Teoria dei Sistemi di Trasporto Tematica 6.a: Utilizzo aggregato dei modelli di scelta discreta

Introduzione alla teoria delle scelte discrete Aggregazione delle scelte  La teoria delle scelte discrete è sviluppata con riferimento ad un generico decisore  La teoria delle scelte discrete si applica con riferimento alle scelte di un insieme di decisori (applicazione aggregata) che siano di fronte allo stesso insieme di scelta Ogni generico decisore dell’insieme di decisori ha un proprio vettore di attributi di scelta (medio) X Il vettore degli attributi di scelta è “disperso” tra i decisori  Il vettore degli attributi di scelta è una v.a. multidimensionale con una propria distribuzione di probabilità

Distribuzione del vettore degli attributi di scelta  Se vi fosse un solo attributo di scelta  In presenza di un vettore di attributi di scelta f X (x) = funzione di densità di probabilità congiunta del vettore degli attributi di scelta Introduzione alla teoria delle scelte discrete

Calcolo della probabilità aggregata di scelta  Metodo esatto P(j) = Probabilità aggregata di scelta della alternativa j p(j/X) = probabilità (disaggregata – del generico decisore) di scelta della alternativa j, dato il valore del vettore degli attributi di scelta  Per applicare il metodo esatto occorre conoscere la legge f X (x)  In mancanza di questo si può applicare il metodo detto del “utente medio” Introduzione alla teoria delle scelte discrete

Metodo dell’utente medio P(j) = p(j/  ) Dove  è il valore medio della distribuzione aleatoria di vettori di attributi di scelta tra l’insieme dei decisori (media della distribuzione f X (x)  Per applicare il metodo dell’utente medio è sufficiente conoscere il valore medio del vettore degli attributi e non tutta la sua distribuzione  La dispersione tra gli utenti che viene trascurata nel metodo dell’utente medio “finisce” nel  del modello di utilità È un altro buon motivo per preferire modelli di scelta probabilistici  Il metodo dell’utente medio è una buona approssimazione quanto più il vettore  è rappresentativo dell’intera distribuzione Cioè quanto meno i valori degli attributi di scelta degli utenti sono poco dispersi (Σ  →0)  Se l’insieme dei decisori cui si applica il metodo dell’utente medio è troppo disperso Occorre applicare il metodo a sottoinsiemi per i quali la dispersione degli attributi sia minore Introduzione alla teoria delle scelte discrete

Teoria dei Sistemi di Trasporto Tematica 6.b: Calibrazione dei modelli di scelta discreta

Calibrazione dei parametri dei modelli Ricordiamo che  Impossibile osservare le utilità percepite (nella “realtà” non esistono)  Se si potessero osservare le utilità (percepite): Si potrebbe stimare statisticamente il loro valore medio Si potrebbe stimare la loro funzione di dispersione con i relativi parametri  Nella realtà esistono (sono osservabili) i risultati delle scelte dei decisori La procedura ha successo se si riesce a costruire un modello (specificare) e a dare dei valori ai relativi parametri (calibrazione) in modo tale che, in funzione degli attributi delle alternative di scelta (noti) i risultati delle scelte osservate dei decisori siano riprodotti con buona approssimazione (validazione)

Calibrazione dei parametri dei modelli Prima cosa da fare (calibrazione disaggregata)  Procurarsi una osservazione del fenomeno reale rispetto a cui adattare il nostro modello  Due metodi alternativi di indagine (intervista utenti) Indagini RP (Revealed Preferences – Preferenze Rilevate) Indagini SP (Stated Preferences – Preferenze Dichiarate)  In ogni caso Intervista (i) Alternativa 1Alternativa 2jAlternativa n Preferenza j(i) Attributo 1Attributo 2…Attributo k1Attributo 1Attributo 2…Attributo k2…Attributo 1Attributo 2…Attributo kn 1X 1 1,1 X 1 1,2 …X 1 1,k1 X 1 2,1 X 1 2,2 …X 1 2,k2 …X 1 n,1 X 1 n,2 …X 1 n,kn j(1) 2X 2 1,1 X 2 1,2 …X 2 1,k1 X 2 2,1 X 2 2,2 …X 2 2,k2 …X 2 n,1 X 2 n,2 …X 2 n,kn j(2) 3X 3 1,1 X 3 1,2 …X 3 1,k1 X 3 2,1 X 3 2,2 …X 3 2,k2 …X 3 n,1 X 3 n,2 …X 3 n,kn j(3) ……………………………………… mX m 1,1 X m 1,2 …X m 1,k1 X m 2,1 X m 2,2 …X m 2,k2 …X m n,1 X m n,2 …X m n,kn j(m)

Calibrazione dei parametri dei modelli La calibrazione dei modelli di domanda si articola in tre fasi:  Specificazione del modello  Calibrazione vera e propria  Validazione La procedura complessiva è un processo di prova-ed-errore fino ad ottenere risultati soddisfacenti

Calibrazione dei parametri dei modelli Specificare il modello  Definire le scelte corrispondenti alla caratterizzazione con cui si desidera analizzare la mobilità  definire la forma funzionale del modello di scelta discreta da utilizzare (Logit, Nested-logit, Probit)  nel caso di una forma funzionale di tipo gerarchico (nested-logit), definire la gerarchia della successione di scelta  definire l'espressione dell'utilità sistematica attraverso l'individuazione degli attributi di scelta che s'intende utilizzare al fine di “spiegare” le utilità sistematiche

Calibrazione dei parametri dei modelli Calibrare il modello  Individuare il valore dei parametri del modello di scelta discreta coefficienti di reciproca sostituzione (  ) parametri della matrice di dispersione ( ) Validare il modello  verificare che il modello riproduca in maniera “accettabile” il fenomeno che s'intende simulare

Calibrazione dei parametri dei modelli Processo di prova-ed-errore

Calibrazione dei parametri dei modelli Si supponga di avere specificato un modello, ad esempio:  Si sono individuate le alternative di scelta  Si è deciso che il modello debba essere di tipo Logit Multinomiale  Si è deciso quali sono gli attributi di scelta da considerare Si supponga di avere osservato il risultato delle scelte di un certo numero di utenti Si può procedere alla fase di calibrazione  Si vedrà che il risultato della fase di calibrazione è univocamente determinato  Se la successiva validazione non è accettabile, vuole dire che si è sbagliata la specificazione

Calibrazione dei parametri dei modelli A specificazione effettuata Il vettore delle probabilità di scelta del modello  è definito a meno dei valori dei parametri e   Ad esempio, per modello Logit Multinomiale: Noti!!!!

Calibrazione dei parametri dei modelli Calibrazione disaggregata Intervista (i) Alternativa 1…Alternativa j…Alternativa n Preferenza Probabilità dell’alternativa preferita Attributi V i 1 (β, )p i 1 (β, ) …Attributi V i j (β, )p i j (β, ) …Attributi V i j (β, )p i j (β, ) 1 X 1 1,1 X 1 1,2 … X 1 1,k1 V 1 1 (β, )p 1 1 (β, ) … X 1 j,1 X 1 j,2 … X 1 j,kj V 1 j (β, )p 1 j (β, ) … X 1 n,1 X 1 n,2 … X 1 n,kn V 1 j (β, )p 1 j (β, ) j(1)p j(1) ( β, ) 2 X 2 1,1 X 2 1,2 … X 2 1,k1 V 2 1 (β, )p 2 1 (β, ) … X 2 j,1 X 2 j,2 … X 2 j,kj V 2 j (β, )p 2 j (β, ) … X 2 n,1 X 2 n,2 … X 2 n,kn V 2 j (β, )p 2 j (β, ) j(2)p j(2) ( β, ) …………………………………… m X m 1,1 X m 1,2 … X m 1,k1 V m 1 (β, )p m 1 (β, ) … X m j,1 X m j,2 … X m j,kj V m j (β, )p m j (β, ) … X m n,1 X m n,2 … X m n,kn V m j (β, )p m j (β, ) j(m) p j(m) ( β, ) L( β, ) = Π i p j(m) ( β, )

Calibrazione dei parametri dei modelli Metodo della massima verosimiglianza  i è il generico decisore per il quale sono note le scelte  j(i) è la scelta nota del generico decisore i  p j(i) (  ) è la probabilità consegnata dal modello (che in fase di calibrazione è funzione dei soli parametri incogniti) di riprodurre la scelta nota del generico decisore i  L(  )=  i p j(i) (  ) è la probabilità congiunta di riprodurre tutte le scelte osservate (Likelihood o Verosimiglianza)  ln(L(  )) è una funzione strettamente crescente di L(  ) e quindi il punto in cui attinge il massimo è lo stesso in cui lo attinge la L(  )

Calibrazione dei parametri dei modelli Per massimizzare la verosimiglianza si può utilizzare un qualunque algoritmo, ad esempio:  Algoritmo di gradiente Limiti della calibrazione  In un modello Logit-multinomiale si possono calibrare solo i rapporti β w /  In un modello Nested Logit si possono calibrare tutti i β w ed i rapporti k / 0

Calibrazione dei parametri dei modelli Validazione  Test qualitativi Segno algebrico dei parametri Rapporti reciproci tra parametri Valore non elevato delle CSA Corretta decrescenza dei nei modelli nested-logit  Test quantitativi Significatività dei parametri (t-student)  Verifica disaggregata dell’ipotesi di parametri non nulli Rapporto di verosimiglianza  Distanza della soluzione ottenuta da una soluzione banalmente nulla (e quindi da alternative equiprobabili) Goodness of fit  È compresa in [0,1], si vogliono valori elevati

Calibrazione dei parametri dei modelli Se la validazione non ha successo si è sbagliato qualcosa in fase di specificazione  Occorre ri-specificare, ri-calibrare e ri-validare Si noti che:  La specificazione è un “mestiere” molto più che una “tecnica” (forse è addirittura una “arte”)  Vi sono comunque degli errori che in specificazione non devono essere commessi:

Calibrazione dei parametri dei modelli Errori da non commettere in specificazione  è possibile introdurre costanti specifiche delle alternative (CSA) al più per tutte le alternative meno una  evitare la presenza di attributi costanti per tutte le alternative e per tutte le scelte osservate  evitare di introdurre nelle utilità attributi che possano essere linearmente dipendenti gli uni dagli altri