LA MATEMATICA

La matematica Cos'è la matematica? Gli insiemi I numeri naturali I numeri interi relativi I numeri razionali assoluti I numeri razionali relativi I numeri reali I numeri complessi Tipi di insiemi numerici Rappresentazioni di insiemi I numeri immaginari

La parola "matematica" deriva dalla parola greca μάθημα (màthema) che significa "conoscenza o apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significava invece "appassionato del conoscere". Cos'è la Matematica?

Gli insiemi Si indica con il nome INSIEME MATEMATICO ogni raggruppamento ben definito di oggetti, persone, animali, numeri, lettere, …

Rappresentazioni di insiemi Rappresentazione tabulare La rappresentazione tabulare si ottiene enumerando gli oggetti entro parentesi graffe; esempio: voglio considerare l'insieme A composto dai primi quattro numeri naturali A = { 1, 2, 3, 4 }

Rappresentazione mediante grafici (grafici di Eulero-Venn) Possiamo racchiudere gli oggetti che ci interessano entro una linea chiusa continua e non intrecciata come dalla figura qui a fianco che rappresenta sempre l'insieme A composto dai primi quattro numeri naturali Rappresentazione mediante caratteristica Possiamo anche rappresentare l'insieme enunciando la caratteristica che tiene "assieme" gli oggetti: ad esempio posso caratterizzare l'insieme A delle pagine precedenti come l'insieme dei numeri naturali minori di 5 A = { x N : x < 5 } A e' l'insieme degli elementi appartenenti ad N tali che l' elemento sia minore di 5

I numeri naturali sono tutti i numeri interi positivi compreso lo 0. L'insieme dei numeri naturali viene indicato con N. N= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... } La retta che rappresenta i numeri naturali è un insieme discreto, poiché presenta dei punti a cui non è assiociato nessun numero appartenente all'insieme N. L'insieme dei numeri naturali

L'insieme dei numeri interi relativi L'insieme dei numeri interi relativi,ovvero preceduti dal segno, comprende tutti i numeri interi negativi,positivi e lo 0 che fa da spartiacque tra i due insiemi. L'insieme dei numeri interi relativi si indica con Z. Z={...-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,... } L'insieme dei numeri interi positivi,compreso lo zero,si indica con Z 0 + Z 0 + è in corrispondenza biunivoca con l'insieme N, ovvero a ogni numero appartenente a Z 0 + è associato un numero appartenente all'insieme N. L'insieme dei numeri interi negativi si indica con Z - L'insieme dei numeri interi relativi è considerato un ampliamento di N.

L'insieme dei numeri razionali assoluti Le frazioni Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali,di cui il secondo è diverso da 0. I numeri razionali assoluti Un numero razionale assoluto è una classe (insieme) di frazioni tra loro equivalenti, ovvero che hanno lo stesso rapporto. L'insieme dei numeri razionali assoluti si indica con Qa. I numeri razionali assoluti con denominatore 1 sono in corrispondenza biunivoca con l'insieme N. L'insieme dei numeri razionali assoluti è considerato un ampliamento dell' insieme N ma non di Z.

L'insieme dei numeri razionali Un numero razionale è una classe di frazioni tra loro equivalenti (con lo stesso rapporto) in cui il numeratore e/o il denominatore sono numeri interi relativi. L'insieme dei numeri razionali si indica con Q. I numeri razionali positivi con denominatore 1 sono in corrispondenza biunivoca con l'insieme Z e l'insieme N. I numeri razionali negativi con denominatore 1 sono in corrispondenza biunivoca con l'insieme Z. L'insieme dei numeri razionali è considerato un ampliamento di Z. Un numero razionale può essere limitato o periodico.

L'insieme dei numeri reali I numeri irrazionali Un numero irrazionale è quel numero decimale illimitato ma non periodico, ovvero le cui cifre non formano mai una sequenza periodica. I numeri reali L'unione tra l'insieme dei numeri razionali e l'insieme dei numeri irrazionali forma l'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri reali viene indicato con R ed è considerato un ampliamento dell' insieme Q.

L'insieme dei numeri immaginari L'unità immaginaria L'unità immaginaria è quel numero non reale che permette di risolvere l'equazione: x 2 +1=0 Applicando la regola del trasporto, per cui un termine fatto cambiare di membro cambia il segno, diventa: x 2 =0-1 Perciò avendo x 2 = -1 per ricavare x,ovvero l'unità immaginaria dovremmo estrarre la radice quadrata di -1. x=i=√-1 Nei numeri reali non esiste alcun numero che moltiplicato per se stesso dia un numero negativo. I numeri immaginari Un numero immaginario è il prodotto di un numero reale per un'unità immaginaria. es. 3*√-1=3i L'insieme dei numeri immaginari viene indicato con Im.

L'insieme dei numeri complessi I numeri complessi Un numero complesso(z) è quel numero dato dalla somma di un numero reale(x) e di un numero immaginario(unità immaginaria “i” e numero reale “y”). z=x+iy L'insieme dei numeri complessi viene indicato con C. C è considerato un ampliamento di R. Piano di Gauss Il piano di Gauss detto anche piano complesso è un modo per visualizzare lo spazio dei numeri complessi. Viene pensato come un piano cartesiano modificato, con la parte reale rappresentata sull'asse x e la parte immaginaria rappresentata sull'asse y. L'asse x è chiamato anche l'asse reale e l'asse y asse immaginario. Mentre i numeri reali vengono associati ai punti di una retta, i numeri complessi vengono associati ai punti del piano.