× = × ESEMPI DI LUOGHI GEOMETRICI Luoghi geometrici Luogo geometrico di punti: insieme di tutti e soli i punti che godono della proprietà p. Un luogo di punti è quindi una figura geometrica F i cui punti hanno le seguenti caratteristiche: tutti i punti di F, nessuno escluso, soddisfano p non ci sono altri punti oltre a quelli di F che soddisfano p. ESEMPI DI LUOGHI GEOMETRICI La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo. × = L’asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. ×

Definizione e proprietà Si chiama circonferenza il luogo dei punti del piano che hanno distanza costante da un punto fisso assegnato detto centro. Si chiama cerchio il luogo dei punti del piano che hanno una distanza da un punto fisso, detto centro, minore o uguale ad un numero fisso, detto raggio.

CONSEGUENZE: Condizioni per individuare una circonferenza Per tre punti del piano non allineati passa una e una sola circonferenza. CONSEGUENZE: due circonferenze distinte non possono avere più di due punti di intersezione; infatti se ne avessero tre sarebbero la stessa circonferenza una circonferenza non può avere punti allineati

Elementi della circonferenza e del cerchio Arco: ciascuna delle due parti in cui due punti (A e B) dividono la circonferenza Corda: segmento che congiunge due punti della circonferenza Diametro: corda passante per il centro Si dice che l’arco AB sottende la corda AB. Segmento circolare a una base: parte di cerchio delimitata da una corda e da uno dei due archi che la sottendono. Segmento circolare a due basi: parte di cerchio delimitata da due corde parallele (AB e CD). Angolo al centro: ha il vertice nel centro della circonferenza Settore circolare: parte di cerchio individuata da un angolo al centro Caso particolare:

Proprietà delle corde Ogni corda non passante per il centro è minore del diametro. In una circonferenza l’asse di una corda passa per il centro e la perpendicolare ad una corda passante per il centro è asse della corda stessa. In una circonferenza, ad angoli al centro congruenti corrispondono corde congruenti e archi congruenti e viceversa.

Proprietà delle corde In una circonferenza corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro e corde disuguali non hanno la stessa distanza dal centro, in particolare la corda maggiore ha una distanza minore dal centro. AB > CD OH < OK

Posizioni reciproche tra rette e circonferenze Una circonferenza e una retta hanno al più due punti di intersezione. Una retta è esterna ad una circonferenza se e solo se la sua distanza d dal centro è maggiore del raggio r : d > r Una retta è tangente ad una circonferenza se e solo se la sua distanza d dal centro è congruente al raggio r : d = r Una retta è secante rispetto a una circonferenza se e solo se la sua distanza d dal centro è minore del raggio r : d < r

PA ≅ PB APC ≅ BPC Posizioni reciproche tra rette e circonferenze Proprietà delle rette tangenti. Se da un punto P esterno ad una circonferenza si mandano le tangenti alla circonferenza stessa, i segmenti di tangente sono congruenti e la semiretta di origine P che passa per il centro è bisettrice dell’angolo formato dalle tangenti. PA ≅ PB APC ≅ BPC

Posizioni reciproche tra circonferenze Indichiamo con d la distanza tra i centri di due circonferenze distinte e con r e r’ (con r > r’) i due raggi. Le circonferenze sono: esterne se e solo se d > r + r’ tangenti esternamente se e solo se d ≅ r + r’ secanti se e solo se r – r’ < d < r + r’

Posizioni reciproche tra circonferenze tangenti internamente se e solo se d ≅ r - r’ interne se e solo se d < r − r’ concentriche se e solo se d = 0

Angoli alla circonferenza e angoli al centro Si dice angolo alla circonferenza un angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti oppure uno secante e l’altro tangente (o entrambi tangenti) alla circonferenza. AVB insiste sull’arco AB (in rosso) EPD insiste sull’arco EP (in rosso) All’angolo AVB alla circonferenza che insiste sull’arco AB possiamo associare l’angolo al centro ACB che insiste sullo stesso arco. Esso si costruisce tracciando le semirette che hanno origine nel centro della circonferenza e passano per A e B Teorema. Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.

Poligoni inscritti e circoscritti Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza; la circonferenza si dice circoscritta al poligono. Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; si dice anche che la circonferenza è inscritta nel poligono e il raggio rappresenta l’apotema del poligono. Condizione necessaria e sufficiente perché un poligono sia: inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei suoi lati si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici dei suoi angoli si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza.

Caso dei quadrilateri Nel caso particolare dei quadrilateri oltre alle precedenti condizioni valgono le seguenti: un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha due angoli opposti supplementari A+D = π E+B = π AB + DE ≅ AE + BD un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

Poligoni regolari Un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti si dice regolare. Se un poligono è regolare allora è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza e le due circonferenze inscritta e circoscritta hanno lo stesso centro.

Punti notevoli di un triangolo: Punti notevoli dei triangoli Punti notevoli di un triangolo: gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro, centro della circonferenza circoscritta al triangolo le bisettrici degli angoli interni si incontrano in uno stesso punto, detto incentro, centro della circonferenza inscritta le altezze relative ai lati si incontrano in uno stesso punto, detto ortocentro

AO ≅ 2ON BO ≅ 2OS CO ≅ 2OM Punti notevoli dei triangoli le mediane si incontrano in uno stesso punto, detto baricentro; il baricentro divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell’altra AO ≅ 2ON BO ≅ 2OS CO ≅ 2OM

Le relazioni di proporzionalità ella circonferenza Se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti di una corda sono i medi, i segmenti dell’altra sono gli estremi di una proporzione. Se da un punto esterno si traccino due secanti, una secante e la sua parte esterna sono I medi, l’altra e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione. Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente è il medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna.

La lunghezza della circonferenza Dall’assioma: ogni arco di circonferenza è maggiore della corda che lo sottende e minore della somma dei due segmenti di tangente condotti dagli estremi dell’arco fino al loro punto di intersezione : AB < AB < AP + PB possiamo dedurre che se consideriamo un qualunque poligono inscritto nella circonferenza e un qualunque poligono circoscritto, accade che: il perimetro p del poligono inscritto è minore della lunghezza della circonferenza il perimetro p’ del poligono circoscritto è maggiore della lunghezza della circonferenza Alla lunghezza di una circonferenza possiamo allora associare il segmento che si ottiene considerando il perimetro del poligono in essa inscritto o quello del poligono ad essa circoscritto con un numero infinito di lati; a tale segmento si dà il nome di circonferenza rettificata. Due circonferenze rettificate sono proporzionali ai rispettivi diametri. Indicando con π la costante di proporzionalità

Area del cerchio Analogamente si può definire l’area del cerchio come il “confine” fra le aree dei poligoni inscritti e le aree dei poligoni circoscritti al crescere del numero dei lati. L’area di questi poligoni è: dove p è la misura del semiperimetro del poligono e h è la misura dell’altezza dei triangoli che si formano congiungendo i vertici del poligono con il centro. All’aumentare dei lati del poligono: la misura del perimetro 2p dei poligoni inscritti e circoscritti si avvicina alla lunghezza della circonferenza e quindi 2p = 2πr, da cui p = πr l’altezza h si avvicina sempre di più al raggio per i poligoni inscritti, mentre è uguale al raggio per i poligoni circoscritti. Al crescere del numero dei lati del poligono la sua area vale L’area del cerchio il cui raggio misura r è quindi:

Area del cerchio Dalla proporzionalità fra la misura in gradi degli angoli al centro α e la lunghezza l dei corrispondenti archi si deduce la relazione: Dalla proporzionalità fra la misura in gradi degli angoli al centro α e l’area T dei corrispondenti settori circolari si deduce la relazione: