenti figure ottenute componendo: un’omotetia diretta di centro O e k = 2 con una simmetria assiale di asse a. una traslazione di vettore v1 con un’omotetia di centro O e 1 2 k = In entrambi i casi i due triangoli ABC e A”B”C” hanno gli angoli congruenti, mentre si è modificata la lunghezza dei lati corrispondenti che tuttavia mantengono un rapporto costante. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche La similitudine PROPRIETÀ. La similitudine è una trasformazione geometrica che lascia immutate le ampiezze degli angoli, ma varia la lunghezza dei segmenti corrispondenti secondo un rapporto costante che si chiama rapporto di similitudine e si indica con k. In sintesi: la lunghezza dei segmenti varia Similitudine la congruenza fra gli angoli mantiene DEFINIZIONE. Due o più poligoni si dicono simili quando hanno gli angoli ordinatamente congruenti e le misure dei lati omologhi legate da un rapporto costante. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche I criteri di similitudine dei triangoli Consideriamo due triangoli ABC e A’B’C’ in cui poniamo le condizioni A = A’ ; B = B’ ; C = C’ Se misuriamo i lati corrispondenti e calcoliamo i loro rispettivi rapporti, troveremo che sono in proporzione ovvero che hanno lo stesso rapporto: A’B’ : AB = B’C’ : BC = C’A’ : CA = k Possiamo concludere che: 1° CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche I criteri di similitudine dei triangoli A = A’ A’B’ : AB = A’C’ : AC = k Consideriamo due triangoli ABC e A’B’C’ in cui poniamo le condizioni Se misuriamo con il goniometro le altre due coppie di angoli corrispondenti troveremo che: B = B’ C = C’ Calcolando il rapporto tra l’altra coppia di lati omologhi, troveremo che anche quest’ultima ha lo stesso rapporto delle prime due coppie di lati omologhi: B’C’ : BC = A’B’ : AB = A’C’ : AC = k Possiamo dedurre che: 2° CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo fra essi compreso congruente. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche I criteri di similitudine dei triangoli Consideriamo due triangoli ABC e A’B’C’ in cui poniamo la condizione A’B’ : AB = B’C’ : BC = A’C’ : AC = k Se misuriamo con un goniometro l’ampiezza degli angoli, vedremo che quelli corrispondenti hanno la stessa ampiezza: A = A’ ; B = B’ ; C = C’ Possiamo dedurre che: 3° CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti in proporzione. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche Il teorema della parallela al lato di un triangolo TEOREMA. In un triangolo, una parallela ad un lato individua un nuovo triangolo simile a quello dato e divide i lati intersecati in segmenti direttamente proporzionali. In simboli: AD : DC = BE : EC Una conseguenza di tale teorema è che: TEOREMA. La parallela ad un lato di un triangolo condotta per il punto medio di un altro lato divide il terzo lato in due segmenti congruenti. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche Il teorema delle altezze corrispondenti di due triangoli simili TEOREMA. In due triangoli simili le altezze sono proporzionali alle rispettive basi. In simboli: C’H’ : CH = A’B’ : AB Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche I teoremi della similitudine Il teorema dei perimetri di due poligoni simili TEOREMA. Il rapporto tra i perimetri di due triangoli simili è uguale al rapporto tra le misure di due lati corrispondenti; in simboli: Più in generale: TEOREMA. Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è uguale al rapporto tra le misure di due lati corrispondenti. TEOREMA. Tutte le misure lineari corrispondenti di due poligoni simili stanno tra loro nello stesso rapporto di similitudine. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche Il teorema delle aree di due poligoni simili Il teorema delle aree di due poligoni simili TEOREMA. Il rapporto tra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto tra due lati corrispondenti; in simboli: Ad esempio, considerando la figura a lato, Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche Il primo teorema di Euclide Consideriamo i triangoli rettangoli ABC e AHC. Per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili e hanno i lati omologhi in proporzione, quindi: AB : AC = AC : AH Consideriamo i triangoli ABC e HBC. Per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili e hanno i lati omologhi in proporzione, quindi: AB : BC = BC : HB Alla luce delle precedenti proporzioni possiamo enunciare il seguente TEOREMA. In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche Il secondo teorema di Euclide Consideriamo i triangoli rettangoli AHC e HBC. Essi hanno gli angoli ordinatamente congruenti AHC = CHB = 90° CAH = HCB ACH = HBC I due triangoli sono dunque simili ed avranno i lati corrispondenti in proporzione: AH : HC = HC : HB Alla luce di questa relazione possiamo enunciare il seguente TEOREMA. In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Le trasformazioni non isometriche

Le trasformazioni non isometriche Interpretazione geometrica dei teoremi di Euclide Primo teorema di Euclide TEOREMA. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa. Secondo teorema di Euclide TEOREMA. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Le trasformazioni non isometriche