FUNZIONI ESPONENZIALI Esposizione sulle funzioni esponenziali di: ● Chan Yi ● Kajic Denijel ● Orizio Stefano

Potenze con esponente reale In questo capitolo hanno un ruolo fondamentale le potenze i cui esponenti sono numeri reali arbitrari. Vogliamo dunque innanzitutto discutere che cosa intendiamo quando parliamo di tali potenze. Una potenza è un'espressione di forma a x in cui a è detta base e x esponente. Usiamo il carattere x per indicare l' esponente, visto che in questo capitolo ci interessa studiare come una potenza dipende dal suo esponente. Abbiamo già visto come definire una potenza con base positiva (a > 0) e esponente razionale x, e ci ricordiamo la regola (identità) a x + y = a x a y, che vale per tutti i numeri razionali x, y. L'abbiamo già usata prima come guida preziosa e continuerà ad avere un ruolo fondamentale.

Vogliamo chiederci adesso se è possibile definire una potenza anche quando l'esponente è un numero reale arbitrario (quindi anche per esponenti irrazionali che non possono essere scritti come quoziente di due numeri interi).Ha un senso formare la potenza 2 p ? Vedremo tra breve che ciò è veramente possibile.

A tal fine adopereremo il fatto che ciascun numero irrazionale può essere approssimato da numeri razionali con precisione arbitrariamente grande. Se come esponente vogliamo scegliere ad esempio p, consideriamo la successione di numeri 3.14, 3.141, , , … e ad ogni passo successivo aggiungiamo la cifra successiva nella rappresentazione decimale di p. Questi numeri si avvicinano sempre più a p (più precisamente: si avvicinano a piacere a p), e sono tutti razionali (ad esempio 3.14 = 314/100 è quoziente di due numeri interi), quindi possono essere scelti come esponenti di una potenza. Consideriamo adesso le potenze che possiamo formare con questi numeri: a 3.14, a 3.141, a , a ,...

Per spiegare con un esempio che cosa avviene, poniamo a = 2 e guardiamo le rappresentazioni decimali delle prime sei potenze: Vediamo che i numeri nella colonna di destra variano sempre meno. Essi tendono a un certo numero reale, questo numero si indica con 2 p. La sua rappresentazione decimale inizia così e in linguaggio matematico si chiama "limite" della successione numerica riportata nella colonna di destra.

Lo stesso metodo può essere usato anche per altre basi (positive) a e per altri esponenti (irrazionali) x. Poiché la regola vale per gli esponenti razionali con i quali approssimiamo a piacere gli esponenti irrazionali, concludiamo che essa vale anche per questi ultimi. Lo scopo della nostra discussione era accertare (teoricamente) che il concetto di potenza con esponenti reali arbitrari ha un senso.

RIASSUMENDO: Se a > 0, la potenza a x può essere definita per esponenti reali arbitrari x. La regola è ancora valida: Adesso x e y sono numeri reali arbitrari.

Definizione di funzione esponenziale Fissato un numero reale a > 0 siamo in grado di associare ad un qualsiasi numero reale x, il numero reale positivo a x. In tal modo `e possibile considerare x come una variabile reale e definire una funzione f avente per dominio R tale che f : x → a x. Questa funzione verrà chiamata funzione esponenziale di base a e sarà indicata come Exp a : x → y = a x, mentre la y = a x sarà la sua equazione rappresentativa.

Grafici di Funzioni Esponenziali

Le funzioni esponenziali hanno un ruolo fondamentale in matematica e in molte applicazioni. Servono a comprendere i sistemi dinamici, siano essi di natura fisica, chimica, biologica o economica. Vedremo sotto come vengono impiegate per modellare processi di crescita o di decadimento. Ma le ritroviamo anche in molti altri contesti, a partire dalla teoria delle probabilità fino alla fisica quantistica. La teoria delle equazioni differenziali non sarebbe concepibile senza le funzioni esponenziali e la loro generalizzazione all'ambito dei numeri complessi mostra una relazione profonda con la trigonometria e i processi oscillatori, le cui applicazioni giungono fino alla tecnica delle correnti alternate.

Batteri e crescita esponenziale Illustreremo adesso il ruolo delle funzioni esponenziali nei modelli matematici che descrivono processi di crescita. Consideriamo una colonia di batteri. Assumiamo che la sua crescita (determinata da divisioni di cellule) sia caratterizzata dalle seguenti tre proprietà:

● In intervalli temporali di uguale lunghezza il numero di batteri aumenta di uguale fattore. ● All'inizio la colonia è composta da 1000 batteri. ● Dopo un'ora il numero di batteri è raddoppiato. Cominciamo con alcune osservazioni su queste proprietà:

● La prima proprietà è quella decisiva, poiché caratterizza la natura del processo: Si basa sull'ipotesi che ogni batterio si riproduca con fattore costante, indipendentemente dalla grandezza della colonia e dal tempo trascorso. La parola essenziale è "fattore": La colonia non aumenta di un numero fisso di batteri per unità di tempo, bensì di un numero che è proporzionale alla grandezza raggiunta dalla colonia. Più batteri abbiamo, più ne aggiungeremo, e questo si svolge in maniera continua. Un processo del genere si chiama - per motivi che comprenderemo subito - crescita esponenziale.

● Le proprietà 2 e 3 forniscono i dati quantitativi caratteristici del processo (il valore iniziale e il fattore di crescita). Ci servono per poter fare previsioni concrete (quantitative).

● Le tre ipotesi (in particolare la proprietà 1) forniscono naturalmente solo un modello: ● In realtà il numero di batteri è discreto, cioè non aumenta in maniera continua, bensì in maniera saltuaria, solo in determinati momenti: Dopo un secondo può non essere cambiato nulla, mentre nel secondo successivo può aggiungersi un nuovo batterio. Per una colonia grande però possiamo trascurare questi problemi e trattare sia il "numero di batteri" sia il tempo trascorso come grandezze continue descritte da numeri reali. ● Non vogliamo entrare nel merito su quanto la legge di crescita dei batteri si avvicini alla realtà. ● La crescita esponenziale non dura in eterno. Prima o poi si raggiungono limiti che rallentano il processo e che allo stesso tempo determinano i limiti del modello.

● Nonostante queste possibili obiezioni, è importante studiare un modello dal punto di vista matematico e individuare le previsioni che esso fornisce. I limiti del campo di validità del modello si scoprono spesso solo dopo una tale analisi. Non discuteremo dunque ulteriormente l'applicabilità del modello, ma metteremo il modello stesso al centro delle nostre considerazioni.

Iniziamo con l'analisi del modello definito dalle tre di prima. Il nostro scopo è prevedere la grandezza della colonia dopo un certo lasso di tempo t. Per la terza proprietà è facile calcolare il numero di batteri per ogni ora intera: Dopo 1 ora ci sono 2000 batteri, dopo 2 ore ci sono 4000 batteri, dopo 3 ore ci sono 8000 batteri, ecc. Soffermiamoci un momento e riflettiamo su come si ottengono questi numeri:

● All'inizio (ora 0) ci sono 1000 = 1000 × 2 0 batteri. ● Dopo 1 ora il numero di batteri è raddoppiato, quindi 1000 × 2 = 1000 × 2 1 batteri. ● Dopo 2 ore il loro numero è aumentato nuovamente di fattore 2, cioè ci sono 1000 × 2 × 2 = 1000 × 2 2 batteri. ● Dopo 3 ore ci sono 1000 × 22 × 2 = 1000 × 2 3 batteri. Continuiamo a piacere con questo ragionamento e vediamo che : Dopo t ore la colonia consiste di 1000 × 2 t batteri.

Questa è un formula estremamente comoda. Se vogliamo determinare la grandezza della colonia dopo 24 ore, invece di raddoppiare il numero per 24 volte, basterà calcolare il numero 1000 × 224. Otterremo , cioè (arrotondando) 16.8 miliardi di batteri, un numero enorme. Adesso capiamo anche la ragione per il nome "esponenziale": La variabile del tempo t (il numero di ore trascorse) compare come esponente nella formula precedente. Quando aumenta t il valore 2 t cresce esponenzialmente e raggiunge presto valori enormi. Vediamo qui il calcolo della crescita batterica Grafico della funzione esponenziale relativa alla crescita batterica

Altri processi di crescita esponenziale Ninfee in uno stagno: ● Caratterizzazione del processo : Le ninfee sulla superficie di uno stagno si riproducono esponenzialmente. All'inizio ce ne sono 17. Il loro numero raddoppia ogni 4 giorni. ● Individuazione della funzione esponenziale: Dopo x periodi di 4 giorni il loro numero è pari a 17 × 2 x. Poiché sono trascorsi in tutto t = 4 x giorni, il numero delle ninfee dopo t giorni è dato da 17 × 2 t/4 Un altro esempio della crescita esponenziale è dato dalla legge di Moore nell' informatica, la quale indica la crescita esponenziale delle capacità di memoria in un computer.

Non solo la crescita, anche la diminuzione di una grandezza può avvenire in maniera esponenziale. Pensiamo a una sostanza radioattiva, cioè una sostanza nella quale si trova un certo numero di nuclei atomici "disintegrabili". Prima o poi ognuno di questi nuclei si "disintegrerà", cioè libererà una particella elementare (emettendo radiazioni) e si trasformerà in un nucleo di tipo stabile. Più nuclei "disintegrabili" si trovano nella sostanza, più forte è la radiazione emessa. Poiché i nuclei "disintegrabili" vanno man mano esaurendosi, la radiazione emessa diminuirà con il passare del tempo. Decadimento esponenziale

Il calcolo del dimezzamento sarà simile a quello della crescita,l' unica differenza è che dopo un'ora la grandezza che ci interessa non vale 2 volte, bensì 1/2 volta, cioè 2 -1 volte il valore iniziale.

Proprietà delle funzioni esponenziali Come abbiamo visto nei due paragrafi precedenti attraverso diversi esempi, un processo esponenziale è dato da una funzione esponenziale, cioè una funzione del tipo f(x)=ca bx In tutti gli esempi considerati le funzioni di crescita o decadimento hanno questa forma. Differiscono soltanto nei valori diversi per le costanti a (> 0), b e c (anche dette parametri). In seguito discuteremo alcune proprietà essenziali di queste funzioni.

Perché le funzioni esponenziali sono adatte a descrivere processi esponenziali E' istruttivo soffermarsi un attimo su che cosa rende così speciali le funzioni di forma (f(x)=ca bx ). Abbiamo caratterizzato i processi di crescita e decadimento attraverso il fatto che la grandezza osservata "aumenta (oppure cala) di uguale fattore in intervalli di uguale lunghezza", anche se non si tratta sempre di processi temporali, ma soltanto del variare di una grandezza in dipendenza dall'altra (come ad esempio l'intensità di un raggio luminoso in funzione dello spessore della lastra di vetro attraverso cui passa). Questa proprietà decisiva si ritrova nelle funzioni esponenziali nella forma seguente:

in intervalli di uguale lunghezza il valore della funzione varia di uguale fattore. Più concretamente ciò significa: Se x aumenta di un certo valore s e diventa x + s, allora la variazione corrispondente nel valore della funzione (da f(x) a f(x + s)) è del tipo f(x + s)=fattore che dipende solo da s ×f(x)

Ciò si dimostra facilmente inserendo x + s a posto di x nella: f(x + s) = c a b(x + s) = c a bs a bx = a bs f(x). Vediamo dunque che l'identità è la ragione profonda del fatto che le funzioni esponenziali sono adatte a descrivere processi esponenziali.

Le funzioni esponenziali sono definite su tutti i numeri reali x, quindi il loro dominio è l'insieme R. Dominio

Iniettività Vogliamo chiudere questo paragrafo con alcune proprietà importanti della funzione esponenziale. Consideriamo funzioni del tipo f(x)=ca bx con c > 0. Esse sono tutte positive: f(x) > 0 per ogni x ∀ R. Con l'abbreviazione A = a b abbiamo :

● Se A > 1, allora f è una funzione crescente: ● x 1 < x 2 implica f(x 1 ) < f(x 2 ), ● quindi descrive un processo di crescita; ● Se A < 1, allora f è una funzione decrescente: ● x 1 f(x 2 ), ● quindi descrive un processo di decadimento; ● Nel caso limite A = 1, che si verifica solo quando a = 1 oppure b = 0, f è una funzione costante.