PROBABILITA’ Nella vita quotidiana sovente facciamo scelte che dipendono dalle previsioni su fatti e avvenimenti che devono ancora accadere e il cui risultato è incerto, perché dipende da fattori totalmente, o in buona parte, legati al caso. Per decidere se programmare o meno una gita in montagna è determinante prevedere se quel giorno pioverà oppure no; se si vuole scommettere sul risultato della prossima partita di calcio della propria squadra, occorre saper prevedere quale degli esiti possibili, vittoria, pareggio o sconfitta, è più facile che si verifichi. Anche in tutti i giochi di azzardo le scelte dei giocatori dipendono dalle previsioni sulle possibilità di vincita che esse hanno. Ad esempio, nel lancio di un dado, se si punta sull'uscita del 5 o del 6, è opportuno aver valutato quante possibilità di uscita hanno i1 5 e i16 rispetto agli altri numeri. Molto spesso pertanto, quando un avvenimento deve ancora accadere e può avere esiti diversi, cerchiamo di valutare la maggior o minore possibilità che ciascuno degli esiti possibili ha di verificarsi, cioè la sua probabilità. La parte della matematica che studia gli avvenimenti legati al caso, per stabilire quale probabilità hanno i loro possibili esiti, è il calcolo delle probabilità. Come scienza autonoma, il calcolo delle probabilità nacque nel 1600 per merito del matematico Blaise Pascal, che iniziò a occuparsi di alcuni problemi connessi al gioco d'azzardo; in seguito si occuparono di questo settore della matematica molti insigni studiosi, come Fermat, Newton, Leibnitz e Laplace. Il calcolo delle probabilità trovò e trova tuttora applicazione in molti ambiti scientifici, ad esempio in Statistica, in Economia e in Medicina. N.B. Il termine azzardo deriva dalla parola zahar che significa dado.
PROBABILITA’ Consideriamo i seguenti eventi: - un oggetto lasciato cadere, raggiunge il pavimento della stanza in cui siamo; - estraiamo un numero da un sacchetto contenente i 90 numeri della tombola e abbiamo il numero 3; - lanciamo due monete e otteniamo che le facce superiori presentano due teste; - scommettiamo sull’esito di una corsa di cavalli e il nostro favorito vince. Tali avvenimenti possono verificarsi o no. Definizione: Un evento è un avvenimento, descritto da una proposizione, che può accadere o non accadere. Chiamiamo: - eventi certi gli eventi che accadono con certezza - eventi impossibili gli eventi che non possono mai verificarsi
PROBABILITA’ Esempio: - la proposizione : “Lancio un dado ed esce il numero 9 ”, in base alle conoscenze, è sempre falsa e quindi descrive un evento impossibile ; - la proposizione: “Dopo il lunedì viene il martedì ”, è sempre vera, per cui essa descrive un evento certo. Un evento si dice evento casuale o aleatorio se il suo verificarsi dipende dal caso, ossia può accadere ma senza certezza N.B. aleatorio deriva dal latino alea, che significa dado. Ogni singolo risultato possibile è detto evento elementare o semplice o campione. Esempio Nel lancio del dado, sono elementari gli eventi: E 1 = “esce il numero 1” E 2 = “esce il numero 2” ……………………… E 6 = “esce il numero 6” Nel lancio di una moneta sono eventi semplici i due possibili risultati che si possono ottenere: E 1 = esce testa E 2 = esce croce L’insieme di tutti gli eventi elementari si chiama universo degli eventi o spazio campionario. Si può utilizzare per gli eventi il linguaggio degli insiemi.
PROBABILITA’ Nel nostro esempio, possiamo rappresentare l’insieme universo U come: e graficamente con un diagramma di Eulero-Venn, come in figura. Nel lancio di un dado consideriamo l’evento aleatorio: E = “esce un numero dispari”. L’insieme E rappresenta l’insieme dei casi favorevoli, ossia di quelli in cui E è verificato. L’insieme Universo è invece l’insieme dei casi possibili. Supponiamo che tutti i casi siano ugualmente possibili: il rapporto: fornisce una stima sulla possibilità che l’evento E si verifichi e viene chiamato probabilità di E, p(E). Definizione La probabilità di un evento E ( in simboli: p(E) ) è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f ed il numero dei casi possibili u, quando sono tutti ugualmente possibili: Esempi Estraiamo una carta da un mazzo di 52 carte. Consideriamo gli eventi E 1 = Estrazione di una figura rossa E 2 = Estrazione di una carta di picche Per entrambi gli esempi u = 52, cioè tutti i possibili esiti dell’estrazione. Per E 1 i casi favorevoli sono f = 6, cioè il numero delle figure rosse; per E 2 i casi favorevoli sono f =13, cioè il numero delle carte di picche: Definizione di probabilità classica
PROBABILITA’ Esprimiamo questi valori in percentuali. Poiché il numero f dei casi favorevoli è sempre minore o uguale al numero dei casi possibili, si ha: 0 ≤ p ≤ 1, cioè la probabilità di un evento aleatorio è sempre compresa tra 0 ed 1. Per un evento impossibile f = 0 poiché il numero dei casi favorevoli è nullo. In questo caso, evidentemente: p(E) = 0 (impossibilità che l’evento accada). Per un evento certo f = u, poiché il numero dei casi favorevoli è uguale al numero dei casi possibili. In questo caso p(E) = 1 (certezza che l’evento accada), - Evento contrario Dato un evento E, il suo evento contrario è l’evento (che si legge non E) che si verifica se e solo se non si verifica E. E’ vero che:.. Infatti, essendo u = numero di casi possibili e f = numero di casi favorevoli a E, il numero di casi favorevoli a è: u – f. La probabilità delle vento è, pertanto: c.v.d.
PROBABILITA’ Esempio Nel lancio di un dado, consideriamo l’evento: E = “esce un numero pari”, con L’evento contrario è: = “esce un numero dispari”, con E’ vero che: Esempio Consideriamo l’evento E = “esce il numero 1”. L’evento contrario è: “uscirà il numero 2, oppure il 3, oppure il 4, oppure il 5, oppure il 6”. a questo risultato si può anche pervenire con :
PROBABILITA’ - probabilità totale Se un evento può verificarsi in più modi differenti, ma tali che ciascuno di essi escluda gli altri, la sua probabilità si dice probabilità totale. Si può dimostrare che: la probabilità totale di un evento è uguale alla somma delle probabilità che esso si verifichi in ciascuno dei diversi modi secondo cui esso si può presentare. Se dunque E 1, E 2, sono i singoli eventi semplici (tali che E 1 escluda E 2 ) e p 1, p 2 le rispettive probabilità, la probabilità dell’evento totale è: p = p 1 + p 2 Esempio In un’urna vi sono 40 palline di cui 6 bianche, 8 rosse, 2 verdi e le rimanenti di altro colore; qual è la probabilità che estraendo una pallina questa sia o bianca o rossa o verde ? Le palline sono in tutto 40, pertanto 40 sono i casi possibili dell’estrazione di una sola pallina, perciò: La probabilità che essa sia bianca p 1 = la probabilità che essa sia rossa p 2 = la probabilità che essa sia verde p 3 =
PROBABILITA’ Siccome gli eventi parziali si escludono a vicenda, la probabilità che estraendo una pallina essa sia o bianca, o rossa o verde è: p = p 1 + p 2 + p 3 = La giustezza del risultato è resa evidente dalla seguente considerazione: in sostanza si suppone che l’urna contenga = 16 palline di colore favorevoli e 24 di colore contrario, perciò la probabilità che nell’estrazione esca una pallina di colore favorevole (bianca rossa o verde) è: come già trovato.
PROBABILITA’ - Probabilità composta Quando un evento consiste nel verificarsi simultaneo o successivo di più eventi, esso si dice composto e la sua probabilità si dice pure composta. Si può dimostrare che: la probabilità di un evento composto è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi componenti. Se dunque E 1, E 2, E 3 sono i singoli eventi semplici e p 1, p 2, p 3 le rispettive probabilità, la probabilità dell’evento composto è: p = p 1 ∙ p 2 · p 3 Esempi - Due urne contengono: l’una 10 palline di cui 7 bianche; l’altra 15 palline di cui 4 bianche. Quale è la probabilità di estrarre simultaneamente una pallina bianca da entrambe le urne? La probabilità di estrarre una pallina bianca dalla 1 a urna è p 1 = 7/10 e dalla 2 a urna è p 2 = 4/15 ; pertanto la probabilità di estrarre simultaneamente una pallina bianca dall’una e dall’altra urna è: p = p 1 ∙ p 2 =
PROBABILITA’ - In un’urna vi sono 20 palline colorate di cui 5 bianche, 7 rosse e 8 verdi. Estraendo successivamente tre palline, qual è la probabilità perché escano, nell’ordine, una pallina bianca, una rossa ed una verde? Qui bisogna distinguere due casi. Se dopo ogni estrazione la pallina estratta viene rimessa nell’urna, i tre eventi sono indipendenti fra loro e le loro rispettive probabilità sono: ; ; perciò la probabilità dell’evento composto è : Se, invece,le palline estratte non vengono riposte nell’urna, si deve ragionare così: ; ; perciò la probabilità dell’evento composto è :
PROBABILITA’ - Probabilità a) 1- In un’urna vi sono 15 palline delle quali 8 bianche e 7 nere. Qual è la probabilità che, estraendone una, essa sia bianca? 2- Si estraggano da un mazzo di 40 carte le 10 carte di cuori, le si mescolino e quindi si scoprano una alla volta. Qual è la probabilità che escano asso, 2, 3, 4, 5, 6, 7, fante, donna, re ? Qual è la probabilità, invece, che le carte scoperte si presentino proprio nello stesso ordine sopra indicato? 3- Calcolare la probabilità di vincere un terno al lotto b) 1- In un’urna vi sono 50 palline di cui 5 bianche, 10 rosse, 15 verdi e le rimanenti di altro colore. Qual è la probabilità che estraendo una pallina questa sia bianca, o verde o rossa? 2- Un’urna contiene 3 palline bianche, 7 rosse, 6 verdi e 2 di altri colori; quindi 18 in tutto; estraendone 2 contemporaneamente, qual è la probabilità che esse siano di eguale colore? c) 1- Due urne contengono l’una 20 palline di cui 10 bianche, l’altra 15 palline di cui 5 bianche. Qual è la probabilità di estrarre simultaneamente una pallina bianca da entrambe le urne? 2- In un’urna vi sono 20 palline colorate, di cui 5 bianche, 4 rosse, 2 verdi. Estraendo successivamente tre palline, qual è la probabilità perché escano nell’ordine una pallina bianca, una rossa ed una verde? 3- In un’urna vi sono 10 palline bianche e 15 nere; qual è la probabilità di estrarre in tre successive prove tre palline bianche, supponendo di non rimettere le palline estratte nell’urna? 4- Da un mazzo di carte siciliane (40 carte) se ne estraggono tre; qual è la probabilità che si presentino 3 figure?
PROBABILITA’ (sperimentale) La probabilità classica fornisce una probabilità a priori, cioè una probabilità teorica che si determina prima che l’evento si verifichi. La probabilità sperimentale, invece, fornisce una probabilità a posteriori, cioè dopo aver effettuato un numero elevato di prove dell’avvenimento casuale al quale l’evento si riferisce. Consideriamo il lancio di un dado e l’evento E = esce il numero 5. Supponiamo di lanciare realmente il dado 100 volte e che l’evento E si verifichi 17 volte. Il rapporto tra 17 e 100, si dice frequenza dell’evento E relativa a 100 prove e si indica con f(E). In un avvenimento casuale, si dice frequenza relativa di un evento il rapporto tra il numero di prove in cui l’evento si è verificato ed il numero complessivo delle prove effettuate. Supponiamo adesso di ripetere l’esperimento, lanciando il dado 150 volte e che l’evento E si sia verificato 24 volte; la frequenza relativa è perciò: Tale valore trovato è diverso dal precedente. Si può verificare sperimentalmente che se il numero delle prove aumenta, la frequenza relativa dell’evento E tende progressivamente a stabilizzarsi sul valore 0,16, che è lo stesso valore che troveremmo se considerassimo la probabilità classica. (Legge dei grandi numeri) Si chiama probabilità sperimentale (o statistica) di un avvenimento casuale la frequenza relativa allo evento calcolata in un numero sufficientemente elevato di prove. La probabilità sperimentale si può calcolare ogni volta che si possono effettuare le prove reali dello avvenimento ed è utile quando non si può applicare la definizione di probabilità teorica, perche ad esempio non si può determinare il numero dei casi possibili.