SUMMERMATHCAMP TARVISIO, AGOSTO 2017 POLINOMI CICLOTOMICI SUMMERMATHCAMP TARVISIO, AGOSTO 2017

1. POLINOMI IRRIDUCIBILI Cosa sono? Innanzitutto è necessario stabilire in che insieme si lavora, Z, R o C.   Definizione: Un polinomio P a coefficienti in un anello K (insieme dotato di 2 operazioni che gode di certe proprietà) si dice irriducibile in K se non è possibile scriverlo come prodotto di due polinomi a coefficienti in K di grado minore del grado di P. Cambiando l’insieme cambia anche lo studio dell’irriducibilità. Quando compariranno le scritte in rosso sarà richiesta una vostra partecipazione……

Non è irriducibile in Z e quindi nemmeno in R e C. ESEMPI Esempio1. Non è irriducibile in Z e quindi nemmeno in R e C. Esempio2. E’ irriducibile in Z mentre in R e in C non lo è. Esempio3. E’ irriducibile in Z e in R mentre in C non lo è. NB: Ogni polinomio di grado n è scomponibile in n polinomi di primo grado in C (teorema fondamentale dell’algebra) Lavoreremo sull’irriducibilità in Z e sui polinomi del tipo: Scomporre equivale a lavorare sulle radici dell’equazione:

2. RADICI ENNESIME DELL’UNITÀ Partiamo da un esempio: x numero complesso: Forma algebrica: Forma trigonometrica: Forma esponenziale: Coordinate cartesiane: Coordinate polari: Dalla forma trigonometrica alla forma algebrica: Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica: Si può quindi dire che ? Utilizzando strumenti di analisi (serie di McLaurin applicate alle funzioni seno, coseno, esponenziale) si può dimostrare che Da cui, ponendo si ottiene la famosa formula: NB: è una funzione periodica di periodo .

Torniamo al nostro esempio: Se esprimiamo x e 1 in forma trigonometrica e applichiamo le formule di De Moivre otteniamo: Con Al variare quindi di k avremo le seguenti 4 soluzioni Soluzioni Forma trigonometrica Forma algebrica Forma esponenziale Coordinate cartesiane Coordinate polari

Come vengono rappresentate le soluzioni su un piano cartesiano? Se rappresentiamo le soluzioni in un piano cartesiano, possiamo osservare che tali soluzioni sono i vertici di un quadrato che ha centro nell’origine e un vertice in (1;0) Analogamente le soluzioni dell’equazione saranno i vertici di un pentagono regolare che ha centro nell’origine e un vertice in (1;0). Soluzioni: con

ESERCIZIO: Trova le radici ennesime del binomio e fanne il grafico.

3. RADICI PRIMITIVE ENNESIME DELL’UNITÀ Consideriamo il polinomio e la corrispondente equazione ; le soluzioni di tale equazione sono con Si osserva che la soluzione è anche soluzione dell’equazione mentre la soluzione è soluzione della sola equazione iniziale, si dà quindi la seguente definizione: Definizione: Si dicono radici ennesime primitive dell’unità le soluzioni dell’equazione che non siano soluzioni di con . (x=1 è primitiva per il polinomio x-1) Analizziamo l’esempio , la soluzione è anche soluzione dell’equazione , infatti se la si eleva alla terza, si ottiene ( appartiene al triangolo equilatero …..)

Schema generale delle soluzioni di Forma esponenziale Osservazioni E’ soluzione anche di… Grafico

Quindi nel nostro esempio le radici primitive di sono e . In generale si dimostra che: Lemma: le radici primitive ennesime dell’unità sono tutte e sole le radici del tipo con Osservazioni analoghe per Dato n, quante sono le radici primitive dell’unità? Osservazione: le radici primitive si dicono anche cicliche di ordine n, infatti le potenze di queste radici generano tutte le radici di Esempio: dato se si costruiscono le potenze di , si ottiene: … Ciò non accade per radici che non siano primitive (per esempio sarà ciclica di ordine 3 in quanto primitiva di )

Torniamo al problema che ci siamo posti, ossia la scomposizione di un polinomio del tipo in Z. Ora se consideriamo il polinomio e immaginiamo di cercare i fattori del tipo con radice primitiva ennesima, a partire da n=1, e molltiplicarli tra loro, cosa troviamo? Facciamolo insieme Per …. Per …. Per , e sono le radici primitive e quindi (potremmo trovare il polinomio anche per divisione…) …. Per …. Per …. Per …. Ecc… Siamo pronti per una nuova definizione:

4. POLINOMI CICLOTOMICI Definizione: si dice n-esimo polinomio ciclotomico il prodotto: Con Per ogni n esiste un solo ed è irriducibile in Z. Dato n, che grado avrà il suo corrispondente polinomio ciclotomico? Riprendiamo le osservazioni fatte nella pagina precedente per trovare i primi polinomi ciclotomici e fare alcune osservazioni: Per …. Per …. Per …. Per …. Per …. …. Per ….

Si può dedurre anche il seguente…. Teorema: dato , la sua fattorizzazione in polinomi irriducibili in Z sarà data da: con insieme di tutti i divisori positivi di n Quindi: , , utilizzando tale teorema si può formulare una regola induttiva che ci permetta di calcolare i successivi polinomi ciclotomici. Lavorando su un esempio: visto che allora posso quindi ricavarmi conoscendo , e . Cerchiamo di dedurre assieme alcune regole importanti per il calcolo dei polinomi ciclotomici: Se p è primo: perché… 2. Se p è primo: perché… quindi… Ruffini…

3. Se p è primo: perché… ( … Ruffini… ) 4. Se p è primo si può dimostrare che : Quindi per esempio: 5. Se m è dispari >1 si può dimostrare per induzione che : per esempio: NB: m deve essere >1 infatti se m=1, non è uguale a come ci si aspettirebbe, ma 6. Se l’indice è il prodotto tra due numeri primi si ottiene un risultato interessante anche se un po’ complesso da scrivere. Esempio: Usando la divisione tra polinomi

ESERCIZI ESERCIZI: Trova le radici ennesime, le primitive e scomponi in Z il binomio: Fai il grafico. Scomponi in Z: , , , . (NB usa le formule….) In generale come faresti a scomporre ?

5. RIASSUNTO DELLE REGOLE DEL CALCOLO DI E TABELLA FINALE Se p è un numero primo: 1. 2. 3. 4. 5. m dispari > 1 6. p e q primi

Diamo ora una tabella dei primi 15 polinomi ciclotomici: 1 2 3 4 5 6 7 Grado di 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5. RISPOSTE E PROPOSTE DI ESERCIZI Dato n, quante sono le radici primitive dell’unità? Sono tante quanti sono i numeri minori di n coprimi con n e quindi sono uguali alla funzione di Eulero in n, cioè: . Dato n, che grado avrà il suo corrispondente polinomio ciclotomico? Il polinomio ciclotomico è il prodotto di binomi del tipo con radice primitiva ennesima di , sapendo che le radici primitive sono in numero di anche il grado di sarà . NB osserva la terza colonna della tabella precedente. Se p è primo si può dimostrare che : Dimostrazione: sappiamo che ma il denominatore è uguale a quindi e ponendo si trova

Come scomponiamo o o più in generale ? Se lo moltiplichiamo per otteniamo: che sappiamo scomporre… risolviamo uno degli esempi proposti: ESERCIZI: Calcola , , , , . Trova le soluzioni intere dell’equazione: NB Ricorda che, per il piccolo teorema di Fermat, se p è primo qualsiasi sia a e quindi Prova ora a lavorare sul primo membro e su tutti i possibili x….

FINE