Studiare una trasformazione geometrica significa prendere in esame i cambiamenti che ha prodotto nella figura trasformata e ciò che invece ha lasciato inalterato. Si chiama trasformazione geometrica un qualsiasi procedimento che permette di ottenere da una figura data F un’altra figura F’ i cui punti sono in corrispondenza biunivoca con quella data. La figura F’ si dice trasformata o corrispondente nella trasformazione considerata. Le proprietà geometriche di una figura (forma, dimensioni e posizione) che in una trasformazione non cambiano prendono il nome di invarianti della trasformazione, quelle che invece cambiano prendono il nome di varianti della trasformazione.

Due figure sono congruenti se sovrapposte coincidono perfettamente. Due figure congruenti hanno le stesse misure, cioè: due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza; Due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza; Due figure piane congruenti hanno la stessa estensione. Possiamo quindi dire che: La congruenza è una relazione fra due figure piane che mantiene invariate la forma e l’estensione. Essa mantiene quindi uguale la lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli corrispondenti, ma ne varia la posizione. Figure congruenti

La congruenza è una particolare trasformazione geometrica che non varia la forma e le dimensioni delle figure ma ne varia la posizione. invarianti varianti Forma Dimensione Posizione Congruenza Tutte le trasformazioni geometriche che, come la congruenza, hanno come invarianti la forma e le dimensioni delle figure prendono il nome di trasformazioni isometriche o isometrie.

Per verificare che due figure sono congruenti, basta spostarne una sull’altra. Spostamenti di questo tipo sono detti movimenti rigidi delle figure e possono essere: Traslazioni Rotazioni Simmetrie

Possiamo considerare due diversi tipi di movimenti rigidi in grado di produrre isometrie: 1.Quelli che si compiono sul piano stesso dove giace la figura, cioè la traslazione e la rotazione, che vengono detti movimenti diretti. 2. Quelli che si compiono uscendo dal piano in cui giacciono le figure, cioè le simmetrie, che vengono detti movimenti inversi.

Consideriamo un segmento orientato, che indicheremo con u; esso ha una lunghezza precisa (modulo), una direzione e un verso di percorrenza. Un segmento di questo tipo si chiama vettore. u modulo direzione verso Dato un punto A e un vettore u, disegniamo il corrispondente A’ di A secondo il vettore u nel seguente modo: Con origine nel punto A disegniamo un segmento uguale, in modulo, direzione e verso, al vettore u; L’estremo di questo segmento è il punto A’, corrispondente di A. A A’ u La traslazione è un movimento diretto individuato da un vettore che ne stabilisce modulo, direzione e verso di spostamento nel piano.

La rotazione è un movimento diretto individuato da un punto fisso O, detto centro di rotazione, e da un angolo orientato che ne stabilisce l’ampiezza e il verso di spostamento nel piano. O 90° B’ A’ C’ A C B Il punto A’ si dice corrispondente di A nella rotazione R. Data la rotazione R, individuata dal centro O e dall’angolo α di ampiezza 90°, proviamo ora a costruire la figura F’, corrispondente di una figura F assegnata, secondo la rotazione R. F F’ Una rotazione stabilisce fra i punti del piano una corrispondenza biunivoca che dà origine a una isometria. Due figure ottenute per rotazione sono direttamente congruenti.

La simmetria assiale è un movimento inverso individuato da una retta a, detta asse della simmetria S a. a A D C B B’ C’ D’ A’ F F’ Data una figura F e un asse, proviamo a disegnare la figura F’ corrispondente di F nella simmetria assiale di asse a. Se proviamo a spostare con il mouse la figura F per sovrapporla alla figura F’, ci accorgiamo che per farle coincidere perfettamente dobbiamo ribaltare la F, F ed F’ sono quindi inversamente congruenti. Possiamo allora dire che: Una simmetria assiale stabilisce fra i punti del piano una corrispondenza biunivoca che dà origine a una isometria. Due figure ottenute per simmetria assiale sono inversamente congruenti.

FiguraNomeAssi di simmetria FiguraNomeAssi di simmetria Triangolo isoscele 1 Rettangolo 2 Triangolo equilatero 3 Quadrato 4 Trapezio isoscele 1 Rombo 2