La Relatività Speciale

Le pubblicazioni Annalen der Physik  L’elettrodinamica dei corpi in movimento  L’inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?

Interazioni elettrodinamiche (1)  Da Elettrodinamica dei corpi in movimento (1905) se si muove il magnete e resta stazionario il conduttore, si produce, nell’intorno del magnete un campo elettrico con una ben determinata energia il quale genera una corrente nei luoghi ove si trovano parti del conduttore se si muove il magnete e resta stazionario il conduttore, si produce, nell’intorno del magnete un campo elettrico con una ben determinata energia il quale genera una corrente nei luoghi ove si trovano parti del conduttore Varia  (B) concatenato con la spira: si crea un campo E che fa muovere le cariche

Interazioni elettrodinamiche (2) se il magnete resta stazionario e si muove il conduttore, non nasce, nell’intorno del magnete, alcun c. e.; tuttavia si osserva, nel conduttore, una f.e.m. alla quale non corrisponde di per sé un’energia, ma che – supponendo che il moto relativo sia lo stesso nei due casi – genera correnti elettriche della stessa intensità di quelle prodotte dalle forze elettriche nel caso precedente e che hanno lo stesso percorso. se il magnete resta stazionario e si muove il conduttore, non nasce, nell’intorno del magnete, alcun c. e.; tuttavia si osserva, nel conduttore, una f.e.m. alla quale non corrisponde di per sé un’energia, ma che – supponendo che il moto relativo sia lo stesso nei due casi – genera correnti elettriche della stessa intensità di quelle prodotte dalle forze elettriche nel caso precedente e che hanno lo stesso percorso. Le cariche si muovono con la velocità –v : agisce la forza di Lorentz. Non c’è campo elettrico

Un altro dato di fatto I tentativi falliti di individuare un qualche movimento della Terra relativamente al ‘mezzo luminifero’ suggeriscono che i fenomeni elettrodinamici, al pari di quelli meccanici, non possiedono proprietà corrispondenti all’idea di quiete assoluta

Deduzioni Anzi suggeriscono che “per tutti i sistemi di coordinate per le quali valgono le equazioni della meccanica (sistemi inerziali) varranno le stesse leggi elettrodinamiche e ottiche” (principio di relatività einsteiniano) Supporremo inoltre che “la luce, nello spazio vuoto, si propaghi sempre con una velocità determinata c, che non dipende dallo stato di moto del corpo che la emette” (postulato della costanza della velocità della luce)

Eleviamo tali congetture al rango di postulati

Postulati  Per tutti i sistemi di coordinate per le quali valgono le equazioni della meccanica (sistemi inerziali) varranno le stesse leggi elettrodinamiche e ottiche (principio di relatività)  La luce, nello spazio vuoto, si propaga sempre con velocità determinata c, che non dipende dallo stato di moto del corpo che la emette (postulato della costanza della velocità della luce)

“Questi due postulati sono sufficienti a costruire una teoria elettrodinamica dei corpi in movimento semplice e coerente.”

La sparizione dell’etere L’introduzione di un etere luminifero si mostrerà superflua.

Henri Poicaré, 1888 Interessa poco che l’etere esista; questo è affare della metafisica. La cosa essenziale per noi è che ogni cosa accade come se esistesse, e che questa ipotesi è conveniente per la spiegazione del fenomeno. Dopo tutto, abbiamo una qualche ragione di credere agli oggetti materiali? Anche questa è soltanto una ipotesi conveniente; soltanto che mentre questa non cesserà mai, un qualche giorno, senza dubbio, l’etere sarà messo da parte come inutile.

Di fatto era sparito! La revisione delle equazioni di Maxwell fatta da Hertz aveva completamente trascurato l’etere.

Caratteristiche dell’etere L’etere luminifero: penetra e si estende dappertutto e permette il moto dei corpi materiali senza opporre resistenza;  non devono esserci interazioni reciproche fra particelle d’etere e particelle materiali. L’etere luminifero: l’esperienza dimostra che la velocità della luce nei mezzi materiali è diversa che nel vuoto (nel solo etere);  deve esserci una azione reciproca tra particelle di etere e particelle di materia. Paradossalmente “ si verificherebbero azioni tra etere e materia nei fenomeni ottici, ma non nei fenomeni meccanici ”.

Il bambino terribile della teoria meccanica ( Planck ) Fenomeno della polarizzazione: le onde luminose sono trasversali  l’etere deve essere assai più rigido di molti metalli. La costruzione di una immagine meccanica semplice dell’etere si rivelava impossibile.

L’aberrazione stellare J. Bradley, 1727 Le stelle, nel corso di un anno, sembrano descrivere una ellisse sulla volta celeste.  Ipotesi corpuscolare: in un determinato istante una certa stella sia osservata in posizione S.  cu, velocità della luce rispetto al sistema assoluto  w velocità della Terra  c’u’ velocità della luce per un osservatore terrestre c’u’=cu - w (principio galileiano di composizione delle velocità) La luce sembra provenire dalla direzione TS’.

Relazione tra angoli   angolo formato dai due vettori w e u,  quello formato tra i vettori u e u’

Risultati sperimentali  = 90° (stella circumpolare) due osservazioni, a sei mesi di distanza: la prima volta la stella appare nella direzione TS’, e la seconda lungo TS’’. Sperimentalmente 2  = 41° (se w =0 anche  =0) L’etere non poteva considerarsi fissato alla Terra T 22

Ipotesi sull ’ etere  Molte teorie sulle proprietà dell’etere e sui suoi rapporti con la materia ponderabile; esse si riferivano sia alle correlazioni dell’etere col moto dei pianeti e in particolare della Terra (corpi opachi), sia allo stato nel quale debba trovarsi l’etere all’interno dei corpi trasparenti.

Correlazioni dell’etere col moto dei pianeti  l’etere è in quiete rispetto ai pianeti (Young: “sono incline a credere che l’etere luminifero pervada la sostanza di tutti i corpi materiali attraverso i quali passa con resistenza minima o nulla, con la stessa libertà con cui, forse, il vento passa attraverso una foresta d’alberi”, 1804);  L’etere è totalmente trascinato dai pianeti (G.G. Stokes, 1845);  la Terra e i pianeti trascinano con sé una porzione d’etere, di modo che l’etere vicino alla loro superficie è in quiete rispetto alla superficie stessa.

Etere all’interno dei corpi trasparenti  etere libero e indipendente, non trascinato dai corpi in moto; velocità della luce non alterata;  etere aderente e come fissato alle molecole dei corpi, partecipa ai moti loro impressi; la velocità della luce, supposto il raggio diretto nel senso del moto, aumenta della velocità del corpo;  una parte di etere libero, l’altra parte aderente alle molecole del corpo: solo essa partecipa ai suoi movimenti (Fresnel); la velocità della luce aumenta di una frazione della velocità del corpo

L ’ etere e i fenomeni ottici  L’esperimento di Fizeau si inquadra “ nei molti tentativi volti a intendere la natura meccanica dell ’ etere, quale mezzo suscettibile di trasmettere la luce ”.

Esperimento di Fizeau (1) Misurare la velocità della luce nei corpi in movimento con un metodo interferenziale.

Schema

Esperimento di Fizeau (2)  Se si fa scorrere acqua in senso opposto nei due tubi, i due raggi, relativamente al moto, sono sottoposti a due diverse situazioni: se si suppone che nel tubo situato a destra l’acqua scorra verso l’osservatore, quello dei due raggi che verrà da destra avrà percorso il tubo nel senso del moto, mentre quello che viene da sinistra l’avrà percorso in senso contrario a quello del moto.

Esperimento di Fizeau (3)  Questi movimenti dell’acqua venivano prodotti ponendo ciascun tubo in comunicazione con due recipienti di vetro sui quali si esercita alternativamente una pressione con aria compressa. Sotto l’influenza di tale pressione (circa 2 atm) l’acqua passa da un recipiente all’altro attraversando uno dei tubi.

Spostamento delle frange  Le frange si spostavano verso destra o verso sinistra a seconda della direzione del moto.  L’esperimento mostrava cha la velocità della luce in acqua corrente era maggiore di quella dell’acqua ferma, ma che non tutta la velocità della corrente di acqua si sommava alla velocità della luce nel mezzo in quiete, ma soltanto una frazione di essa.

A favore dell ’ ipotesi L’etere dello spazio astronomico si trova a riposo in un appropriato sistema di riferimento inerziale, mentre l’etere interno ai corpi materiali, risulta parzialmente trascinato da essi.

Il mare di etere La luce viaggia attraverso il mare di etere in cui anche la Terra è in moto. Se l’etere è visto dalla Terra, allora quello deve scorrere su questa. Nella letteratura della fisica, tuttavia, non ero capace di trovare un qualche fatto che desse l’evidenza sperimentale di questo scorrere dell’etere.

L ’ etere e i fenomeni elettromagnetici L’interpretare la luce come un fenomeno elettromagnetico poneva la necessità di capire come essa si muoveva nell’etere e come il suo movimento poteva porsi in relazione col moto della Terra nello spazio.

Rivelare il moto della Terra  Le equazioni del campo elettromagnetico: valide in un sistema di riferimento immobile rispetto all’etere, non invarianti per una trasformazione galileiana, assumono forma diversa in sistemi di riferimento in moto.  Realizzare esperienze che mettano in luce il moto di un corpo rispetto all’etere, dall’osservazione di fenomeni elettromagnetici.  In particolare rivelare il moto della Terra attraverso l’oceano d’etere con misure di velocità della luce a seconda della direzione in cui essa si propagava. L’etere sistema di riferimento privilegiato?

Esperimento di Michelson e Morley 1887

L’esperimento  Interferenza di due raggi di luce ad angolo retto fra loro: uno in direzione parallela al moto della Terra rispetto all’etere e l’altro in direzione perpendicolare. Osservata la figura di interferenza e ruotata quindi l’apparecchiatura di 90° le frange avrebbero dovuto subire uno spostamento misurabile.

L’accuratezza dell’esperimento  L’esperimento fu eseguito di giorno e di notte, per evitare effetti dovuti alla rotazione della Terra su se stessa, e durante le quattro stagioni, per evitare posizioni preferenziali nella rotazione attorno al Sole. Ma, per quanta cura venisse riposta nell’approntare l’apparecchiatura lo spostamento cercato non ci fu.  Michelson si convinse che il suo esperimento fosse un fallimento: l’alternativa era quella di credere che l’etere fosse totalmente trascinato dalla Terra; ma questo era contro altre evidenze sperimentali fino ad allora portate avanti.

Teorie relativistiche H. A. Lorentz ( ) H. Poincaré ( ) Ipotesi sulla contrazione dei corpi in moto e problema della sincronizzazione degli orologi → formulazione delle trasformazioni di Lorentz, necessarie a rendere le equazioni di Maxwell indipendenti dal moto del sistema di riferimento.

Giustificazione ad hoc Fitzgerald e Lorentz ipotizzarono la contrazione delle lunghezze supponendo che, così come accade per le forze elettriche, anche le forze molecolari possano essere influenzate dal moto attraverso l’etere e introdussero il concetto di tempo locale.

Cancellazione dell’etere Numerosi esperimenti non erano stati in grado di mettere in evidenza se l’etere venisse o meno trascinato Tutte le ipotesi aveva insite in sé contraddizioni di carattere teorico

Cinematica relativistica La teoria si basa sulla cinematica del corpo rigido: infatti gli enunciati riguardano i rapporti fra corpi rigidi (sistemi di coordinate), orologi e processi elettromagnetici.

Posizione di un punto materiale · Px = x(t) y = y(t) z = z(t)

Eventi simultanei  Tale descrizione matematica non ha significato se non si chiarisse cosa si intende per ‘tempo’ e quindi cosa si intende per ‘eventi simultanei’  Dico: ‘Quel treno giunge qui alle ore 7’, cioè, ‘Il posizionamento delle lancette del mio orologio sul 7 e l’arrivo del treno sono eventi simultanei’. Vero se devo definire un tempo solo per il luogo ove l’orologio si trova.

Relatività della simultaneità Non più se devo correlare nel tempo eventi che si verificano in luoghi differenti o, il che è lo stesso, stabilire la durata di eventi che si producono in luoghi lontani dall’orologio. Fisica classica ‘due eventi sono simultanei’ indipendente dal sistema di riferimento scelto, dal tipo di evento, dalla distanza a cui gli eventi hanno luogo, ecc. ‘tempo assoluto’

Esempio prima parte Due osservatori A e B vogliano verificare la simultaneità di due eventi. AMB * X + X +

Sincronizzazione degli orologi Due osservatori A e B vogliano verificare la simultaneità di due eventi. AMB *

Condizione necessaria La costanza della velocità della luce è un’ipotesi fondamentale: se ciò non fosse sarebbe impossibile verificare la simultaneità dei due eventi e dovremmo rinunciare a ogni definizione di tempo.

Dalla memoria di Einstein Nel punto A sia collocato un orologio: in A un osservatore fa misure di tempo per eventi che si verificano nelle immediate vicinanze del punto controllando le lancette dell’orologio negli istanti stessi in cui tali eventi si producono. Parimenti per B Se si vuol controllare un evento in A e un evento in B, occorre stabilire che il tempo che la luce impiega nel percorso da A a B è uguale al tempo che essa impiega nel percorso da B a A. AB B A tAtA t A’ tBtB tBtB I due orologi in A e in B sono sincronizzati quando t B – t A = t A’ - t B

Tempo del sistema stazionario Se B è sincronizzato con A, anche A è sincronizzato con B Se A è sincronizzato sia con B che con C allora B e C sono sincronizzati. In tal modo abbiamo dato una definizione di ‘simultaneità’ e di ‘tempo’ Il tempo di un evento è quello indicato, simultaneamente al prodursi dell’evento stesso, da un orologio situato nel luogo dell’evento e sincronizzato, per ogni determinazione temporale, con un ben preciso orologio stazionario. Supporremo allora che la quantità sia una costante universale, la velocità della luce nello spazio vuoto. Il tempo così definito lo chiameremo ‘il tempo del sistema stazionario’

Esempio seconda parte I due eventi, simultanei in S (dove gli osservatori a, B e M sono in quiete, non lo sono in S’ in moto verso B con velocità costante X + X + M’ AB M B B A A M * X

Chi ha ragione?  M: i due eventi sono simultanei; M’ vede prima l’evento B e poi l’evento A perché si muove verso il segnale mandato da B  M’: l’evento B avviene prima dell’evento A; M li vede simultanei perché si muove incontro al segnale mandato da A.

L’uovo di Colombo (Born)  Hanno entrambi ragione: i sistemi di riferimento sono del tutto equivalenti e non ha senso privilegiare l’uno rispetto all’altro.  Cade il concetto di simultaneità: eventi simultanei in un sistema inerziale si verifica in istanti diversi in un altro sistema di riferimento inerziale in moto rispetto al primo.

Causa del ritardo Il pregiudizio newtoniano del tempo assoluto fondato essenzialmente sulla nostra concezione psicologica del tempo e non su prove sperimentali In fisica definire una grandezza equivale a definire un procedimento, reale o ideale, di misura: la simultaneità assoluta non esiste.

Orologio a luce (1) Intervallo di tempo tra due segnali successivi 2h 2h  = c dipende esclusivamente dalla distanza tra LR e S. S h LR S xx h L’R’L-R Orologio in moto con velocità v Lo specchio si muove con L e R. Mentre la luce sale, l’orologio si sposta; la luce arriva al rivelatore viaggiando obliquamente

Orologio a luce (2) S xx h L’R’ L-R  x → spostamento dell’orologio nel tempo di andata e ritorno della luce  t → tempo impiegato dalla luce per far il percorso LSR’  t → tempo segnato dall’orologio di un osservatore fermo nel riferimento del laboratorio  → tempo segnato dall’orologio a luce che si muove rispetto al laboratorio

Il tempo proprio In un riferimento diverso da quello del laboratorio, in cui l’orologio a luce si muove con diverse velocità (2) (2)  non dipende dal sistema di riferimento!  è un invariante

Intervallo spazio temporale  Evento: qualcosa che succede in una certa posizione x ad un certo tempo t (consideriamo per semplicità casi unidimensionali).  Se in S ci sono due eventi spaziati di  x e distanti temporalmente di  t. L’intervallo spazio temporale è

Dilatazione dei tempi La durata di un fenomeno visto in movimento risulta dilatata di un fattore rispetto alla durata dello stesso fenomeno in quiete  x = v  t

I muoni, prima osservazione Vita media2,2·10-6 s Il numero di muoni residui è troppo grande rispetto a quello che ci si dovrebbe aspettare a causa del naturale decadimento.

Albert Einstein 1905

Trasformazioni di Einstein - Lorentz x y z R x’ y’ z’ R’ OO’ v Onda sferica che si propaga con velocità c in S = S’ (1)x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (2)x’ 2 + y’ 2 + z’ 2 = c 2 t’ 2

Inadeguatezza delle trasformazioni di Galilei x’=x-vty’=yz’=zt’=t x 2 - 2xvt + v 2 t 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (2) x’=x-vty’=yz’=z t’=t + kx k costante da determinare x 2 - 2xvt + v 2 t 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 + 2c 2 ktx + c 2 k 2 x 2 (3) TGTG T prova { {

Sostituzioni di prova Per il principio di eguaglianza dei polinomi -2v = 2 c 2 k k=-v/c e la (3) diventa e la (3) diventa

Le trasformazioni di Lorentz Per v«c T E/L → T G T E/L

Confronti (1) Sotto il profilo strettamente quantitativo la meccanica newtoniana come approssimazione di quella einsteiniana. Meccanica relativistica ‘esatta’ e meccanica newtoniana ‘approssimata’ ? NO Entrambe scientificamente accettabili, ognuna con un campo di applicabilità limitato (sistemi di riferimento inerziali) Newton tempo assoluto Einstein misura del tempo relativa al sistema di riferimento

Confronti (2) La relatività einsteiniana si colloca ancora nell’ambito della fisica classica La relatività della misura del tempo non distrugge l’ordine degli eventi quando questi possano essere collegati da qualsiasi azione → il prima e il dopo sono fatti salvi → il prima e il dopo sono fatti salvi → è fatto salvo il principio di causalità → è fatto salvo il principio di causalità

Lo spazio y A z x v B x’ z’ y’ S’  l’ = x’ B - x’ A S  l = x B - x A t B = t A = t

Contrazione delle lunghezze  l misurata in S è la lunghezza del regolo in moto rispetto all’osservatore fermo in S  l’ misurata in S’ è la misura della lunghezza dello stesso regolo fatta da un osservatore che si trova nel sistema di riferimento solidale al regolo

I muoni, seconda osservazione Vita media2,2·10-6 s Il numero di muoni residui è troppo grande rispetto a quello che ci si dovrebbe aspettare a causa del naturale decadimento.

Albert scrive …

I pioni al CERN (1) I pioni (o mesoni  ) possono essere prodotti bombardando mediante protoni di grande energia un opportuno bersaglio. Vita media   = 2,6·10 -8 s Sia v = 0,75 cper la meccanica newtoniana Nel sistema del pione l = v   = 0,75·3·108·2,6·10-8 = 5,85 m

I pioni al CERN (2) Nel sistema del laboratorio per la relatività ristretta l lab = 0,75·3·108·3,9·10-8 = 8,77 m Nel sistema di riferimento del pione: varrà, per il pione la contrazione delle lunghezze. = = 3,9·10-8 s = 5,85 m

Paradosso dei gemelli (1)  Due gemelli A e B  B compia un viaggio spaziale con una velocità prossima a quella della luce verso una stella che dista dalla Terra 10 anni luce e poi ritorni sulla Terra.  Per A, che resta sulla Terra, il viaggio di andata e ritorno dura 20 anni e quindi durante il viaggio del gemello, A invecchia di 20 anni rispetto al tempo misurato sulla Terra

Paradosso dei gemelli (2)  Per B, che supponiamo viaggi con v = 0,99 c, la distanza fra la Terra e la stella, per effetto della contrazione delle lunghezze è d’ = 10 √ 1- 0,992 = 1,4 anni luce  la durata del viaggio misurata dall’orologio di B è quindi di soli 2,8 anni. Quando i due gemelli si ritroveranno alla fine del viaggio, A risulta più vecchio di B di 20 – 2,8 = 17,2 anni

Paradosso dei gemelli (3) Questo è coerente con i principi della teoria, il paradosso è questo: B potrà a sua volta giudicare sé stesso in quiete e ritenere che A abbia compiuto un viaggio di andata e ritorno alla velocità di 0,99c. La dilatazione del tempo è un effetto simmetrico, in quanto ciascuno dei due sistemi in moto relativo vede il tempo scorrere più lentamente sull’altro sistema Applicando lo stesso ragionamento a B ‘in quiete’ e A ‘in viaggio’, alla fine del viaggio B dovrebbe risultare più vecchio di A.

Paradosso dei gemelli (4)  Il ragionamento è fondato sulla simmetria legata alla relatività del moto  Ma in questo caso la simmetria non è rispettata: A si mantiene inerziale per tutta la durata del fenomeno, B subisce tre accelerazioni: in partenza, in inversione, in arrivo: il suo è un sistema accelerato.  I ruoli tra A e B non sono interscambiabili, ogni argomento legato alla reciprocità del moto non è applicabile.

Paradosso dei gemelli (5) L’invecchiamento è un fenomeno di carattere biologico. B biologicamente più giovane di A? I fenomeni biologici potrebbero venire influenzati dal moto in modo tale che l’invecchiamento potrebbe essere lo stesso per entrambi, anche se il tempo ‘fisico’ (la misura del tempo) scorre con ritmo diverso

Addizione delle velocità x y y’ O x’ O’ S S’ P v velocità di P rispetto a S w velocità di S’ rispetto a S u velocità di P rispetto a S’ meccanica classica v = w ± u

Se a viaggiare è il raggio di luce u = c Nessun dubbio sulla costanza della velocità della luce. Il suo valore è una costante universale della fisica Definizione del metro, 1983 Metro campione: distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo pari a 1/ di secondo.

Significato di c costante Tre sorgenti di luce:  una ferma rispetto all’osservatore  una che si avvicina all’osservatore con velocità prossima a c  una che si allontana dall’osservatore con velocità prossima a c per la luce proveniente da ciascuna di queste sorgenti si misura sempre la stessa velocità di propagazione.

Verifica diretta CERN, 1966 Sorgenti mobili di luce i pioni neutri generati in un acceleratore alla velocità 0,99975 c. Queste particelle elementari si disintegrano emettendo raggi  onde elettromagnetiche come la luce La velocità della radiazione emessa da queste velocissime sorgenti è proprio c, entro i limiti degli errori sperimentali, come previsto dal postulato e dalla legge di composizione delle velocità. protoni °°   °→  +   sorgenti di  in moto

Albert dice …

Validità euristica (1) Ogni legge generale della natura deve essere costituita in modo da venire trasformata in una legge avente esattamente la stessa forma quando, in luogo delle variabili spazio-temporali x, y, z, t dell’originario sistema di coordinate k, si introducono nuove variabili spazio- temporali x’, y’, z’, t’ di un sistema di coordinate k’.

Validità euristica (2) Questa è una condizione matematica ben precisa che la teoria della relatività prescrive a una legge naturale; in virtù di ciò la teoria della relatività diventa un valido aiuto euristico nella ricerca delle leggi generali della natura. Se si dovesse trovare una legge generale della natura che non soddisfacesse a questa condizione, allora risulterebbe contraddetta almeno una delle due ipotesi fondamentali della teoria.

I principi della dinamica  Il Principio di inerzia come nella meccanica newtoniana;  Il Secondo principio resta invariato a patto di scriverlo sotto la forma  Dovremo però ridefinire la quantità di moto p.  Il Terzo principio: no come principio di azione e reazione; Conviene prendere la conservazione della quantità di moto.

La quantità di moto relativistica Occorre dare una diversa definizione di p che sia corretta dal punto di vista relativistico. Deve a. godere di una proprietà di conservazione valida in qualunque riferimento inerziale b. identificarsi con la vecchia quando v<<c

L’espressione dell’impulso Non è bene parlare della massa (relativistica) di un corpo in moto, perché non se ne può dare una definizione chiara (non è suscettibile di definizione operativa). Se si vogliono descrivere le proprietà inerziali dei corpi in moto veloce è meglio limitarsi alla massa a riposo m e dare piuttosto le espressioni dell’impulso (quantità di moto) e dell’energia.

L’energia Un caso semplice F v F F v F❍ La variazione dell’energia cinetica è uguale al lavoro che deve compiere una forza esterna per portare il corpo dalla quiete alla velocità v

Ancora un invariante E=  m c 2 (6) P =  m v(7) E 2 -c 2 p 2 =  2 m 2 c 4 – c 2  2 m 2 v 2 E 2 – c 2 p 2 = m 2 c 4 (8) E e p non sono invarianti! E’ invariante la relazione tra energia e impulso! E 2 – c 2 p 2 = E’ 2 – c 2 p’ 2 Da (8) se E = cp→m = 0 Da (6) e (7) se E = cp→v = c Se la massa è nulla la sua velocità è c e non ha riferimento di quiete. Bene per i fotoni! E i neutrini?

E = mc 2  “… questo pensiero è divertente e coraggioso, ma non sono assolutamente in grado di sapere se il Buon Dio ne stia ridendo e mi abbia menato per il naso”

Equivalenza massa - energia Se v = 0E = mc 2  m =  E/ c 2 Se l’energia totale di un sistema varia senza che vari la sua velocità, anche la sua massa varia; La massa di un sistema (corpo macroscopico, particella o sistema di particelle) misura, a meno di un fattore c 2 la sua energia totale quando è fermo. Se, quando è fermo, la sua energia totale varia di  E, la sua massa varia nello stesso senso di  E/ c 2 Se v ≠ 0  m =  E/  c 2 (v costante)

Un unico principio “Prima dell’avvento della relatività, la fisica conosceva due principi di conservazione d’importanza fondamentale, e precisamente il principio di conservazione dell’energia e il principio di conservazione della massa; questi due principi fondamentali sembravano essere completamente indipendenti l’uno dall’altro. Per mezzo della teoria della relatività essi sono stati riuniti in un solo principio”.

Due esempi  Atomo di idrogeno mo = 1,00797 U (938,8 MeV) Per ionizzarlo: 13,58 eV di energia; l’atomo di scinde nelle sue parti componenti (un protone e un elettrone). Variazione relativa della massa a riposo del sistema è: troppo piccola!  Atomo di deuterio mo = 2,01360 U (1876,4 MeV) Per disgregarlo: 2,22 MeV di energia. Variazione relativa della massa a riposo del sistema è: facilmente misurabile. 1 eV = 1,6·10-19 joule; 1 MeV = 106 · eV = 1,6·10-13 joule

Difetto di massa Mesone K°, Particella instabile con una vita media di ~9· s a riposo. K° →  + +  – m  = 498 MeV/c 2 m  = m  = 140 MeV/c 2 Dopo la reazione la somma delle masse è inferiore alla massa del mesone: →difetto di massa. Bilancio energetico: E in = m  c 2 E fin = 2m  c T  m  = 2 m  + 2 T  / c 2 Parte della massa del mesone è andata in energia cinetica dei pioni.

Il significato della formula

Un po’ di numeri! 25 milioni di chilowattora “pesano” un grammo 25 milioni di chilowattora “pesano” un grammo Infatti: 25 milioni di chilowattora = 25·10 6 ·10 3 ·3600 ≈ 9·10 3 joule 9· ·10 13 m = = Kg (3·10 8 ) 2 (3·10 8 ) 2 per fabbricare un grammo di materia, partendo dall’energia, bisogna condensare 25 milioni di chilowattora per fabbricare un grammo di materia, partendo dall’energia, bisogna condensare 25 milioni di chilowattora

I fenomeni elettromagnetici O O’ q + v B  0B = 0 v q+

Un caso semplice (1) Fc = q E(1) Superficie gaussiana  tot =  1 +  2 +  3  1 =  2 = 0  3 = E S = E 2  r l  tot = Q/  o = E 2  r l l r +q S1S1 S2S2 S3S3 FcFc (2)

Un caso semplice (2) F l = q v B(3) per la legge di Biot E Savart l +q FcFc FlFl

Un caso semplice (3) Formule relativistiche Formule relativistiche

Effetto relativistico  La parte di forza agente su q che, secondo la teoria elettromagnetica classica è dovuta alla presenza del campo magnetico, può essere interpretata come conseguenza degli effetti relativistici della dilatazione del tempo e della contrazione delle lunghezze.  Il campo magnetico diventa nient’altro che una modificazione relativistica del campo elettrico.

Diagrammi di Minkowski

Una analogia  Geometria euclidea, la distanza tra due punti è un'invariante: Metodo diretto: Il valore ottenuto è indipendente dal sistema di riferimento. Metodo indiretto: cambiando sistema di coordinate dovrò trovare lo stesso  l Il tempo proprio dell’orologio a luce non dipende dal riferimento in cui si trova chi fa la misura. A B x ll xx y yy

Diagrammi spazio temporali Lo spazio ha una geometria che “somiglia” alla geometria euclidea: invece che una somma di quadrati, compare una differenza di quadrati. In entrambe le geometrie le “distanze” sono invarianti. A B x  xx t tt

Lo spazio quadridimensionale  “Il motivo per cui non siamo abituati a considerare come un continuo quadridimensionale l’universo, preso in questo senso, è dovuto al fatto che nella fisica prerelativistica il tempo aveva una funzione diversa e più indipendente rispetto alle coordinate spaziali. In effetti secondo la fisica classica il tempo è assoluto, cioè indipendente dalla posizione e dallo stato di moto del sistema di coordinate. Ciò risulta espresso dall’ultima equazione della trasformazione galileiano.  E’ stata la teoria della relatività a suggerirci di considerare l’universo come avente quattro dimensioni come mostra la quarta equazione della trasformazione di Lorentz. […].”

Linee di universo Lo spazio ha una geometria che “somiglia” alla geometria euclidea: invece che una somma di quadrati, compare una differenza di quadrati. In entrambe le geometrie le “distanze” sono invarianti. Linea di universo per un moto uniforme x linea di universo di un segnale di luce ct

Diseguaglianza triangolare Se fosse geometria euclidea sarebbe d(A,B) ≤ d(A,C)+d(C,A) Ma è la geometria dello spazio- tempo, con regole diverse La nuova diseguaglianza triangolare è: d(A,B) ≥ d(A,C)+d(C,B) La “distanza” d(A,B) è il tempo proprio Diagramma di Minkowsky t x A B C

Ancora sul paradosso dei gemelli A l’evento partenza, B l’evento arrivo. I due intervalli spazio- temporali sono diversi. Il tempo per il gemello sulla Terra scorre più veloce del tempo del viaggiatore. Diagrammi di Minkowsky A B

A proposito della simultaneità...  Da S a S’ si passa attraverso una rotazione degli assi cronotopici.  Due eventi simultanei in S’ (A e B staranno su una retta parallela all’asse x’) non lo sono in S dove l’evento A accade prima dell’evento B.  In S’’ l’evento B accade prima dell’evento A. x’’ ct’’ ct’ x’ t’’ B t’ A =t’ B A x ct t’’ A B tBtB tAtA

La concezione di Minkowski fu molto importante, perché senza di essa “la teoria della relatività generale sarebbe probabilmente rimasta in fasce”