Equazione di Schrödinger Ψ (x,t)+V(x) Ψ (x,t)=i Ψ (x,t) t Ĥ Ψ =i Ψ Ĥ=Ĥ= +V t Qui x può indicare coordinate spaziali in 1,2 o 3 dimensioni

Ψ (x,t)+V(x) Ψ (x,t)=i Ψ (x,t) t Ψ (x,t)≡ Φ (x)f(t) ⇒ f(t) Φ (x)+V(x)f(t) Φ (x) =i Φ (x) f(t). mi limito a studiare le soluzioni separabili, i.e. stazionarie

f(t) Φ (x)+V(x)f(t) Φ (x) =i Φ (x) f(t). Φ (x) =i f(t). 1 Φ (x) +V(x) f(t) Funzione solo di x: a(x) Funzione solo di t: b(t) Deve valere a(x)=b(t)=const≡E (derivare x credere)

f(t) = E f(t). -i df(t’) f(t’) = Edt’ -i df(t’) f(t’) Edt’ -i 0 t = 0 t → f(t)=e Et -i (Ci sarebbe una costante, ma la “assorbiamo” nella Φ, tanto ci interessa il prodotto Φf). Già, ma E come lo calcolo?

Φ (x) 1 Φ + V(x)=E ⇒ Φ (x)+V(x) =E Φ (x) Φ Ĥ Φ (x)=E Φ (x) Trovo E risolvendo il problema agli autovalori per Ĥ, o “risolvendo l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo”

Ĥ Φ (x); Indicizzo con n le possibili autofunzioni: n n Φ (x) n =E Ψ (x,t)= n Φ (x) n e EntEnt -i L’equazione di Schrödinger è lineare, per cui anche la seguente combinazione lineare è soluzione dell’equazione: Ψ (x,t)= ∑ n c n (x) n e EntEnt -i Φ Si dimostra che questa è proprio la soluzione più generale

i Ψ t Ψ (x,t)= ∑ n c n (x) n e EntEnt -i Φ =∑n=∑n cncn (x) n Φ EnEn -i i e EntEnt =∑n=∑n cncn EnEn (x) n Φ e EntEnt -i =

i Ψ t Ψ (x,t)= ∑ n c n (x) n e EntEnt -i Φ = ∑n ∑n cncn EnEn (x) n Φ e EntEnt -i =Ĥ=Ĥ Ψ (x,t) Osservazione: Ψ (x,0)= ∑ n c n (x) n Φ

Ψ (x,t)= ∑ n c n (x) n e EntEnt -i Φ Ψ (x,0)= ∑ n c n (x) n Φ Schema risolutivo tipico: a. Risolvo l’equazione agli autovalori (CHIAVE) b. Costruisco la soluzione generale dipendente dal tempo c. Assegnata la soluzione a t=0 trovo i c n (vedremo meglio come)

Proprietà delle soluzioni stazionarie Ψ (x,t)= n Φ (x) n e EntEnt -i Ψ (x,t)| 2 = n | Ψ (x,t) n Ψ n * = | Φ (x)| 2 La densità di probabilità di trovare la particella attorno a x è indipendente dal tempo. Ne consegue che Ψ (x,t)| 2 dx= n | (x)| 2 dx=1 n | Φ n (Oss. Notare che anche la è autofunzione di Ĥ) Ψ (x,t) n

Ψ (x,t)= n Φ (x) n e EntEnt -i Meccanica classica: le osservabili fisiche del sistema sono funzione della coppia (x,p) nello spazio delle fasi, che specifica lo stato del sistema. (Tipicamente, en. potenziale dipendente da x, energia cinetica dipendente da p) Proprietà delle soluzioni stazionarie

Ψ (x,t)= n Φ (x) n e EntEnt -i Proprietà delle soluzioni stazionarie Meccanica quantistica: le osservabili fisiche sono rappresentate dai valori di aspettazione di opportuni operatori, funzioni di (x,p). Es: hamiltoniana. Ora, qualunque forma abbiano tali operatori Â(x,p), essi non dipendono dal tempo (parliamo di sistemi isolati, hamiltoniane indipendenti dal tempo) ^ ^ ^^

Φ (x) n e EntEnt -i Proprietà delle soluzioni stazionarie Ne consegue che il valore di aspettazione di un qualunque operatore rappresentativo di un’osservabile fisica è indipendente dal tempo, se calcolato su uno stato stazionario. Infatti: Â(x,p)= Â(x,p) e EntEnt -i Φ (x) n ^ ^^^ Â(x,p) ^ ^ < >≡>≡ Φ (x) n e EntEnt i * Â(x,p) ^ ^ Φ (x) n e EntEnt -i dx

Proprietà delle soluzioni stazionarie Â(x,p) ^ ^ < >≡>≡ Φ (x) n e EntEnt i * Â(x,p) ^ ^ Φ (x) n e EntEnt -i dx Â(x,p) ^ ^ <>= Φ (x) n * Â(x,p) Φ (x) n dx indipendente dal tempo

Proprietà delle soluzioni stazionarie: Â=Ĥ <Ĥ<Ĥ >= Φ (x)Ĥ n * Φ (x) n dx =E n Φ (x) n * Φ n <Ĥ<Ĥ > =E n <Ĥ<Ĥ >)>= Ĥ-<( 2 Φ (x) n * Ĥ-( E n ) 2 Φ (x) n dx

Φ (x) n * Ĥ-( E n ) 2 Φ (x) n dx Ĥ 2 -2ĤE n +E n 2 (I) (II) (III) (I)= Φ (x)Ĥ n * Φ (x) n dx Ĥ = E n 2 (II)= -2E Φ (x)Ĥ n * Φ (x) n dx =-2E n 2 n =III σ2H=σ2H= <Ĥ<Ĥ >)>= Ĥ-<( 2 <Ĥ<Ĥ >)>=0 Ĥ- <( 2

σ2H=σ2H= <Ĥ<Ĥ >)>=0 Ĥ- <( 2 Ogni misura di energia in uno stato stazionario dà con certezza il valore corrispondente al valore medio. Se ripeto tante volte la stessa misura devo ottenere (salvo errori sperimentali) sempre lo stesso risultato.

Abbiamo visto che per una soluzione stazionaria Ψ (x,t)= 1 Φ (x) 1 e E1tE1t -i la densità di probabilità è indipendente dal tempo. ATTENZIONE: Questo non è vero per una soluzione QUALUNQUE dell’equazione di Schrödinger!

Esercizio: Si calcoli la densità di probabilità per la funzione d’onda Ψ (x,t) data dalla combinazione lineare degli stati stazionari Ψ (x,t) Ψ (x,t). Si considero tutte e tre le funzioni d’onda rea li e 1 2 Ψ(x,t)=c 1 Ψ (x,t)+ 1 c2c2 Ψ (x,t) 2 ed è soluzione dell’equazione di Schrödinger Ψ (x,t)= Φ (x) i e EitEit-i i i=1,2 Ψ(x,t)| 2 = | Ψ(x,t) Ψ * =(c 1 Ψ 1 +c 2 Ψ 2 )x(c 1 Ψ 1 +c 2 Ψ 2 ) * * * * Si considero tutte e tre le funzioni d’onda rea li (ok, ma solo alla fine)

Ψ (x,t)= Φ (x) i e EitEit-i i i=1,2 Ψ(x,t)| 2 = | Ψ(x,t) Ψ * =(c 1 Ψ 1 +c 2 Ψ 2 )x(c 1 Ψ 1 +c 2 Ψ 2 ) * * * * Ψ(x,t)| 2 =|c1|2c1|2 | 1|21|2 |Ψc2|2c2|2 +| 2|22|2 |Ψ +c 1 c 2 * Ψ * Ψ 1 2 * Ψ * Ψ 12 Ψ(x,t)| 2 =| c1|2c1|2 | 1|21|2 |Φc2|2c2|2 +| 2|22|2 |Φ +c 1 c 2 * Φ * Φ 12 indipendente da t e (E 1 -E 2 )ti +c 1 c 2 Φ * Φ 12 e (E 2 -E i )ti *

Ψ(x,t)| 2 = | c12c Φ c22c Φ+c 1 c 2 ΦΦ 1 2 indipendente da t e (E 1 -E 2 )ti +c 1 c 2 ΦΦ 12 e (E 2 -E i )ti Si considero tutte e tre le funzioni d’onda rea li... Ψ(x,t)| 2 = | c12c Φ c22c Φ +c 1 c 2 ΦΦ 1 ( e i ϑ +e -i ϑ ); ϑ = (E 1 -E 2 )t/ Ψ(x,t)| 2 = | c12c Φ c22c Φ +2c 1 c 2 ΦΦ 1 Probabilità oscillante 2 2 cos[(E 1 -E 2 )t/ ]

In generale sarà dipendente dal tempo se la Ψ(x,t)| 2 = | c12c Φ c22c Φ +2c 1 c 2 ΦΦ 1 2 cos[(E 1 -E 2 )t/ ] Â(x,p) > <Ψ| Ψ Ψ NON è stazionaria. Se invece è indipendente dal tempo, allora l’operatore  è associato a una COSTANTE DEL MOTO (lo faremo)

Ψ(x,t)| 2 dx = 1 | Data una soluzione dell’equazione di Schrödinger, l’interpretazione probabilistica mi dice che: Se considero una soluzione stazionaria Ψ (x,t)= Φ (x) e Et -i Φ (x)| 2 dx = 1 | Dimentichiamoci pure della dipendenza dal tempo

Φ (x)| 2 dx = 1 | Obiettivo: ambientare le all’interno di un’opportuna struttura algebrica. Sicuramente deve avere senso effettuare combinazioni lineari delle funzioni d’onda, così come calcolare il loro prodotto interno (e, di conseguenza, la loro norma). E’ chiaro che l’ambiente giusto per effettuare tali operazioni è uno spazio di Hilbert. Per costruirlo mi serve uno spazio vettoriale, e una buona definizione di prodotto interno. Φ

Φ (x)| dx = 1 | Considero l’insieme delle funzioni a quadrato integrabile sul dominio necessario. Solitamente tutto R i, ma potrebbe essere anche un intervallo. Φ (x) dx < ∞ | Φ (x) tali che | 2 2 (In 3D dx=dxdydz; x=(x,y,z)) Oss: non chiedo che l’integrale del modulo quadro della funzione sia = 1. Non avrei uno spazio vettoriale.

Φ (x) dx < ∞ | Φ (x) tali che | 2 L 2 (R)={ } L 2 (a,b)={ } Φ (x) dx < ∞ | Φ (x) tali che | 2 a b Φ (x,y,z) dxdydz < ∞ | Φ (x,y,z) tali che | 2 L 2 (R 3 )={ } -∞ +∞ -∞ ∞ ∞ ∞

Per le dimostrazioni ci accontentiamo di lavorare in 1D, è tutto valido in generale. E’ vero che l’insieme delle funzioni a quadrato integrabile costituisce uno spazio vettoriale? Beh, se f è a quadrato integrabile, è ovvio che lo sia anche cf. Vediamo la somma di due funzioni f e g a quadrato integrabili.

Disuguaglianza di Schwarz in forma integrale a b f(x)g(x)dx * ≤ a b f(x) 2 dx a b g(x) 2 dx Oss: Evidentemente l’integrale dentro il modulo a sinistra converge. Ricordiamocelo quando parliamo di prodotto interno...

[f(x)+g(x)] dx= * 2 Torniamo alla somma di due funzioni. L’integrale del modulo quadro della somma converge? [f(x)+g(x)] * dx= = f(x) 2 dx+ g(x) 2 dx+ f(x)g(x) dx+ * g(x)f(x) dx * Convergono per ipotesi Convergono perchè il modulo dell’integrale è ≤∞ (Schwarz)

Ok, ora che so che le funzioni a quadrato integrabile formano uno spazio vettoriale posso definirci sopra un prodotto interno e creare uno spazio di Hilbert f(x)g(x) dx * Oss. La disuguaglianza di Schwarz mi dice subito che l’integrale converge. Oss. 2 Le proprietà di linearità richieste a un prodotto interno sono garantite dalla linearità dell’operazione di integrazione. Oss. 3 E’ anche chiaro che ≡ f(x)g(x) ( ) * f(x)g(x) dx * ≡ dx= * = *

f(x)g(x) dx ≡ * dx ≡ f(x) 2 ||f|| Reale, >0, =0 ↔ f=0 Ok, abbiamo costruito uno spazio di Hilbert. La norma di un elemento dello spazio è data da =1= ≡ La condizione di normalizzazione è espressa da: ||f||

Ok, abbiamo costruito uno spazio di Hilbert. Nota: la dimensione è infinita! Se scegliamo una base ortonormale del tipo: {f n }: =δ m,n f(x)=∑ n cn f n (x)→ =∑ n cn =∑ n c n δ m,n =c m

Valori di aspettazione (in un certo stato) di operatori associati ad osservabili fisiche. ≡ Φ (x)Â * Φ (x) dx = Ma tale valore di aspettazione deve corrispondere al risultato di una misura compiuta sul sistema, e deve pertanto essere reale. = = * ≡ da cui Â=Â † Possiamo pertanto enunciare due postulati della Meccanica Quantistica.

Postulati della Meccanica Quantistica. (i) Ad ogni sistema fisico C è associabile un opportuno spazio di Hilbert. Ogni stato del sistema fisico può essere rappresentato mediante un opportuno elemento dello spazio di Hilbert, con norma unitaria. L’evoluzione temporale di tale stato è determinata dall’Equazione di Schrödinger. (ii)a Ad ogni osservabile A corrisponde un operatore autoaggiunto  (o hermitiano) che opera nello spazio di Hilbert associato al sistema.

Esercizio: Mostrare che se = per ogni elemento h dello spazio di Hilbert, allora è anche vero che per ogni coppia f e g di elementi dello spazio di Hilbert vale = (molti libri danno questa come definizione di operatore hermitiano, ma è del tutto equivalente)

Dim Considero due elementi f,g qualunque dello spazio di Hilbert e considerare h=f+g. Dovrà valere: = (i) Se invece h=f+ig, allora = (ii) Dalla (i) = → + = + (iii) (ii, membro a sx) = = +i -i + (ii, membro a dx) = +i -i +

(ii sx = ii dx) +i -i + = +i -i + → + = + (iii) - = - (iv) (iii)+(iv) =2

Esercizio: Dimostrare che l’operatore momento in 1D: p=-i ℏ x ^ è autoaggiunto in L 2 (R), mostrando esplicitamente che = ^^

^ f (x) * g dx -i ℏ x ∞ -∞ = ^ f (x) * g -i ℏ pp [ ] -∞ ∞ +i ℏ ∞ -∞ g (x) f x dx *

= ^ +i ℏ ∞ -∞ g (x) f x dx f(x) * g (x) [ ] -∞ ∞ =0 Siamo in L 2 (R)! * = ^ Notare l’importanza

Esercizio: Dimostrare che l’operatore di posizione in 1D: xf(x)=xf(x)^ è autoaggiunto in L 2 (R)

Esercizio: Dimostrare che l’operatore di posizione in 1D: xf(x)=xf(x) ^ = è autoaggiunto in L 2 (R). Dato che x è reale... ^ f (x) * xg (x)dx ∞ -∞ = ^ f (x) * g dx ∞ -∞ x Ok, è ovvio, come è ovvio per un qualunque operatore che moltiplica per una funzione (a valori reali) V(x).

Esercizio: Dimostrare che l’operatore energia cinetica in 1D: è autoaggiunto in L 2 (R). (La costante è reale, trascuriamola)

Esercizio: Dimostrare che l’operatore energia cinetica in 1D: = è autoaggiunto in L 2 (R). (La costante è reale, trascuriamola) f (x) * g’’ (x)dx ∞ -∞ 2 x 2 = g’(x)f * (x) -∞ ∞ - g’(x)f’ * (x)dx 0 -∞ ∞

Esercizio: Dimostrare che l’operatore energia cinetica in 1D: = è autoaggiunto in L 2 (R). (La costante è reale, trascuriamola) 2 x 2 - g’(x)f’ * (x)dx -∞ ∞ = -g(x)f’ * (x) -∞ ∞ +g(x)f’’ * (x)dx ∞ -∞

Esercizio: Dimostrare che l’operatore energia cinetica in 1D: = è autoaggiunto in L 2 (R). (La costante è reale, trascuriamola) 2 x 2 g(x)f’’ * (x)dx ∞ -∞ = x 2

Esercizio: E in 3D? Energia potenziale (è reale...) = f * (x,y,z)V(x,y,z)g(x,y,z)dxdydz ∞ -∞ ∞ ∞ = V(x,y,z) f * (x,y,z)g(x,y,z)dxdydz ∞ -∞ ∞ ∞

Esercizio: E in 3D? Energia cinetica? = f * (x,y,z) g(x,y,z)dxdydz ∞ -∞ ∞ ∞

Esercizio: E in 3D? Energia cinetica? = f * (x,y,z) g(x,y,z)dxdydz ∞ -∞ ∞ ∞ g(x,y,z)= g 2 x 2 g 2 y 2 g 2 z 2 + +

Esercizio: Risposta: sì, è autoaggiunto, per cui anche l’operatore Ĥ (en. potenziale + cinetica) è autoaggiunto. Per fortuna! = f * (x,y,z) g(x,y,z)dxdydz ∞ -∞ ∞ ∞ = In 3D la dimostrazione non è una diretta esternsione di quella in 1D, ci vuole il teorema della divergenza. Daremo il risultato per buono.

Abbiamo visto che un autostato dell’hamiltoniana è caratterizzato da un valore certo dell’energia: ĤΦ(x)=EΦ(x) ⇒ = Φ (x)Ĥ * Φ (x) dx =E ) 2 Φ(x)>≡σ 2 (Ĥ)=0

Vediamo a che condizione porta l’imporre che il valore di aspettazione di un qualunque operatore  associato a una osservabile fisica (e, quindi, hermitiano) sia associato a deviazione standard nulla. = Φ (x) * Φ (x) dx ≡a σ 2 (Â)=

σ 2 (Â)= = (se A è hermitiano, allora anche A-un numero lo è)

Ora impongo =0 da cui (Â-a)Φ(x)=0 ⇒ ÂΦ(x)=aΦ(x) Gli stati in cui una misura di un’osservabile dà sempre lo stesso risultato sono autofunzioni dell’operatore associato all’osservabile stessa. Il risultato della misura è l’autovalore.

Estensione di risultati già visti al caso infinito dimensionale. (Espliciteremo la differenza chiamando gli autovettori “autofunzioni”.) Teorema 1: Gli autovalori di ogni operatore hermitiano sono reali Teorema 2: Dato un operatore hermitiano, le autofunzioni corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali. Le dimostrazioni discusse per il caso finito dimensionale sono direttamente estendibili.

Teorema 2: Dato un operatore hermitiano, le autofunzioni corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali. In presenza di un autovalore degenere si avranno due o più autofunzioni (linearmente indipendenti) corrispondenti allo stesso autovalore. Limitamoci a considerare il caso semplice. Âf=λf; Âg=λg; Lo spazio generato da f e g mediante loro combinazioni lineari è un sottospazio dello spazio di Hilbert totale. Potrò allora sempre trovare due combinazioni lineari di f e g; h(x)=af(x)+bg(x); w(x)=cf(x)+df(x) tali per cui =0, ovvero (ad esempio con la procedura di Gran-Schmidt) ortogonali tra loro. Sottointendendo di effettuare questa procedura per ogni autovalore, il Teorema qui sopra riportato può essere inteso come valido senza specificare “corrispondenti ad autovalori distinti”.

Âf(x)=λf(x); Âg(x)=λg(x); h(x)=αf(x)+βg(x) Âh(x)=Â(αf(x)+βg(x))=λαf(x)+λβg(x)=λ[αf(x)+βg(x)]. Ogni combinazione lineare di autofunzioni relative allo stesso autovalore è ancora una autofunzione relativa allo stesso autovalore. P.S. E’ chiaro che interessano solo autofunzioni linearmente dipendenti relative allo stesso autovalore. Di linearmente dipendenti ne ho quante ne voglio...

Il principio di indeterminazione generalizzato. Dati due operatori  e Ĉ associati a due osservabili (e quindi hermitiani): σ 2 (Â) = )Φ|(Â- )Φ> σ 2 (Ĉ)= )Φ|(Ĉ- )Φ> Semplifico la notazione introducendo f= (Â- )Φ; g= (Ĉ- )Φ per cui σ 2 (Â)= ; σ 2 (Ĉ)=

Parte 1: dimostriamo che σ 2 (Â)σ 2 (Ĉ) ≥ | | 2 ≥[(1/2i)( - )] 2

La diseguaglianza di Schwarz assicura che: σ 2 (Â)σ 2 (Ĉ)= ≥ | | 2 Osservazione (ovvia ma utile). Dato z ∈ C, |z| 2 =[Re z] 2 +[Im z] 2 ≥[Im z] 2 =[(1/2i)(z-z * )] 2 ➞ σ 2 (Â)σ 2 (Ĉ) ≥ | | 2 ≥ [(1/2i)( - )] 2

Parte 2: dimostriamo che = -

Parte 2: dimostriamo che = )Φ)|(Ĉ- )Φ>= = )(Ĉ- )Φ> = cvd (occhio al formalismo, ≡ ; si gioca sulla doppia accezione “valore medio” e “prodotto interno”, che hanno la stessa simbologia. In questo contesto è giustificato. Se non devo fare conti “strani”, mi “dimentico” di esplicitare la Φ.

= - ; * = = - ; i valori si aspettazione sono reali - = - = ≡ e mettendo tutto insieme....

Principio di indeterminazione generalizzato σ 2 (Â)σ 2 (Ĉ) ≥ Presa una coppia qualunque di osservabili A e C di un sistema, e considerati gli operatori ad esse associati: [(1/2i) ] 2

σ 2 (Â)σ 2 (Ĉ) ≥ Oss. (la verificheremo con esempi pratici): il commutatore è tipicamente un numero immaginario (al limite 0), per cui la i si cancella. [(1/2i) ] 2

σ 2 (Â)σ 2 (Ĉ) ≥ Esercizio: esplicitare il principio di indeterminazione per la coppia di operatori posizione-momento in 1D. [(1/2i) ] 2 Â=x; Ĉ=-i ℏ x ^

σ 2 (Â)σ 2 (Ĉ) ≥ Esercizio: esplicitare il principio di indeterminazione per la coppia di operatori posizione-momento in 1D. [(1/2i) ] 2 (ÂĈ)Φ(x)= -i ℏ xΦ’(x) (ĈÂ)Φ(x)=-i ℏ x xΦ(x)=-i ℏ Φ(x)-i ℏ xΦ’(x)

σ 2 (x)σ 2 (p) ≥ Esercizio: esplicitare il principio di indeterminazione per la coppia di operatori posizione-momento in 1D. [(1/2i ] 2 (xp-px)Φ(x)= i ℏ Φ(x); [x,p]=i ℏ ^^^^ ^^ Posizione e momento in 1D (o, in 3D purchè consideri uguali componenti) NON sono osservabili COMPATIBILI. Una delle conseguenze importanti è che NON posso avere uno stato determinanto in entrambe le osservabili, infatti: ^^ ^ ^

σ 2 (x)σ 2 (p) ≥ da cui: σ x σ p ≥ ℏ /2 [ ℏ /2] 2 ^^