Le rette e piani Geometria analitica dello spazio

La distanza tra due punti nello spazio Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxyz con versori fondamentali i, j, k. Distanza tra due punti A(x A, y A, z A ) e B(x B, y B, z B ) d(AB)=

Punto medio di un segmento A(x A, y A, z A ) e B(x B, y B, z B ) gli estremi del segmento AB. M(x,y,z) sia il punto medio del segmento AB. Allora AM=MB x-x A =x B -x, y-y A =y B -y, z-z A =z B -z A

Rappresentazione analitica del piano Un piano  si può individuare in due modi: - Assegnando un punto P 0 di  ed un vettore w ortogonale ad  - Assegnando 3 punti non allineati di 

Equazione vettoriale del piano Se consideriamo  il piano passante per P 0 (x 0,y 0,z 0 ) e ortogonale al vettore n(a,b,c) allora un punto P(x,y,z) dello spazio appartiene ad  se e solo se il vettore (P-P 0 ) è ortogonale a n : n  (P-P 0 )=0 Essa si chiama equazione vettoriale del piano. Questa equazione rappresenta il prodotto scalare = 0 dei vettori n e (P-P 0 ) tra loro ortogonali.

Equazioni del piano Esplicitando le componenti l’ eq. si può scrivere : a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+c(z-z 0 )=0 ed è detta equazione cartesiana del piano. Forma implicita : ax+by+cz+d=0 (ponendo -ax 0 … = d ) che è una equazione polinomiale di I grado in x,y, z dove i coefficienti a,b,c di x, y, z sono le componenti del vettore n ortogonale ad . Forma esplicita : esplicitando z si ha : z = mx + ny + q

OSSERVAZIONE Mentre è possibile determinare in maniera univoca una direzione ortogonale al piano  (ad esempio mediante il vettore (a,b,c)), non è possibile determinare in maniera univoca una direzione parallela al piano , poiché non tutti i vettori paralleli ad  sono tra loro paralleli.

Piano per tre punti non allineati Siano A, B, C tre punti non allineati dello spazio. Allora esiste un unico piano  passante per i tre punti: esso si può pensare come il piano per A ortogonale al vettore n = (B-A)  (C-A) (che è non nullo, essendo i tre punti non allineati). L’equazione vettoriale di  è: (P-A)·(B-A)  (C-A)=0 n

Esplicitando il prodotto misto in termini di componenti si trova l’equazione cartesiana Equazione di un piano come sviluppo di un determinante

Intersezioni di due piani Siano  e  due piani, e consideriamo l’intersezione  . Si possono avere tre casi: a)   è una retta r: i due piani sono incidenti; b)   contiene tutti i punti di  : i piani sono coincidenti; c)   non contiene nessun punto: i due piani sono paralleli. Per trovare   si considera il sistema formato dalle due equazioni dei due piani che risulta nel caso a) compatibile con n=3 ma rango 2 con ∞ sol. ed una variab.param., nel caso b) compatibile con rango 1 (tutti coeff. propor.) e due variab. param., nel caso c) incompatibile r(A)=1 e r(A’)=2. Nel caso a) il sistema dei 2 piani esprime una rappresentazione cartesiana della retta r =   . retta r

Ortogonalità e parallelismo tra piani  ) (P-P 0 )  w=0  ’) (P-P’ 0 )  w’=0  è parallelo a  ’ se e solo se w è parallelo a w’ cioè se: (a,b,c)= k (a’,b’,c’).  è ortogonale a  ’ se e solo se w è ortogonale a w’ cioè se : aa’+bb’+cc’ = 0.

Equazione cartesiana della retta Consideriamo due piani non paralleli:  ) ax+by+cz+d=0  ’) a’x+b’y+c’z+d’=0 Essi si incontrano lungo una retta r, che è costituita da tutti e soli i punti P(x,y,z) le cui coordinate soddisfano il sistema lineare:

Retta per un punto e parallela ad un vettore: una retta r dello spazio si può pensare come la retta passante per il punto P 0 (x 0,y 0,z 0 ), e parallela al vettore non nullo v(l,m,n). Quindi r è il luogo dei punti P(x,y,z) dello spazio tali che P-P 0 è parallelo a v : dove t è un coefficiente di proporzionalità (parametro). P-P 0 = t v Equazioni parametriche di una retta

Passando alle componenti si ottiene:

Relazioni tra equazioni cartesiane ed equazioni parametriche della retta Per passare da una rappresentazione parametrica ad una cartesiana della retta r, basta eliminare il parametro t, tra le equazioni parametriche, ottenendo così le equazioni di due piani passanti per r. Se nessuna delle componenti di v è nulla, dalle equazioni parametriche, ricavando t da ciascuna delle tre equazioni e uguagliando i tre risultati si ottengono le seguenti rappresentazioni della retta r:

Le componenti (l,m,n) di v si chiamano parametri direttori di r. Se A e B sono due punti distinti dello spazio ed r è la retta passante per A e B allora un vettore parallelo ad r è v=B-A, di componenti (l=x B -x A, m=y B -y A, n=z B -z A ). Le equazioni parametriche di r sono: Retta per due punti

Come ricavare i parametri direttori della retta r individuata dai piani  e  ’ Nel sistema della rappresentazione cartesiana della retta r si ha che : vettore n=(a,b,c) normale ad , mentre il vettore n’=(a’,b’,c’) normale  ’ ; quindi il loro prodotto vettoriale n x n’ indica la stessa direzione del vettore v della retta r, cioè : v (l,m,n) = n (a,b,c) x n’ (a’,b’,c’). Poichè il prodotto vettoriale è espresso dal determinante: Si ha:

Se nelle equazioni parametriche si ha t=0 (oppure x B -x A =0), ma le altre componenti di v sono non nulle, si ottiene la seguente rappresentazione cartesiana per r: Passaggio dalla forma parametrica a quella cartesiana

Passaggio dalla forma cartesiana a quella parametrica Basta trovare i parametri direttori di r: v(l,m,n) ed un punto P(a,b,c) della retta trovando una delle infinite soluzioni del sistema. Esempio Un punto di r è l’origine, mentre i parametri direttori sono (1,1,-3) (definiti a meno di un fattore di proporzionalità), quindi una rappresentazione parametrica di r è: x = t y = t z = -3t

Parallelismo e ortogonalità tra rette Due rette r ed r’ sono: r: P = t v + P 0 r’:P = t v’ + P 0 ’ r ed r’ sono ortogonali se e solo se v è ortogonale a v’, ovvero: v  v’=0 r ed r’ sono parallele se e solo se v è parallelo a v’, ovvero: v = k v’.

Osservazione Nel caso delle rette nello spazio, non è possibile determinare in maniera univoca una direzione ortogonale ad una retta, così come avviene nel caso delle rette del piano.

Ortogonalità e parallelismo tra una retta ed un piano  ) (P-P 0 )  n = 0 r) P = t v + P o La retta r è parallela a  se e solo se v è ortogonale a w se e solo se il loro prodotto scalare è nullo se e solo se al+bm+cn=0 La retta r è ortogonale a  se e solo se v è parallelo a w se e solo se (a,b,c) = k (l,m,n)

RETTE NELLO SPAZIO Intersecando due rette r ed s dello spazio si possono presentare 4 casi: a)r  s è un solo punto: le rette sono incidenti complanari incidenti (caso particolare se sono anche ortogonali) b)r  s non contiene nessun punto e le rette sono contenute in uno stesso piano le due rette sono parallele-distinte complanari parallele c)r  s non contiene nessun punto e le rette non sono parallele: le due rette sono sghembe (cioè non esiste nessun piano che contiene entrambe) d)r  s contiene infiniti punti: le due rette sono coincidenti (anche complanari). (non complanari)

Come riconoscere rette complanari - sghembe Ci può essere di aiuto un esempio numerico, date le rette r,s,k: r) s) k) di vettori : v r (5,1,-1) v s (-1,1,2) v k (3,-3,-6) prendiamo sulle 3 rette 3 punti arbitrari ponendo t=0 : P r (-2,3,4) P s (-0,-1,3) P k (6,1,-3) Consideriamo le rette r ed s (evidente non parallele) ed il vettore P r P s (-2,4,1); poiché i vettori v r e v s col vettore P r P s hanno componenti non prop. tra loro (individuano un volume), la matrice mista M dei vettori: v r, v s, P r P s sarà: poichè il rango di M è 3 r ed s sono sghembe; le rette s e k hanno le comp. vettoriali proporzionali rango 2 s e k sono parallele e complanari; le rette r e k col vettore P r P k (-8,2,7) danno una matrice mista con det=0 di rango 2 r e k sono complanari incidenti (si può indagare se ortogonali); Nel caso la matrice mista avesse rango 1 le due rette sarebbero coincidenti.

Proiezione ortogonale di un punto su una retta La proiezione ortogonale di un punto P 0 (x 0,y 0,z 0 )  r su r è l’intersezione di r con il piano  per P 0 ortogonale ad r. Se r ha equazioni parametriche Tale piano ha equazione: l(x-x 0 )+m(y-y 0 )+n(z-z 0 )=0. Dal sistema tra le eq. parametriche di r ed il piano ottenuto sopra si ottiene il valore del parametro t che ci da il punto richiesto P.

Proiezione di un punto su un piano La proiezione di un punto P 0 (x 0,y 0,z 0 ) su un piano  si ottiene intersecando la retta r per P 0 e ortogonale a  con . Esempio Determinare la proiezione di P 0 (1,0,1) sul piano di equazione x+y-z=2. La retta r ha equazioni (x,y,z)=(1+t,t,1-t) con il piano x + y – z = 2. Da cui 1 + t + t - 1+ t =2,

Distanza di un punto da un piano La distanza d(P,  ) è uguale alla distanza d(P,Q), dove Q è la proiezione ortogonale di P su . Dati: P (x 0,y 0,z 0 ) ed il piano  di eq.: ax+by+cz+d=0 si ha:

Angolo tra due rette Due rette r ed s dello spazio non necessariamente incidenti formano un angolo  se esistono un vettore v parallelo ad r ed un vettore v’ parallelo ad s formanti un angolo . Notiamo che se r ed s formano un angolo , esse formano anche l’angolo  - . Se v=(l,m,n) è un vettore parallelo ad r e v’=(l’,m’,n’) è un vettore parallelo ad s, si ha

Angolo tra due piani È l’angolo formato da due vettori non nulli ortogonali ai due piani. Se i due piani formano un angolo  essi formano anche l’angolo  - . Se  ) ha equazione ax+by+cz+d=0 e  ) ha equazione a’x+b’y+c’z+d’=0 Il vettore w(a,b,c) è ortogonale ad  e w’(a’,b’,c’) è ortogonale a . Quindi risulta

Angolo tra una retta ed un piano non ortogonali È l’angolo che la retta forma con la sua proiezione ortogonale sul piano, e quindi è il complementare dell’angolo che la retta forma con un vettore ortogonale al piano. Se v=(l,m,n) è un vettore parallelo ad r e w=(a,b,c) è un vettore ortogonale ad , si ha