Funzioni reali di variabile reale

Definizione di funzione tra due insiemi Definizione: Dati due insiemi A e B si dice funzione (o anche applicazione) da A a B una legge che ad ogni elemento dell’ insieme A associa un elemento di B. In genere le funzioni si indicano con le lettere minuscole; per indicare che f è una funzione da A a B si scrive f: A → B

Definizione di funzione tra due insiemi

Funzioni suriettive, iniettive, biiettive In generale, l’insieme dei valori non deve necessariamente coincidere con tutto il codominio: Insieme dei valori

Funzioni suriettive, iniettive, biunivoche Definizione: Una funzione si dice suriettiva sse ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio: f è suriettiva sse per ogni y  C esiste x  D tale che f(x)=y Definizione: Una funzione si dice iniettiva sse a elementi distinti di D fa corrispondere elementi distinti di C: f è iniettiva sse per ogni x 1, x 2  D se x 1 ≠x 2, allora f(x 1 )≠f(x 2 ) Definizione: Una funzione iniettiva e suriettiva si dice biunivoca

Funzione inversa, funzione identità, funzione composta

Funzione composta Consideriamo le funzioni g : A -> B f : B -> C chiameremo funzione composta l'applicazione da A a C f o g : A -> C tale che f o g(x)= f(g(x))

Esempi di funzioni composte

Funzione inversa

Esiste sempre f -1 ?

è possibile definire l’inversa di una funzione soltanto se f è iniettiva

Esiste sempre f -1 ? Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali non lo sono……. Funzione lineare

Esiste sempre f -1 ? Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali non lo sono……. Funzione cubica

Esiste sempre f -1 ? Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali non lo sono……. Funzione quadratica

Esiste sempre f -1 ? Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali non lo sono……. Funzione della proporzionalità inversa

Esiste sempre f -1 ? Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali non lo sono…….

Esiste sempre f -1 ? Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali non lo sono…….

Grafico di una funzione e sua costruzione per punti

Funzioni reali di variabile reale

grafico di y=-f(x)

I grafici y=f(x) e y=-f(x) sono l’uno il simmetrico dell’altro rispetto all’asse delle ascisse

grafico di y=-f(x)

grafico di y = f(-x) Con considerazioni del tutto analoghe si può costruire il grafico della funzione y=f(-x). Infatti basta effettuare una simmetria di asse y=0, in modo tale da associare al punto P(x,y) il punto P’(-x,y), ossia il suo trasformato rispetto alla simmetria suddetta. Se per una funzione f(x)=f(-x) si dice che la funzione f è pari. Se per una funzione f(-x)=-f(x), vale a dire f(x)=-f(-x), si dice che la funzione è dispari. Quindi una trasformazione di simmetria rispetto all’asse delle ordinate lascia invariato il grafico, mentre per le dispari si troverà y=-f(x)

grafico di y = f(-x) I grafici y=f(x) e y=f(-x) sono l’uno il simmetrico dell’altro rispetto all’asse delle ordinate

grafico di y = f(-x)

Simmetrie rispetto agli assi grafichiamo y=-tan x a partire dal grafico noto di y=tanx

Simmetrie rispetto agli assi Tracciamo il grafico di y=sin(-x) applicando la simmetria rispetto all'asse delle ascisse al grafico (noto) di y=sinx

Simmetria centrale La simmetria centrale di centro O è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che O è il punto medio del segmento PP'. considerando la definizione delle coordinate del punto medio:

Simmetria rispetto all'origine y=-f(-x) Se il punto O coincide con l’origine degli ass cartesiani:

Simmetria rispetto all'origine Il grafico di una funzione simmetrica è simmetrico rispetto all'asse delle y: Il grafico di una funzione antisimmetrica è simmetrico rispetto all'origine:

NOTA Osserviamo che i grafici delle tre funzioni goniometriche sin, cos e tan hanno delle simmetrie interne che corrispondono a proprietà algebriche delle funzioni stesse: simmetrico rispetto all'origine simmetrico rispetto all'asse delle ordinate simmetrico rispetto all'origine

grafico di y=f(x+k) consideriamo un punto P(x,y) che soddisfa l’equazione y=f(x). Il suo trasformato in una traslazione è il punto P’(x’,y’) che ha coordinate: x’=x+a y’=y+b Per costruire il grafico di y=f(x+k) dobbiamo operare una traslazione lungo l’asse x sul grafico già noto della curva y=f(x)

grafico di y=f(x+k)

grafico di y =f(x)+k Per costruire il grafico di y=f(x)+k dobbiamo operare una traslazione di ampiezza k lungo l’asse y sul grafico già noto della curva y=f(x)

Traslazioni y=f(x+k) e y=f(x)+k sono traslazioni della funzione f(x) Ad esempio, possiamo tracciare il grafico di y=cos(x+  /2)-2 traslando il grafico noto di y=cosx

Traslazioni sin(x+  /2)=cosx → possiamo ottenere il grafico di cosx traslando il grafico di y=sinx

Traslazioni In particolare, poichè le funzioni goniometriche sono periodiche, il seno ed il coseno hanno periodo 2  e la tangente ha periodo  : sin(x + 2k  ) = sinx ; cos(x + 2k  ) = cosx; tan(x + k  ) = tanx  k  Z possiamo limitare lo studio ad un singolo periodo

grafico di y=|f(x)|

y=f( | x | ) Il grafico si ottiene quindi da quello di y=f(x) operando una simmetria rispetto all’asse delle ordinate della sola parte che appartiene al semipiano positivo delle ascisse

y=kf(x)

y =f(kx)

Dilatazione

Attenzione a non confondere le dilatazioni con degli «ingrandimenti» (anche solo lungo una direzione): la dimensione dell'immagine trasformata dipende dai fattori di trasformazione h (in orizzontale) e k (in verticale), che ingrandiscono se maggiori di 1, e riducono se minori di uno; sono indipendenti tra loro (per esempio, una dilatazione con fattori h > 1 e k < 1 «ingrandisce» in orizzontale e «riduce» in verticale).

Dilatazione Un caso particolare è dato dalle dilatazioni in cui i fattori coincidono. Si chiama omotetia una dilatazione i cui fattori coincidono, che ha quindi equazione se k > 1 l'omotetia si chiama ingrandimento; se k < 1 l'omotetia si chiama riduzione; se k = 1 l'omotetia si chiama identità.

Dilatazione Tracciamo il grafico di y = 3/2cos (x) (in grassetto) dilatando verticalmente il grafico (noto, tratteggiato) di y = cosx di un fattore 3/2 :

Dilatazione Tracciamo il grafico di y = cos(3/2 x) (in grassetto) dilatando orizzontalmente il grafico (noto, tratteggiato) di y = cosx di un fattore 2/3 :

Dilatazione Tracciamo il grafico di y = 3/2cos(3/2)x (in grassetto) dilatando il grafico (noto, tratteggiato) di y = cosx di fattori 3/2 e 2/3 :

Dilatazione Tracciamo il grafico di y = 2cos(1/2 x) (in grassetto) dilatando il grafico (noto, tratteggiato) di y = cosx attraverso una omotetia di fattore 2:

y = |f (|x|)|

Grafici di funzioni e trasformazioni nel piano Possiamo quindi trovare il grafico di una funzione che sia ottenuta da una funzione nota attraverso traslazioni, simmetrie rispetto agli assi e all'origine e dilatazioni…..

La retta

Nel piano cartesiano si ottiene il grafico di una retta ogni volta che si deve rappresentare/descrivere una generica relazione di proporzionalità diretta. L’equazione più generale di una retta nel piano cartesiano è data da: ax+by+c=0 Con a, b,c numeri appartenenti a R. Questa equazione si chiama equazione implicita della retta perché non viene esplicitata alcuna variabile rispetto all’altra

La retta

Il coefficiente m si chiama coefficiente angolare della retta e indica la pendenza della retta. q è l’intercetta e rappresenta il valore dell’ordinata in cui la retta taglia l’asse delle ordinate. Se m=0 la retta risulta parallela all’asse x e se q=0 si ottiene l’equazione cartesiana dell’asse delle x ovvero y=0.

grafico di y=-f(x)

grafico di y = f(-x)

grafico di y=f(x+k)

grafico di y =f(x)+k

grafico di y=|f(x)|

y=f( | x | )

y=kf(x)

y =f(kx)

y = |f (|x|)|