Logica Lezione 25, 20/4/15: ESAME INTERMEDIO IN CLASSE

Logica Lezioni 26-27, 22 Aprile 2015

Compito per casa 4 Lo trovate nel sito del corso di logica. Va consegnato lunedì prossimo

Variabili libere e vincolate Riguardiamo la regola di formazione (4) (p. 163). La variabile introdotta mediante questa regola si dice "vincolata" ("bound") dall'occorrenza del quantificatore introdotto insieme alla variabile. Per es. in " ∃ x ∃ y(Fx & Gay)" la "x" è vincolata dalla prima occorrenza di " ∃ " e la "y" dalla seconda occorrenza di " ∃ ". Una variabile non vincolata da alcun quantificatore si dice "libera" ("free") Nel nostro libro di testo non ci sono fbf con variabili libere, ma in molti altri testi sono permesse.

Raccomandazione Guardare attentamente le restrizioni nella regola  I e la spiegazione degli errori logici nei quali si incorrerebbe se son venissero osservate (pp ) Guardare attentamente le restrizioni nella regola  E e la spiegazione degli errori logici nei quali si incorrerebbe se son venissero osservate (pp )

Strategie dimostrative v. pp per dimostrare una conclusione quantificata esistenzialmente o universalmente, la strategia tipica consiste nel dimostrare una fbf dalla quale la conclusione possa ottenersi per ∀ I o per ∃ I Quindi, per dimostrare per es. ∀ xFx, provare a dimostrare Fa (laddove "a" è "arbitraria") e poi usare ∀ I Per dimostrare per es. ∃ xFx, provare a dimostrare Fa (per un qualche a) e poi usare ∃ I

strategie (cont.) Se abbiamo per es. ∃ xFx tra le premesse, provare a sfruttarlo ipotizzando Fa (laddove "a" è "arbitraria") per derivare da Fa la conclusione desiderata (usando poi ∃ E) Tipicamente, se abbiamo a disposizione una formula quantificata universalmente, dobbiamo sfruttarla istanziando a costanti già introdotte (per es. in un'ipotesi fatta per sfruttare ∃ E)

Esempio Svolgiamo ancora un esercizio in cui si usa l'eliminazione dell'esistenziale: es p. 205, ossia Dimostrare: ∃ x ∀ yRxy |– ∀ y ∃ xRxy Strategia: dal momento che abbiamo a disposizione come premessa ∃ x  yRxy proviamo a sfruttarla ipotizzando per un a arbitrario:  yRay. Siccome da tale ipotesi vogliamo ∀ y ∃ xRxy, cerchiamo di dimostrare, per un b arbitrario, ∃ xRxb Per ottenere ∃ xRxb, ci basta mostrare, per es.,Rab, che possiamo ottenere da  yRay.

Regole di equivalenza SQ Guardare tabella 7.2, p. 215 Daremo per scontate queste equivalenze (a meno che non sia richiesto esplicitamente di usare solo regole di base) Ci permettono di utilizzare le strategie appena viste. Per es. se abbiamo  ∃ xFx tra le premesse, grazie a SQ abbiamo ∀ x  Fx, cioè una fbf universale da sfruttare Oppure, se abbiamo tra le premesse  ∀ xFx, grazie a SQ abbiamo ∃ x  Fx da sfruttare Memorizzarle! E' complicato dimostrarle. Una è dimostrata a p. 210 Se c'è tempo, ci proveremo

Predicato di identità Utilizziamo la "infix notation" Nuove formule atomiche: a = b, c = d, ecc. Nuove fbf:  x x = s,  x(x = a v x = b) etc.

Regole per l'identità Regola di introduzione =I Regola di eliminazione IE, v. pp e tabella riassuntiva 7.1 p. 215 (oppure p. 222)

Esercizio risolto 7.29 Soluzione

Esercizio risolto 7.31 Soluzione

Formalizzare i seguenti enunciati italiani nella notazione della logica dei predicati con identità, usando l’interpretazione indicata. Simbolo Interpretazione c Samuel Clemens h Huckleberry Finn (il libro) t Mark Twain A è un autore americano M è migliore (come autore) di S ha scritto (a) Mark Twain non è Samuel Clemens. (b) Mark Twain esiste. (c) Se Mark Twain è Samuel Clemens, Samuel Clemens ha scritto Huckleberry Finn. (d ) Solo Mark Twain ha scritto Huckleberry Finn. (e) Nessun autore americano è migliore di Mark Twain.

(a) Mark Twain non è Samuel Clemens. (b) Mark Twain esiste.

(c) Se Mark Twain è Samuel Clemens, Samuel Clemens ha scritto Huckleberry Finn. (d ) Solo Mark Twain ha scritto Huckleberry Finn. (e) Nessun autore americano è migliore di Mark Twain.

(d ) Solo Mark Twain ha scritto Huckleberry Finn. traduzione alternativa: Sth &  x(Sxh  x = t) NB: il secondo congiunto da solo è compatibile con il fatto che nessuno ha scritto Huckleberry Finn (ci dice: SE qualcuno ha scritto Huckleberry Finn allora è MT (si potrebbe considerare u'interpretazione "debole" di (d) (v. Montague et al. p. 268)) Invece  x(Sxh ↔ x = t) richiede che qualcuno, MT, ha scritto Huckleberry Finn Infatti implica Sth ↔ t = t, che a sua volta implica Sth

Esiste almeno un cavallo Esistono almeno due cavalli Esistono almeno tre cavalli ecc.

Esiste almeno un cavallo  xCx Esistono almeno due cavalli  x  y((Cx & Cy) & x  y) Esistono almeno tre cavalli  x  y  z(((Cx & Cy) & Cz & x  y)) & (y  z) & (x  z) ) Possiamo INFORMALMENTE togliere qualche parentesi:  x  y  z(Cx & Cy & Cz & x  y & y  z & x  z)

C'è al massimo un cavallo Ci sono al massimo due cavalli Ci sono al massimo tre cavalli

C'è al massimo un cavallo (ma non è detto che ci sia!)  x  y((Cx & Cy) -> x = y) Ci sono al massimo due cavalli  x  y  z((Cx & Cy & Cz) -> (x = y v z = x v z =y)) Ci sono al massimo tre cavalli traduzione analoga al caso precedente NB: correggere il libro a p. 187, togliendo la negazione interna nelle due formule (h) e (i) in fondo alla pagina