Matematica ed Arte La Matematica nei Licei non scientifici 18 novembre 2016 Matematica ed Arte Eva Ferrara Dentice - S.U.N. Dipartimento di Matematica e Fisica

“Simmetria” è un concetto intuitivo Nell’arte: L’uomo Vitruviano In natura In architettura: Basilica di Santa Chiara-Napoli In natura http://snowflakebentley.com/

Altre simmetrie… Palazzo della Prefettura-Verona Galleria Umberto I-Napoli Anche queste decorazioni hanno una loro simmetria intrinseca, ma questa è “evidentemente” diversa da quella degli oggetti della diapositiva precedente…

Altre simmetrie… Alhambra-Granada 1240

Ancora simmetrie… Disegno egizio Volta del Mausoleo di Galla Placidia V sec. - Ravenna Copripiumone Bassetti

Simmetria (dal dizionario Zingarelli) 1.(gener.) In un oggetto, un corpo, un insieme, una struttura e sim., disposizione dei vari elementi che lo compongono tale che rispetto ad un dato punto, asse o piano cui si fa riferimento vi sia tra essi piena corrispondenza di forma, dimensione, posizione e sim. 2. (biolog.)Disposizione regolare delle parti di un organismo rispetto ad un piano o ad un asse. Rispondenza nella struttura dei cristalli rispetto a linee rette, o assi o piani. 4. (mus.) Rispondenza di frasi o periodi nel giro delle melodie, o nella qualità degli accordi, o nella durata delle note. 5. Armonia di proporzioni, combinazioni, disposizioni, e sim. 6. (fis.) Proprietà di cui godono i sistemi e le leggi fisiche che si mantengono invariati a seguito di una trasformazione.

ISOMETRIA = applicazione tra i punti che conserva le distanze Un’isometria conserva anche gli angoli, e quindi l’ortogonalità Le simmetrie di un oggetto geometrico X sono le isometrie dello spazio che mutano X in sé.

Le simmetrie di un insieme X costituiscono una struttura algebrica detta Gruppo

Classificazione delle isometrie del piano Chasles (1831) identità traslazione rotazione riflessione glissosimmetria

I gruppi ornamentali del piano T(G)=Traslazioni nel gruppo di simmetrie G T(G)={1}  Rosette Groups T(G)=[tu], u≠0  Frieze Groups T(G)=[tu,tv], {u, v} non paralleli  Wallpaper groups

G={1} G={1, a} G={1, M,π} E’ fissato soltanto dall’identità E’ fissato dalla riflessione a G={1, a} a M E’ fissato dalla rotazione M,π G={1, M,π}

G={1, C,π/2, C,π, C,3π/2 } G={1, a, b, M,π } =[C,π/2] = C4 C =[|2=1=2, ] =D2 M

I gruppi diedrali Dn , n≥3 (Gruppi delle simmetrie dei poligoni regolari) C D3=[, | 2=3=1, =2] =a=C,2π/3 a C D4=[, | 2=4=1, =3] =a=C,π/2 ………. π/n a C Dn=[, | 2=n=1, =n-1] =a=C,2π/n

Come ottenere altri gruppi di poligoni? Fissato un poligono regolare con n lati Si divide in n parti ciascun lato Si fissa un verso di rotazione e si sceglie il secondo n-simo su ogni lato Si costruisce così un poligono di 2n lati C4={1, , 2,3} =C,π/2 ………….. Cn={1, , 2,3, …, n-1} =C,2π/n

Il gruppo delle simmetrie di un poligono con n lati contiene al più 2n simmetrie Un gruppo di simmetrie finito non contiene né traslazioni, né glissosimmetrie Teorema di Leonardo: Un gruppo finito di simmetrie o è un gruppo ciclico o è diedrale Un Rosone ha per gruppo delle simmetrie un gruppo ciclico o diedrale E’ ciclico no Esistono riflessioni? sì E’ diedrale

D3 C2 Santa Chiara-Napoli D2 D4 Musei Vaticani-Roma

C6 D5 D6

Il rosone di santa Chiara ha un motivo Ma se guardiamo anche alle decorazioni pentagonali all’interno dei sei cerchi… C2 Il rosone di santa Chiara ha un motivo centrale a base esagonale, ed un motivo esterno, a doppia base quadrata D6 D4 = D2

D24 Chiesa di Santa Croce-Lecce C8 C3 C4 Marchio XX sec.

Motivo ornamentale paraguaiano XIX sec Motivo ornamentale musulmano C2 C4 Motivo peruviano epoca precolombiana Pianta della Basilica di San Pietro (Bramante) C2 D4

D8 Duomo di Orvieto D3 Basilica di Santa Chiara-Assisi

Fregi Galleria Umberto I-Napoli Palazzo della Prefettura-Verona Villa comunale-Napoli

Fregio (ancora dal dizionario Zingarelli) Fascia ornamentale ad andamento orizzontale; parte della trabeazione compresa tra l’architrave e la cornice, decorata a rilievo con figure o con motivi geometrici o più o meno stilizzati. (arch.) Ogni decorazione, specialmente in rilievo, con andamento orizzontale, a forma di fascia Insieme X di punti del piano contenente una retta c e verificante le seguenti condizioni: 1) Le traslazioni che fissano X costituiscono un gruppo ciclico []. 2) Ogni simmetria di X fissa la retta c.

c ha la direzione del vettore u =tu c è l’asse del fregio c ha la direzione del vettore u =tu u c A N M N’ A1 N1 M1 N’1’ A2 N2 M2 N’2 A3

Come sono fatte le isometrie di un fregio? Sia X un fregio, ed F il suo gruppo delle simmetrie c A A1 M A2 M1 A3 M2 N N1 N2 N’ N’1’ N’2 Le traslazioni di F sono del tipo n Le rotazioni di F hanno centro uno dei punti Ai, Mi ed angolo π. (Ribaltamenti) Le riflessioni di F hanno asse c, oppure una delle rette perpendicolari a c. Anche le glissosimmetrie di F sono “speciali”

F1=[] F2=[] F11=[c] F21=[c] F12=[a] F22=[n] M F2=[] A M F11=[c] A M F21=[c] F12=[a] F22=[n] A M F13=[]

Come classificare il gruppo di un fregio? Contiene glissosimmetrie? Contiene rotazioni? Contiene la riflessione di asse c? F21 Contiene riflessioni di asse ortogonale a c? sì no F22 F2 F11 F12 F13 F1

SSSSSSSSSSSSS DDDDDDDDDDDD F2 Arte precolombiana-Perù Fregio arabo Fascia ornamentale cilena F11 DDDDDDDDDDDD

FFFFFFFFFFFFF AAAAAAAAAAA Fascia decorativa (J. Hoffmann) Fregio tipografico moderno FFFFFFFFFFFFF F1 Fregio egizio Fascia ornamentale fenicia AAAAAAAAAAA F12

Arte indiana F21 IIIIIIIIIIIIIIIII Arte precolombiana MWMWMWMWMW F22

MDWDMDWDMDW Arte minoica, II sec a.C. F13 F1

F1 F2 F12

Gruppi delle carte da parati (Gruppi cristallografici piani) Sono i gruppi delle isometrie piane il cui sottogruppo delle traslazioni è generato da due traslazioni di vettori non proporzionali. Un punto P è un n-centro per un gruppo G di isometrie se le rotazioni di centro P formano un gruppo ciclico Cn. Teorema di Restrizione Cristallografica: Se P è un n-centro di un wallpaper group W, allora n=2,3,4,6. In un gruppo cristallografico piano ci sono rotazioni di angoli p, 2p/3, p/2, p/3.

Teorema di Fedorov (1891) W1 p1 W2 p2 W4 p4 W3 p3 W6 p6 W11 cm W21 cmm Nessun n-centro Solo 2-centri 4-centri Solo 3 centri 6-centri W1 p1 W2 p2 W4 p4 W3 p3 W6 p6 W11 cm W21 cmm W41 p4m W31 p3m1 W61 p6m W12 pm W22 pmm W42 p4g W32 p31m W13 pg W23 pmg W24 pgg

Alhambra-Granada 1240