1 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Analisi dimensionale delle equazioni di variazione L’analisi dimensionale consente: -L’introduzione di gruppi adimensionali che caratterizzano i problemi - La valutazione introduzione dei coefficienti di trasporto Per semplicità si fa riferimento a fluidi con cp,  e k costanti. Per la densità si fa riferimento alla approssimazione di Boussinesq nel termine  g nella eq. del moto in tutti gli altri casi

2 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Analisi dimensionale delle equazioni di variazione Introducendo l’approssimazione di Boussinesq Eq. di continuità Eq. del moto Eq. dell’energia G= generazione per unità di volume Eq. del moto

3 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Definizione delle grandezze caratteristiche Si introducono le grandezze caratteristiche l 0 = dimensione caratteristica della geometria del problema v 0 = velocità caratteristica t 0 = tempo caratteristico (in assenza l 0 /v 0 ) G 0 =valore caratteristico della generazione Salto termico massimo o complessivo (dato del problema condizioni al contorno) Pressione caratteristica

4 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Definizione delle variabili adimensionali Si definiscono quindi le grandezze adimensionali oppure (conv. naturale)

5 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Definizione delle variabili adimensionali Salto termico massimo o complessivo (dato del problema) Salto termico a x,y,z ad un certo istante t Si definisce Salto termico realizzato / salto termico complessivo Salto termico residuo / salto termico complessivo Temperatura adimensionale

6 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Definizione delle variabili adimensionali Se non è definito un  T caratteristico ma un flusso q e una temperatura T 0 (vedi esempio flusso in tubo riscaldato) Si può definire Temperatura adimensionale

7 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Definizione delle variabili adimensionali per adimensionalizzare il termine di dissipazione viscosa si tiene conto che è combinazione lineare di quadrati o prodotto di derivate spaziali delle componenti della velocità. Infatti in coordinate cartesiane è quindi

8 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Eq. del moto adimensionale convezione forzata Si inseriscono le grandezze adimensionali nella equazione del moto Convezione forzata Equazione del moto in forma adimensionale

9 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Eq. del moto adimensionale: convezione naturale Convezione naturale Equazione del moto in forma adimensionale

10 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Eq. energia termica adimensionale Inserendo quindi le grandezze adimensionali nella equazione dell’energia Equazione energia termica in forma adimensionale

11 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Equazioni di variazione adimensionali Eq. di continuità Eq. del moto conv. forzata Eq. dell’energia Eq. del moto conv. naturale

12 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Gruppi adimensionali nelle eq. di variazione Eq. del moto conv. forzata 1/Re forza di galleggiamento /forza d’inerzia

13 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Gruppi adimensionali nelle eq. di variazione forza di galleggiamento /forze viscose Eq. del moto conv. naturale Forza viscosa

14 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Gruppi adimensionali nelle eq. di variazione Eq. dell’energia calore generato per dissipazione viscosa / calore trasportato per convezione

15 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Equazioni di variazione gruppi adimensionali

16 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Equazioni di variazione gruppi adimensionali

17 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Equazioni di variazione adimensionali

18 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Introduzione numeri adimensionali in eq. variazione Introducendo i numeri adimensionali Eq. del moto Eq. energia Convezione forzata Il processo dipende da Re Pr Gr Br

19 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Introduzione numeri adimensionali in eq. variazione Introducendo i numeri adimensionali Convezione naturale Il processo dipende da Gr Pr Br

20 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Interpretazione fisica del numero di Brinkman L’ordine di grandezza del calore generato per dissipazione è : L’ordine di grandezza del calore netto trasmesso per conduzione è: Dividendo si ottiene Calore generato per dissipazione viscosa / calore netto trasmesso per conduzione In molti casi pratici è Br << 1 Acqua v = 1 m/s ΔT = 100 °C μ =10 -2 poise k= cal/s cm K

21 Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione eq. termica Dipendenza dai gruppi adimensionali Casi più comuni Convezione forzata Dissipazione trascurabile Generazione assente o trascurabile f (Re, Pr) Convezione naturale Dissipazione trascurabile Generazione assente o trascurabile f (Gr, Pr)