Derivate parziali prime - Vettore gradiente f si dice derivabile parzialmente in A se ammette derivate parziali in ogni punto di A. Se le derivate parziali sono continue, la funzione si dice differenziabile con continuità o più semplicemente di classe C¹ in A. La derivata parziale della funzione rispetto a x si ottiene derivando la funzione rispetto a x considerando y come costante. Es: f(x,y)=x+5y2-7xy

Derivate parziali prime - Vettore gradiente La derivata parziale della funzione rispetto a y si ottiene derivando la funzione rispetto a y considerando x come costante. Es: f(x,y)=x+5y2-7xy Il vettore avente come componenti le derivate parziali prime di una funzione f(x,y) è detto vettore gradiente e si denota con f(x,y). Es:

Derivate parziali seconde Sia f(x,y) una funzione derivabile parzialmente in ogni punto interno al suo campo di esistenza. Se ogni derivata parziale è a sua volta derivabile rispetto a x e ad y, si dice che la funzione ammette derivate parziali seconde. La derivata parziale di rispetto alla variabile x è denotata con oppure La derivata parziale di rispetto alla variabile y è denotata con oppure Es: f(x,y)=x+5y2-7xy

Derivate parziali seconde La derivata parziale di rispetto alla variabile y è denotata con oppure La derivata parziale di rispetto alla variabile x è denotata con oppure Es: f(x,y)=x+5y2-7xy

Derivate parziali seconde Le derivate parziale seconde , sono dette derivate parziali seconde pure. Le derivate parziale seconde , sono dette derivate parziali seconde miste. Una funzione che ammette derivate parziali prime e seconde continue è detta di classe C2. Per essa si ha:

Derivate parziali seconde Le derivate parziali possono essere raccolte nella seguente matrice detta matrice Hessiana. Es: f(x,y)=2x3-4y2-9xy

Una variabile: il grafico di f è contenuto in R2 Due variabili: il grafico di f è contenuto in R3

Grafico di f. f valutata in un punto f(x,y)=-x2+3x-y2+5y+230 f(10,-5)=110 B=(10,-5,110) A=(10,-5) A=(10,-5) punto del dominio di f B=(10,-5,110) punto del grafico di f

Restrizioni di f f(x,y)=-x2+3x-y2+5y+230 Restrizione di f sulla semiretta uscente da (10,-5), di direzione (-1,1)

Restrizioni di f. f(x,y)=x+xy+30 Restrizione di f sulla retta x=1+2t y=-t f(1+2t,-t)=31+t-2t2 Restrizione di f sulla parabola x=t, y=1/4t2 f(t,1/4t2)=30+ t+1/4t3

Regola della catena A insieme aperto di 2 , f:A I un intervallo aperto di  (x(t),y(t)) A, per ogni tI (t) la restrizione di f su (x(t),y(t)), tI O equivalentemente

Regola della catena O equivalentemente

Regola della catena - Esempi f(x,y)=x+xy+30 Si consideri la restrizione di f sulla curva x(t)=t, y(t)=1/4t2 (t) =f(t, 1/4t2)=30+ t+1/4t3 Applicando la regola della catena si ha:

Regola della catena - Esempi Si consideri la restrizione di f (x,y)=3x+4xy+y3 sulla semiretta x(t)=5-3t, y(t)=1+2t, ovvero (t) =f(5-3t,1+2t)=3(5-3t)+4(5-3t)(1+2t)+(1+2t)3.

Regola della catena - Esempi Applicando la regola della catena si ha:

Endogenous restricted participation Derivata direzionale A insieme aperto di 2 e una funzione f:A un punto (x0,y0) A, una direzione u=(u1,u2)  2 la semiretta uscente da (x0,y0) di direzione u, (x0+tu1, y0+tu2), t≥0 u(t) è la restrizione di f sulla semiretta u(0) è detta derivata direzionale di f in (x0,y0) rispetto alla direzione u

Endogenous restricted participation Derivata direzionale - un esempio f(x,y)=x3-y2+80, (x0,y0)=(1,2), u=(4,1) la semiretta uscente da (1,2) di direzione u=(4,1), (1+4t,2+t), t≥0