Disequazioni in una variabile

LaRegola dei segni La disequazione A(x) · B(x) > 0 è soddisfatta dai valori di per i quali i due fattori A(x) e B(x) hanno segni concordi. Il primo passo della risoluzione consiste nello studiare il segno di A(x) e di B(x). A questo riguardo conviene risolvere separatamente le due disequazioni A(x) > 0 e B(x) > 0.

LaRegola dei segni Per trovare le soluzioni è utile ricorrere a una semplice rappresentazione grafica: determinare l'insieme dei valori di x per i quali il fattore A(x) è positivo A(x) > 0

LaRegola dei segni e di conseguenza l'insieme dei valori di x per i quali il fattore A(x) è negativo in modo analogo determinare gli insiemi nei quali il fattore B(x) è positivo e negativo

LaRegola dei segni il prodotto A(x) · B(x) è positivo negli intervalli nei quali i fattori sono entrambi positivi (+) · (+) = (+) o entrambi negativi (-) · (-) = (+)

LaRegola dei segni Le soluzioni della disequazione A(x) · B(x) < 0 si determinano in modo analogo: il prodotto A(x) · B(x) è negativo negli intervalli nei quali entrambi i fattori sono di segno discorde (+) · (-) = (-) o (-) · (+) = (-)

LaRegola dei segni Esempio: Data la disequazione (x 2 - 1)(x x + 6) (x - 7) < 0 determinare il segno di ciascun fattore:  I fattore: x risolvere x 2 - 1> 0 x  ( ,  1)  (1,  ) segno di x 2 - 1:

LaRegola dei segni  II fattore: x x + 6 risolvere x x + 6> 0 x  ( , 2)  (3,  ) segno di x x + 6:

LaRegola dei segni  Il fattore: x - 7 risolvere x - 7> 0 x  (7,  ) segno di x - 7:

LaRegola dei segni soluzioni della disequazione data: La soluzione della disequazione è ( ,  1)  (1, 2)  (3, 7)

Disequazioni Frazionarie

Una disequazione in cui l’incognita compare al denominatore di qualche frazione si dice frazionaria. Per risolvere tali tipi di disequazioni:

Disequazioni Frazionarie 1.Se il secondo membro della disequazione non è zero, si trasportano tutti i termini al primo membro in modo che al secondo membro compaia solo lo zero. 2.Si cerca di scrivere l’espressione al primo membro come prodotto di polinomi di primo grado in x, oppure come un’unica frazione, avente per numeratore e denominatore polinomio di primo grado in x, o prodotti di tali polinomi. 3.Si studia il segno di ciascuno dei polinomi di primo grado prima determinati

Disequazioni Frazionarie 1.Si riporta il segno del denominatore e numeratore ricordando che la linea continua indica i valori positivi e la tratteggiata valori negativi. 2.La soluzione della disequazione è data dal prodotto dei segni che corrispondono al verso della disequazione, tenendo presente che in corrispondenza dei valori di x per cui si annulla il numeratore si annulla l’intera espressione (purché per tale valore non si annulli anche il denominatore) e in corrispondenza dei valori di x per cui si annulla il denominatore l’espressione perde senso e con essa anche la disequazione.

Esempio: Per risolvere le seguente disequazione frazionaria: Trasportiamo tutti i termini al primo membro e riduciamo allo stesso denominatore Ora studiamo il segno del numeratore e del denominatore risolvendo la disequazione che si ottiene ponendo ciascun termine maggiore a zero: Disequazioni Frazionarie

________________ _____ _ _ _ _ _ _ _ __________ _ _ _ _____ _ _ _ ______ N D Rappresentiamo ora il segno del numeratore su due linee parallele, tratteggiate in corrispondenza dei valori di x per cui ciascuno dei due termini, N e D, è negativo e continua in corrispondenza dei valori di x per cui ciascuno dei due termini è positivo. Sulla terza linea rappresentiamo il segno della frazione. In quanto il segno è positivo in questo caso prenderemo i valori per i quali la disequazione è positiva ovvero

Disequazioni

Disequazioni in una variabile

Siano A(x), B(x) due espressioni nella variabile x. La disuguaglianza A(x) > B(x) (A(x) ≥ B(x)) ovvero B(x) < A(x) (B(x)  A(x)) si dice disequazione nella variabile x. Ogni numero che sostituito ad x rende vera la disuguaglianza si dice soluzione della disequazione.

Disequazioni equivalenti Due disequazioni si dicono equivalenti se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa.

Condizioni per l'equivalenza di due disequazioni La disequazione A(x) > B(x) è equivalente alla disequazione h·A(x) > h·B(x) se h è un numero positivo, è equivalente alla disequazione h·A(x) < h·B(x) se h è un numero negativo.

Condizioni per l'equivalenza di due disequazioni La disequazione A(x) > B(x) è equivalente alla disequazione A(x) + C(x) > B(x) + C(x) con C(x) espressione qualsiasi nella variabile x. Pertanto la disequazione A(x) > B(x) se si sceglie C(x) = -B(x) è equivalente alla disequazione A(x) - B(x) > 0.

Disequazione di primo grado

Si dice disequazione di primo grado nell'incognita x ogni disequazione del tipo: a 1 x + a 0 > 0 con a 1, a 0 coefficienti numerici, a 1 ≠ 0. Da a 1 x + a 0 > 0 sommando ad entrambi i membri -a 0 si ottiene la disequazione equivalente a 1 x > -a 0, quindi moltiplicando entrambi i membri per 1/ a 1 si ottengono le soluzioni della disequazione:

Disequazione di primo grado se a 1 > 0 allora l'insieme delle soluzioni è ovvero

Disequazione di primo grado se a 1 < 0 allora l'insieme delle soluzioni è ovvero

Disequazione di primo grado Esempio: 3x + 2 > 0 ammette come soluzioni x > - 2 / 3

Disequazione di primo grado Esempio: - 5x + 1 > 0 ammette come soluzioni x < 1 / 5

Disequazioni di secondo grado

Disequazione di secondo grado Si dice disequazione di secondo grado nell'incognita x ogni disequazione del tipo: a 2 x 2 + a 1 x + a 0 > 0 con a 2, a 1, a 0 coefficienti numerici, a 2 ≠ 0 o con un cambio di lettere a x 2 + b x + c > 0

Disequazioni di secondo grado Senza perdere di generalità si può supporre a > 0: infatti se non lo fosse è possibile moltiplicare entrambi i membri della disequazione per -1 e ottenere il coefficiente del termine di secondo grado positivo.

Disequazioni di secondo grado Rappresentazione Grafica Studiamo una disequazione di secondo grado mediante il metodo grafico e facciamo ricorso alla parabola. Ricordiamo che nel piano cartesiano, l'equazione: y = ax 2 + bx + c rappresenta una parabola, simmetrica,nel nostro caso, all'asse y che pertanto è detto asse di simmetria. Rappresentiamo nel piano cartesiano la nostra funzione e studiamo i seguenti casi {y = ax 2 + bx + c ^ y>=0 {y = ax 2 + bx + c ^ y<=0

L'equazione associata: ax 2 + bx + c = 0 ammette radici: a. reali distinte Δ >0, b. coincidenti Δ =0, c. complesse Δ <0. Inoltre: - se a >0, la parabola volge la concavità verso l'alto - se a <0, la parabola volge la concavità verso il basso Facciamo un grafico “approssimato” della parabola tenendo conto del segno della a e delle intersezioni che essa ha con l’asse delle ascisse (che sono le soluzioni della equazione associata). Questi due elementi ci interessano: intersezioni e concavità. Disequazioni di secondo grado Rappresentazione Grafica

Δ >0 e a >0 1) Se Δ >0 e a >0, la situazione è la seguente: Pertanto, se si vuole risolvere la disequazione: ax 2 + bx + c > 0 l’intervallo delle soluzioni sarà dato dai valori di x per i quali la parabola sta sopra l'asse x perché le ordinate sono positive (y>0),cioè, come si vede dalla figura, dagli intervalli esterni alle intersezioni tra la parabola e l'asse delle x: x x 2 Se si vuole risolvere la disequazione: ax 2 + bx + c < 0, si devono considerare i valori di x per i quali la parabola sta sotto l'asse x, cioè l' intervallo interno alle intersezioni tra la parabola e l’asse delle ascisse perché le ordinate sono negative (y<0): x 1 <x<x 2 Per quali valori di x la parabola sta sopra, sotto o interseca l’asse x?

Δ =0 e a >0 2) Se Δ =0 e a >0, la situazione è la seguente: La parabola è tutta al di sopra dell’asse della x, se si vuole risolvere la disequazione: ax 2 + b x+ c > 0, le soluzioni saranno date da qualsiasi valore di x, purchè diverso dal punto di intersezione (x 1 ) Infatti, per ogni x di R la parabola sta sopra l'asse x, ma in x = x 1 lo interseca. La disequazione, invece, ci “chiede” i valori di x per i quali la parabola è strettamente sopra l'asse x. Se la disequazione da risolvere è ax 2 + b x+ c ≥ 0, la soluzione è data da tutto l'insieme dei Reali. Se la disequazione da risolvere è ax 2 + b x+ c < 0, non ci sono soluzioni. Se la disequazione da risolvere è ax 2 + b x+ c ≤ 0, l'unica soluzione è data proprio dal punto di intersezione x 1. Per quali valori di x la parabola sta sopra, sotto o interseca l’asse x?

La parabola è tutta sopra l'asse x; non ci sono punti di intersezione. Pertanto, se la disequazione da risolvere è ax 2 + b x+ c > 0, L’intervallo delle soluzioni è rappresentato da tutto l'insieme dei numeri Reali. Se, invece, la disequazione da risolvere è ax 2 + b x+ c < 0 oppure ax 2 + b x+ c ≤ 0, non ci sono soluzioni. 3) Se Δ 0, la situazione è la seguente: Per quali valori di x la parabola sta sopra, sotto o interseca l’asse x?

Disequazione di secondo grado Si distinguono quindi tre casi:  se b 2 - 4ac > 0 allora l'equazione a x 2 + b x + c = 0 associata alla disequazione data ammette due soluzioni reali e distinte x 1, x 2 e l'insieme delle soluzioni della disequazione è ( , x 1 )  (x 2,  )

Disequazione di secondo grado  se b 2 - 4ac = 0 allora l'equazione a x 2 + b x + c = 0 associata alla disequazione data ammette due soluzioni reali e coincidenti x 1 = x 2 e l'insieme delle soluzioni della disequazione è ovvero ( , x 1 )  (x 1,  )

Disequazione di secondo grado  se b 2 - 4ac < 0 allora l'equazione ax 2 + b x + c = 0 associata alla disequazione data non ammette soluzioni reali e la disequazione è soddisfatta da ogni valore di x reale ossia ( ,  )

Disequazione di secondo grado Di conseguenza, data la disequazione ax 2 + b x + c < 0  se b 2 - 4ac > 0 allora l'insieme delle soluzioni della disequazione è (x 1, x 2 )

Disequazione di secondo grado  se b 2 - 4ac = 0 allora la disequazione non ammette soluzioni reali

Disequazione di secondo grado  se b 2 - 4ac < 0 allora la disequazione non ammette soluzioni reali

Schema riassuntivo per la disequazioni di secondo grado ∆=b 2 -4ac Valori di x che verificano la disequazione a>0 ax 2 +bx+c>0 ax 2 +bx+c≥0 ax 2 +bx+c<0 x x 2 x≤x 1 Vx≥x 2 x 1 <x<x 2 x1≤x≤x2x1≤x≤x2 ∆>0 (x 1 <x 2 ) ∆=0 ∆<0 qualsiasi x con nessun valore di x ax 2 +bx+c≤0

Disequazione di secondo grado Esempio: Risolvere la disequazione x x + 6 < 0 risolvere l'equazione associata l'intervallo delle soluzioni della disequazione è (2, 3)

Disequazione di secondo grado Esempio: Risolvere la disequazione x x + 25  0 risolvere l'equazione associata la soluzione della disequazione è x = 5

Disequazione di secondo grado Esempio: Risolvere la disequazione x x + 4 > 0 risolvere l'equazione associata non esistono soluzioni reali l'intervallo delle soluzioni della disequazione è ( ,  ) cioé la disequazione è soddisfatta da ogni valore di x reale