La matematica finanziaria Dott. Laura Gabrielli Verona, 13 ottobre 2006 Corso di aggiornamento per il Collegio dei Geometri di Verona

La matematica finanziaria  La matematica finanziaria fornisce gli strumenti necessari per confrontare fatti finanziari che avvengono in momenti diversi  Nel mercato immobiliare, come posso confrontare i ricavi e i costi legati all’acquisto di un immobile che si presentano temporalmente non omogenei?

Le prestazioni finanziarie  Le prestazioni finanziarie sono rappresentate da flussi di costo e di ricavo  Perché una prestazione finanziaria sia definita univocamente si deve conoscere: l’ammontare (quanto) la scadenza (quando)

L’interesse  L’interesse è il prezzo d’uso del capitale  Il saggio (tasso) d’interesse (r) può essere espresso in termini percentuali (r = 5%) o in termini unitari (r = 0,05).  L’interesse unitario è l’interesse maturato da una unità di moneta in un anno  Il saggio di interesse è direttamente proporzionale: al rischio: ad un rischio maggiore corrisponde un maggiore tasso di interesse alla durata dell’investimento: a durata maggiore corrisponde un maggiore tasso di interesse

Il montante  Il montante è la somma del capitale e dei relativi interessi  Il montante unitario (q) è la somma fra un capitale pari a 1 e gli interessi maturati in un anno: M = C 0 + C 0 r = C 0 (1 + r ) = C 0 q ( es. se r = 0,05 allora q = 1,05)

Interesse semplice e composto  L’interesse semplice gli interessi maturati non maturano a loro volta altri interessi si usa quando si considera un periodo di tempo uguale o inferiore ad 1 anno  L’interesse composto gli interessi maturati maturano a loro volta altri interessi si usa quando si considera un periodo di tempo superiore ad 1 anno

Interesse semplice: periodo uguale all’anno  InteresseI = C 0 * r  MontanteM = C 0 * q  Valore scontatoC 0 = M / q  La somma di Euro viene depositata in banca all’interesse del 5%. Si vuol conoscere l’ammontare: degli interessi dopo un anno del montante dopo un anno  I = C 0 r = × 0,05 = 50 Euro  M = C 0 + I = C 0 (1+r) = C 0 q = × 1.05 = Euro

Interesse semplice: periodo inferiore all’anno  La durata viene indicata come frazione di anno: n = gg/365  InteresseI = C 0 *r * n  MontanteM = C 0 *(1 + r n)  Valore scontatoC0 = M / (1 + r n)  La somma di Euro viene depositata in banca per 90 giorni all’interesse del 5%. Si vuol conoscere l’ammontare: degli interessi del montante I = C 0 r n = × 0,05 × (90 / 365) = 12,39 Euro M = C 0 + C 0 r n = C 0 (1 + r n) = 1.012,39 Euro

Interesse composto: la determinazione del montante  Dopo 1 anno: C 1 = C 0 + C 0 r = C 0 *(1+r)  Dopo 2 anni: C 2 = C 1 + C 1 r = C 1 *(1+r) C 2 = C 0 *(1+r) *(1+r) C 2 = C 0 * q 2  Quindi:C n = C 0 * q n C0C0 C1C1 C2C2 CnCn n....

Interesse composto: esempio  A quanto ammonterà, tra 10 anni (n), il capitale di Euro (C 0 ) investito in titoli al saggio del 5%? M = C 0 q n × 1,05 10 = Euro  Se l’interesse non fosse composto, cioè se gli interessi non maturassero altri interessi, il montante sarebbe inferiore: Euro

Spostamento di capitali nel tempo  Non è possibile addizionare, sottrarre o confrontare tra loro valori differiti nel tempo, se prima non sono riportati allo stesso momento  E’ necessario individuare le formule che consentono di anticipare o di posticipare ciascun valore  Un valore spostato nel futuro si trasforma in montante, spostato nel passato si trasforma in valore scontato

Periodi inferiori o uguali all’anno  Coefficiente di posticipazione: (1 + r n)  Coefficiente di anticipazione: 1/(1+rn) Anticipo 1 / (1 + r n) Posticipo (1 + r n) C0C0 0 n M

Esercizio  Il canone annuo del vostro appartamento è suddiviso in due rate anticipate di Euro ciascuna. A quanto ammonta l’affitto percepito dal proprietario, riferito a fine anno? Sia r = 5% Posticipo (1 + r n) Ca = × (1+ 0,05) (1+0,05 ×1/2) = × 1, (1,025) = Euro 0 6 mesi 12 mesi

Periodi superiori all’anno  Coefficiente di posticipazione: q n  Coefficiente di anticipazione: 1/q n qnqn Posticipo 1 / q n Anticipo C0C0 M 0 n

Esercizio  Comperate un nuovo computer che pagate in 2 rate da Euro: la prima subito, la seconda fra due anni. Quanto costa il computer al momento attuale (r = 6 %)? Anticipo 1 / q × 1 / = Euro

Un milione di Euro tra n anni scontato ad oggi All’aumentare del tempo e/o del saggio diminuisce il valore

Valore e tasso di sconto

Le annualità  Le annualità (a) sono quelle prestazioni finanziarie che si verificano ad intervalli annuali  Le annualità sono classificate in: posticipate o anticipate, in base alla scadenza di ciascuna annualità, rispettivamente alla fine o all’inizio dell’anno costanti o variabili, in base all’ammontare di ciascuna annualità limitate o illimitate, in base alla durata complessiva della serie di prestazioni

Annualità variabili e limitate  Gli strumenti disponibili: coefficienti di anticipazione e posticipazione. Le accumulazioni iniziale e finale assumono rispettivamente la forma:  A 0 = a 0 + a 1 / q + a 2 / q 2 + a n / q n  A n = a 0 × q n + a 1 × q n a n  A 0 = A n / q n  A n = A 0 × q n a 0 a 1 a a n A0A0 AnAn

Annualità costanti, posticipate, limitate  Accumulazione finale:  Accumulazione iniziale:  Accumulazione intermedia: A m = A 0 q m = A n / q n-m a a.. a n A0A0 AnAn

Annualità costanti, anticipate, limitate  Accumulazione finale:  Accumulazione iniziale:  Accumulazione intermedia: A m = A 0 q m = A n / q n-m a a a a n-1 n A0A0 AnAn

a a infinito A0A0 Annualità costanti e illimitate  Trattandosi di annualità illimitate:  Posticipate:  Anticipate:  Accumulazione intermedia: A m = A 0 q m

Esercizio  Un immobile di civile abitazione richiede, per poter fornire un reddito costante, le seguenti spese periodiche: spese per tinteggiatura ogni 5 anni (15 €/mq) spese per rinnovo impianti ogni 25 anni (150 €/mq) spese per ristrutturazione interna ogni 80 anni (1000 €/mq)  Calcolare la quota annua relativa alle suddette spese

Reintegrazione  La quota di reintegrazione (Qre) è quell’annualità costante e posticipata che viene accumulata per un certo numero di anni allo scopo di costituire/rinnovare un capitale  Prevedendo di dover ristrutturare un fabbricato tra dieci anni, sostenendo una spesa di Euro , si vuol conoscere la somma annua posticipata da accantonare al saggio del 5%

Ammortamento  La quota di ammortamento (Qam) è quell’annualità costante, posticipata e limitata che deve essere corrisposta per estinguere un debito contratto inizialmente  La Qam può essere disaggregata in due distinte componenti: quota capitale (Qc) quota interessi (Qi)

Esercizio  Si costruisca il piano di ammortamento di un debito di Euro da estinguere in tre anni al saggio del 10%, con rate annue, costanti e posticipate

Esercizio A  La situazione finanziaria di un’impresa è la seguente: € da incassare fra un mese € da versare fra sei mesi € da restituire fra due anni  Assumendo un tasso di interesse pari al 6 % annuo, calcolare: l’indebitamento totale all’attualità la rata semestrale posticipata che estingue il debito in sette anni  L’indebitamento:

Esercizio A  Convertibilità semestrale:  Convertibilità annua:

Esercizio B  La costruzione di un complesso immobiliare richiede i seguenti esborsi: 3 mln di € da versare subito 5 mln di € all’anno da versare per i prossimi 3 anni 4 mln di € da versare fra 4 anni  Assumendo un tasso di interesse pari al 6 %, calcolare la rata annua posticipata del mutuo decennale che finanzia la costruzione  Il fabbisogno finanziario:  Quota di ammortamento:

Esercizio C  Compilare il piano di ammortamento triennale, con rate annue posticipate, di un mutuo pari a € e al tasso di interesse del 4%  Quota di ammortamento:

Esercizio D  La manutenzione di un fabbricato richiede le seguenti spese: 2000 € ogni 4 anni 100 € ogni 6 mesi 6000 € ogni 10 anni  Assumendo un tasso di interesse pari al 10 %, calcolare la quota di manutenzione annua  Quota manutenzione:

Esercizi E e F  Se un immobile produce un reddito annuo che ammonta a e il suo valore di mercato è stato stimato in , allora il saggio di capitalizzazione utilizzato è pari a: r = R / Vm = / = 0,03 = 3%  Se un immobile produce un reddito annuo lordo che ammonta a euro, le spese ammontano al 55% del reddito lordo e il suo valore di mercato è stato stimato in euro, allora il saggio di capitalizzazione lordo utilizzato è pari a: r = R / Vm = / = 0,04 = 4%

Esercizio G  L’immobile che ha fatto registrare la transazione di mercato più elevata presenta un prezzo pari a euro e misura 125 mq. L’immobile oggetto di stima presenta caratteristiche con un punteggio complessivo inferiore di 28 punti percentuali rispetto all’immobile di riferimento e misura 100 mq. Individuare il valore di mercato ipotizzando la transazione fra due anni (r = 4%): Vmui = Vmr * k = ( /125) * (1-0,28) = Vmui = * 0,72 = Euro/mq Vmi = * 100 = Euro Vm (tra due anni) = * (1+0,04) 2 Vm (tra due anni) = Euro

Esercizio H  Un immobile a destinazione commerciale di mq verrà affittato per i prossimi 5 anni ad un canone bimestrale di 2,5 euro/mq, immediatamente al termine del periodo di affitto verrà dismesso e ceduto ad un prezzo di euro. Calcolare il valore di tale immobile (ipotizzando un saggio di capitalizzazione e di attualizzazione pari al 5%) R = 2,5 *1.000 * 6= Euro (canone annuo) Vm = R * (q n -1)/rq n + Vr/q n Vm = * (1, )/0,05*1, /1,05 5 Vm = Euro

Per approfondimenti  Per approfondire la matematica finanziaria nei libri di estimo, si vedano: Realfonzo A. (1994), Teoria e metodo dell’estimo urbano, Nis, Roma: pp Forte F., De Rossi B. (1974), Principi di economia ed estimo, Etas, Milano: pp