Giochi Cooperativi - Matching Dipartimento di Economia Alfredo Di Tillio Dipartimento di Economia Università Bocconi

Mercati bilaterali: datori di lavoro – impiegati università – studenti ragazzi – ragazze

Praticanti e Ospedali negli USA

Il praticantato è stato introdotto intorno all’inizio del secolo scorso. La competizione tra ospedali per accaparrarsi i praticanti più bravi portò gli ospedali a proporre contratti sempre più presto. Si finiva col contrattare i praticanti prima ancora di conoscere i loro voti all’università. Questo era ritenuto inefficiente anche dagli studenti che non potevano concentrarsi bene sui loro studi.

Un lieto fine (?) Nel 1945 le scuole di medicina della Association of American Medical Colleges (AAMC) si impegnarono a non fornire agli ospedali alcun tipo di informazione sull’abilità dei loro studenti prima di una certa data.

Un nuovo problema Mancavano regole sul tempo intercorrente tra un’offerta e la decisione di accettarla Gli studenti volevano aspettare il più possibile prima di accettare, nella speranza di ricevere offerte migliori nel frattempo. Gli studenti erano scontenti: erano spinti ad accettare, ma dopo aver accettato spesso ricevevano un’offerta migliore. Gli ospedali volevano spingere gli studenti a decidere in fretta, in modo da avere più tempo per cercare altri candidati in caso di rifiuto. Gli ospedali erano scontenti: alcuni candidati aspettavano molto tempo prima di rifiutare; nel frattempo molti candidati alternativi avevano trovato posto altrove.

Sempre più confusione Nel 1945 si decise che gli ospedali dovevano dare agli studenti almeno dieci giorni per decidere se accettare o rifiutare un’offerta. Nel 1946 si decise che tutte le proposte dovevano essere fatte contemporaneamente (il 1 luglio) e che non si potesse chiedere una decisione prima di una settimana (8 luglio). Nel 1949 la AAMC propose che tutte le offerte dovevano essere fatte per telegramma alle 00:01 del 15 Novembre e che gli studenti non potevano accettarle o rifiutarle prima delle 12:00 dello stesso giorno. Nel 1950 fu esplicitamente indicato che gli ospedali e studenti non potevano far seguito ai telegrammi con telefonate prima delle 12:00.

Una procedura centralizzata Per evitare questi problemi, nel 1951 si decise che era necessaria una procedura centralizzata. Gli studenti avrebbero elencato gli ospedali a cui avevano fatto domanda in ordine di preferenza, e gli ospedali avrebbero analogamente elencato gli studenti. Gli elenchi sarebbero stati poi mandati ad un ufficio centrale che avrebbe usato queste informazioni per assegnare gli studenti agli ospedali e poi informarli del risultato. Questa procedura è stata usata dal 1953 al 1998. Tramite essa sono stati assegnati circa 20,000 dottori all’anno ... La procedura è stata poi cambiata (con effetti minimi) nel 1998.

Ragazze e ragazzi Le preferenze Alice Betta Carla Diana Aldo Bruno 4 1 2 3 4 Aldo 3 4 2 1 3 Bruno 2 1 4 3 1 Carlo 2 1 3 4 2 Diego 1 4 3 2

Dio li fa poi li accoppia Una matrona romana chiese al saggio Yose Halafta: “In quanti giorni Dio ha creato il mondo?” Lui rispose: “In sei giorni, come è scritto, Perché in sei giorni il Signore ha fatto il cielo la terra e il mare …” Lei chiese ancora: “E cosa è stato a fare da allora?” Lui rispose: “Forma coppie, combina matrimoni, assegna al signor A la moglie di A, la figlia di A al signor B, ecc.”

Dio li fa poi li accoppia La matrona disse: “Questa è una cosa che posso fare anch’io! Vedi quanti schiavi e schiave ho? Posso accoppiarli facilmente tutti in una volta.” Lui rispose: “Se secondo te questo è un compito facile, secondo Lui è un compito tanto difficile quanto dividere il Mar Rosso.” A quel punto lui se ne andò. E lei che fece? Fece chiamare mille schiavi e mille schiave, formò due file e ordinò loro: “Lo schiavo A si sposerà con la schiava A; lo schiavo B sposerà la schiava B, ecc.”

Dio li fa poi li accoppia Fece trascorrere una notte alle nuove coppie. La mattina dopo sembrava un campo di battaglia: uno schiavo aveva la testa fracassata, ad uno era stato cavato un occhio, un altro aveva un gomito rotto, un altro ancora aveva una gamba rotta; uno disse: “non voglio questa” un’altra disse: “non voglio questo” . . .

Proviamo a fare matching! Aldo - Alice, Bruno - Betta, Carlo - Carla, Diego - Diana Aldo vorrebbe cambiare Alice (3) con Diana (1). Ma Diana non lascia Diego (2) per Aldo (4). Anche Carla vorrebbe cambiare Carlo (2) con Bruno (1). Ma Bruno non lascia Betta (1) per Carol (4). Diego Carlo Bruno Aldo Alice Betta Carla Diana 4 1 2 3

Proviamo a fare matching! Carlo - Carla, Bruno - Betta, Aldo - Alice, Diego - Diana Ma tra Betta e Carlo è tutta un’altra storia .. Diego Carlo Bruno Aldo Alice Betta Carla Diana 4 1 2 3 Carlo preferisce Betta (1) a Carla (3). Inoltre Betta lascerebbe volentieri Bruno (4) per Carlo (3). 4 Betta e Carlo obiettano a questo matching!

Stabilità di un Matching Un ragazzo e una ragazza obiettano ad un matching se ognuno preferisce l’altro rispetto al partner previsto dal matching. Un matching è stabile se non esistono un ragazzo e una ragazza che obiettano. Esiste sempre un matching stabile? Sì! L’algoritmo di Gale e Shapley (1962) fornisce sempre un matching stabile.

I ragazzi invitano le ragazze Giorno 1: ogni ragazzo invita la sua ragazza preferita. Questo matching è stabile! Ogni ragazza chiede al ragazzo preferito (tra quelli che l’hanno invitata) di tornare il giorno seguente, e manda via gli altri. Giorno 2: i ragazzi invitati a tornare, tornano; quelli mandati via invitano la seconda preferita; le ragazze fanno come sopra. Diego Carlo Bruno Aldo Alice Betta Carla Diana 4 1 2 3 X X X Giorno 3: come sopra. Giorno 4: come sopra.

Riassunto dell’algoritmo Ogni giorno, ogni ragazzo invita la sua ragazza preferita fra quelle che non lo hanno ancora rifiutato. Ogni ragazza rifiuta tutti i ragazzi tranne il preferito. Quali che siano le preferenze, l’algoritmo termina con un matching stabile.

Perché l’algoritmo funziona? Il motivo risiede in due semplici caratteristiche dell’algoritmo. Le ragazze preferite sono passate Se un ragazzo oggi invita una ragazza ma ne preferisce un’altra, ciò vuol dire che ha già invitato quest’ultima in passato, ma è stato rifiutato. I ragazzi futuri non rifiutati sono preferiti Se una ragazza oggi chiede ad un ragazzo di tornare domani, e in futuro chiederà ad un altro ragazzo di tornare il giorno dopo, allora preferisce il secondo ragazzo al primo.

Perché l’algoritmo funziona? Gianni - Maria Marco - Giulia Vediamo se Gianni e Giulia, che non fanno coppia secondo l’algoritmo, possono obiettare. Supponiamo che l’algoritmo abbia fornito queste coppie: Gianni - Maria Marco - Giulia Se Gianni e Giulia non sono d’accordo, allora deve essere che Gianni preferisce Giulia a Maria Siccome le ragazze preferite sono passate, Gianni ha già invitato Giulia, ma lei lo ha rifiutato. Siccome i ragazzi futuri non rifiutati sono preferiti, Giulia preferisce tutti quelli a cui chiede di tornare, dopo aver rifiutato Gianni. Quindi Giulia preferisce Marco a Gianni. Ne segue che Giulia e Gianni non possono obiettare.

I ragazzi invitano le ragazze Le ragazze invitano i ragazzi Giorno 1. Giorno 2. Diego Carlo Bruno Aldo Alice Betta Carla Diana 4 1 2 3 Questo matching stabile è diverso da quello ottenuto quando sono i ragazzi a invitare. - ragazzi invitano - ragazze invitano

Buone notizie per chi invita … Una ragazza è raggiungibile per un ragazzo se esiste un matching stabile in cui essi formano una coppia. Una ragazza che, quando i ragazzi invitano, ha rifiutato un ragazzo, non è raggiungibile per quest’ultimo. Quindi, se i ragazzi invitano, la ragazza assegnata ad un ragazzo dall’algoritmo è la sua preferita fra quelle raggiungibili!

… meno buone per l’invitato ... Buone notizie per chi invita … … meno buone per l’invitato ... Quando sono i ragazzi ad invitare, ciascuna ragazza viene assegnata al ragazzo che lei preferisce meno tra quelli raggiungibili …

Il Club dei Cuori Solitari Supponiamo adesso di avere m ragazze e n > m ragazzi. Qualunque sia il matching stabile raggiunto, n-m ragazzi rimangono senza ragazza. Può accadere che un ragazzo rimanga senza ragazza in un matching stabile, ma abbia una ragazza in un altro matching stabile? Ahimè per gli scapoli, la risposta è: No! I ragazzi senza ragazza sono sempre gli stessi in qualunque matching stabile.

Il Club dei Cuori Solitari Prendiamo un ragazzo che rimane senza ragazza quando sono i ragazzi a invitare. Come abbiamo visto, una ragazza che rifiuta un ragazzo non verrà mai assegnata a lui in un matching stabile. Il ragazzo in questione è stato rifiutato da tutte. Quindi, in ogni matching stabile, nessuna delle ragazze è assegnata a lui. Ciò implica che il gruppo di n-m ragazzi che non sono accoppiati quando sono i ragazzi a invitare è il gruppo di ragazzi che rimangono senza ragazza in qualunque matching stabile.

Non te la tirare troppo… Di chi è la colpa se un ragazzo rimane senza ragazza? Forse lui stesso? Forse troverebbe un partner se cambiasse preferenze? Forse un informatico disoccupato troverebbe lavoro se invece di Google mettesse un locale negozietto di computer in cima alla sua lista di preferenze? No. Cambiare preferenze non cambia la sua posizione in qualunque matching stabile. La sua posizione dipende solo dalle preferenze degli altri!