ITIS AUGUSTO RIGHI_Taranto Disegno e Storia dell’Arte– Prof.ssa Arch. Marianna Nardelli Le Quadriche: Architettura e Rappresentazione Geometrica Giugno 2017

Le Quadriche e l’Architettura: le coperture A partire dagli anni’50 del XX secolo, grazie al progresso scientifico e tecnologico e alla diffusione dell’uso del cemento armato, tra gli architetti si è diffusa la consuetudine di utilizzare le superfici quadriche per coprire ambienti di notevoli dimensioni grazie alle loro caratteristiche formali e strutturali: capacità di realizzare strutture sufficientemente leggere; resistenti per forma; innovativa modellazione dello spazio architettonico. E’ in questo clima che architetti come Antoni Gaudì, Felix Candela, Eduardo Catalano, Le Corbusier, Kenzo Tange e più recentemente Calatrava, ne hanno fatto grande impiego. Assonometria e prospetto di un Mercato coperto progettato dall’Ing.Felix Candela, le cui coperture sono basate sull’applicazione di sezioni accorpate di paraboloidi iperbolici. 1

Le Quadriche e l’Architettura: le coperture Definiamo le coperture a volta, in generale, come tutte le strutture di copertura che, a differenza delle strutture piane che esercitano sui piedritti soltanto sforzi verticali (principio del “trilite”), esercitano su di essi anche spinte orizzontali. Esse sono composte da una superficie inferiore interna denominata “intradosso”, ed una superficie superiore esterna denominata “estradosso”. 2

Le Quadriche e l’Architettura: le coperture Dal lato formale la genesi geometrica delle volte si distingue sia in base agli elementi generatori (rette o curve) e direttori (rette o curve), sia in base alle modalità di formazione (movimento di traslazione, di rotazione, o di rototraslazione) della loro superficie d’intradosso. 3

Le Quadriche e l’Architettura: le coperture Secondo i suddetti criteri, quindi, possiamo classificare le superfici di intradosso delle volte, in base agli elementi costitutivi (generatrici rette o curve), in tal caso saranno formate da “superfici rigate”, caratterizzate dalla presenza di generatrici rettilinee, o da “superfici curve”; o ancora, possiamo classificarle in base alle modalità di formazione, in questo caso saranno composte da “superfici di traslazione”, “superfici di rotazione” e “superfici elicoidali”. 4

Le Quadriche e l’Architettura: le coperture Ulteriore elemento caratterizzante la forma geometrica della superficie d’intradosso di una volta, concerne la curvatura di quest’ultima, che può essere unidirezionale, bidirezionale, ovvero pluridirezionale. Tra le superfici a doppia curvatura sono comprese le quadriche, superfici di second’ordine: ciascun loro punto, individuato tramite le proprie coordinate cartesiane, deve soddisfare un equazione di secondo grado. 5

Le Quadriche e l’Architettura: le coperture Nel campo architettonico la quadrica più utilizzata è il parabolide iperbolico, nella sua forma a sella o mediante l’accostamento di selle o con l’unione di intersezioni di selle per formare coperture del tipo a crociera. Tra l’altro è utilizzato per coperture aventi proiezioni in pianta a forma di quadrilatero sghembo, secondo porzioni delimitate da quattro sue generatrici, creando in tal modo anche soluzioni di forma poligonale mediante quadrilateri accostati. Modelli e schemi di coperture a doppia curvatura utilizzando settori di paraboloide iperbolico e loro accorpamenti. Arch. Frei Otto. 6

Le Quadriche e l’Architettura: le coperture 7

Le Quadriche e l’Architettura: le coperture a sella Cappella di Nostra Signora della Solitudine a Coyoacan, Messico. Progetto della volta parabolica a sella e calcolo strutturale dell’Ing. Felix Candela. 8

Le Quadriche e l’Architettura: le coperture Ristorante Los Manantieles Xochimilco, 1958 Messico. Ing. Felix Candela. 9

Le Quadriche e l’Architettura: le coperture a sella Casa a Raleigh, Nord Carolina, 1953-55 Messico. Arch. Eduardo Catalano 10

Le Quadriche e l’Architettura: Antoni Gaudì "El paraboloide es el padre de toda la Geometrìa" A.Gaudì Casa Milà. Foto, modello e scorcio del desvan 11

Le Quadriche e l’Architettura: Antoni Gaudì Modello di studio per la Scuola della Sagrada Familia (A.Gaudì, 1909) 12

Le Quadriche e l’Architettura: Antoni Gaudì Superfici rigate: Ricostruzione grafica della sezione della Sagrada Familia Superfici rigate: Iperboloide e sua elaborazione nellevolte della Sagrada Familia 13

Le Quadriche e l’Architettura: Antoni Gaudì Superfici rigate: Iperboloide e sua elaborazione nellevolte della Sagrada Familia 14

Le Quadriche e l’Architettura: le coperture a sella Cattedrale di Santa Maria a Tokyo. Arch. Kenzo Tange 15

Le Quadriche e l’Ingegneria industriale: silos, torri e serbatoi Nel campo dell’ingegneria industriale la quadrica più utilizzata è, invece, l’ iperboloide iperbolico, impiegata nella costruzione di silos, torri di raffreddamento e serbatoi. Le torri di Shukhov Prima torre iperboloide dell’Ing. Vladimir Shukhov all’Esposizione Nazionale dell’arte e dell’Industria Russa del 1896, Nizhny Novgorod, Russia 16

Le Quadriche e l’Ingegneria industriale: silos, torri e serbatoi Torre della Radio Russa, Mosca, Russia. Ing. V. Shukhov 17

Le quadriche e la loro definizione geometrica Si definisce quadrica ogni superficie luogo di punti nello spazio le cui coordinate soddisfano un’equazione di secondo grado in tre variabili. La sezione di una quadrica con un piano p risulta essere una conica C. Supposto p reale, i casi saranno 3: C non è reale se p è esterno alla superficie quadrica; C è reale e non degenere se p è secante la superficie; C è degenere quando p è tangente alla superficie. C C p p C è reale ed è un’ellisse C è reale ed è un’iperbole 18

Le quadriche e la loro definizione geometrica I piani tangenti ad una quadrica non degenere sono, quindi, tutti quelli che tagliano la superficie secondo una conica spezzata in due rette tra loro distinte. Se ne deduce che da ogni punto Q della quadrica escono due rette (distinte o coincidenti) che appartengono alla quadrica stessa. A seconda che esse sia reali e distinte, o reali e coincidenti, o immaginarie coniugate, il punto Q si definirà rispettivamente iperbolico, parabolico o ellittico. 19

Le quadriche come “superfici rigate” Per superficie rigata generica si intende una superficie costituita da infinite rette (generatrici) incidenti tre linee, tra loro non complanari, denominate direttrici. Quando una quadrica è formata da classi di rette tutte reali, quindi, essa assume la denominazione di “superficie rigata”. 20

Le quadriche come “superfici rigate” In particolare sono definite quadriche rigate quelle superfici, le cui generatrici incontrano tre rette a due a due sghembe, appartenenti alla stessa classe, denominate direttrici. Avremo quindi: quadriche a punti iperbolici definite rigate non degeneri; quadriche a punti parabolici definite rigate degeneri; quadriche a punti ellittici sono invece supefici non rigate (non degeneri). 21

Superfici rigate non degeneri: Iperboloide iperbolico o ad una falda Definizione L’iperboloide iperbolico o ad una falda può essere generato dalla rotazione di un ramo di iperbole intorno al suo asse trasversale, ovvero dalla rotazione di una retta r, in posizione generica rispetto ad un’altra a, che ne costituisce l’asse, ove r e a, siano tra loro sghembe. Cioè le due rette uscenti da ciascun punto della superficie sono reali e distinte. 22

Superfici rigate non degeneri: Iperboloide iperbolico o ad una falda Gli iperboloidi iperbolici si ottengono, quindi, quando le tre rette direttrici, a due a due sghembe, sono proprie, e non parallele allo stesso piano. 23

Superfici rigate non degeneri: Iperboloide iperbolico o ad una falda Esercitazione 24

Superfici rigate non degeneri: Iperboloide iperbolico o ad una falda Esercitazione Costruzione dell’iperboloide iperbolico in prima e seconda proiezione ortogonale ed in assonometria cavaliera. 25

Superfici rigate non degeneri: Paraboloide iperbolico o a sella Definizione Il paraboloide iperbolico o a sella è una superficie quadrica rigata generata principalmente dalla traslazione di una generatrice curva a parabola lungo una curva direttrice a parabola: la cui sezione verticale genera una parabola e quella orizzontale un’iperbole. 26

Superfici rigate non degeneri: Paraboloide iperbolico o a sella I paraboloidi iperbolici si ottengono, quindi, quando una delle tre rette direttrici è impropria, ovvero quando tutte e tre le direttrici, sebbene a due a due sghembe, sono parallele allo stesso piano. Poiché ogni generatrice deve incontrare la direttrice impropria, tutte le generatrici saranno parallele al piano avente giacitura della direttrice impropria, il quale prenderà il nome di piano direttore. 27

Superfici rigate non degeneri: Paraboloide iperbolico o a sella Esercitazione Costruzione del paraboloide iperbolico in assonometria, sezionato da piani orizzontali e verticali che identificano le differenti sezioni della superficie del paraboloide: le rette (r,s) che definiscono la quadrica rigata, le sezioni a parabola e le sezioni ad iperbole a due rami. 28

Superfici rigate non degeneri: Paraboloide iperbolico o a sella Esercitazione Rappresentazione dei piani principali della quadrica: piano φ della generatrice con giacitura uguale al piano XZ; piano ω della direttrice con giacitura uguale al piano YZ. Sono riportate, inoltre, le tracce r’, s’, t’ e q’ delle coppie di generatrici r,s,t e q che appartengono alle classi di rette che definiscono la quadrica rigata, esse formano in proiezione un rombo e nello spazio un quadrilatero sghembo. 29

Superfici rigate non degeneri: Paraboloide iperbolico o a sella Esercitazione Rappresentazione in proiezione ortogonale di un settore di paraboloide iperbolico, che si proietta sul piano orizzontale in un quadrato, ed è simmetrico rispetto al centro O della terna degli assi principali X,Y,Z. In conclusione la curva tangente all’inviluppo B”D” rappresenta la parabola direttrice ω, mentre la curva tangente all’inviluppo A”C” rappresenta la parabola generatrice φ 30

Superfici rigate degeneri: Coni e Cilindri Definizione Superfici rigate degeneri sono superfici quadriche i cui punti sono punti parabolici: le coppie di rette uscenti da ciascun punto di esse sono reali ma coincidenti. 31

Superfici non rigate: Ellissoide Definizione Gli Ellissoidi sono superfici quadriche non rigate, ma non degeneri, i cui punti sono punti ellittici: le coppie di rette uscenti da ciascun punto di esse sono immaginarie. Ellissoide generico Ellissoide di rotazione 32

Superfici non rigate: Ellissoide Casi particolari delle superfici non rigate ellissoidiche sono gli sferoidi o elissoide di rotazione, generati dalla rotazione di un’ellisse intorno ad un suo asse, e la sfera come caso limite. Sferoide oblato (rotazione intorno all’asse minore) Sfera Sferoide prolato (rotazione intorno all’asse maggiore) 33

Superfici non rigate: Iperboloidi a due falde Definizione Gli Iperboloidi a due falde sono superfici quadriche non rigate i cui punti sono punti ellittici: le coppie di rette uscenti da ciascun punto di esse sono immaginarie. Essi si definiscono a partire da due punti fissati A e B il cui asse è il luogo dei punti P tale che la differenza delle distanze |AP-BP| sia costante. A e B saranno definiti fuochi dell’iperbole. Caso particolare è quello dell’iperboloide rotondo a due falde, generato dalla rotazione dei due rami di iperbole intorno al proprio asse focale. 34

Superfici non rigate: Paraboloidi ellittici Definizione I paraboloidi ellittici sono superfici quadriche i cui punti sono punti ellittici: le coppie di rette uscenti da ciascun punto di esse sono immaginarie. La loro superficie è una superficie quadrica rigata generata principalmente dalla traslazione di una generatrice curva a parabola lungo una curva direttrice a parabola: le cui sezioni verticali generano una curva parabolica, mentre le sezioni orizzontali generano una ellisse. Caso particolare è quello del paraboloide rotondo ellittico, generato dalla rotazione di una parabola intorno al proprio asse. 35