MUSICA & FIBONACCI

FIBONACCI NE “IL CODICE DA VINCI” DI DAN BROWN Il professor Langdon, protagonista del libro, è ad Harvard davanti ai suoi studenti del corso “Il simbolismo nell’ arte”. Scrive alla lavagna il suo numero preferito: 1,618. Rapporto tra femmine e maschi in un alveare; Rapporto tra il diametro di una spira e quella successiva del Nautilus (un mollusco cefalopode); Rapporto tra una rotazione delle spirali opposte secondo cui crescono i semi di girasole e la spirale successiva; Rapporto tra l’ altezza di un individuo e la distanza da terra del suo ombelico, rapporto tra la distanza dalla spalla alla punta delle dita e la distanza dal gomito alla punta delle dita, rapporto della distanza dal fianco al pavimento e dal ginocchio al pavimento; Esiste nelle dimensioni del Partenone, delle piramidi egizie e nel palazzo delle nazioni unite; Persino nella musica è presente nelle opere di Mozart, Bartòk, Debussy, Schubert e nella quinta sinfonia di Beethoven.

DIMOSTRAZIONE DEL RAPPORTO AUREO

LEONARDO FIBONACCI Leonardo Pisano (uno dei più grandi matematici di tutti i tempi) nacque in Italia, a Pisa, attorno al 1170. Il padre di Leonardo era Guglielmo Bonacci (da cui Fibonacci, come "figlio di Bonacci"), un mercante pisano. Fibonacci stesso scrive che suo padre, lo tiene con sè in tutti i viaggi in Egitto, in Siria, in Sicilia e in Provenza facendogli frequentare la "scuola di conto" da un maestro musulmano.

Quindi ebbe modo di avere contatti con il mondo dei mercanti e apprendere tecniche matematiche sconosciute in Occidente. Attorno al 1200 Fibonacci torna a Pisa dove scrive alcuni libri. Non abbiamo molte notizie su Leonardo, ma possiamo essere certi che muore dopo il 1240, perché ci sono testimonianze che in quella data egli riceve un onorario di 20 denari, per il servizio dato alla comunità. Nella prima fotografia si può vedere la statua di Fibonacci che si trova a Pisa nel Camposanto. L'altra immagine è quella del francobollo dedicato nel 1999 a Fibonacci dal Commonwealth of Dominica.

LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI In matematica, la successione di Fibonacci, indicata con Fn, è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione  F₁=1 e F₂=1 . Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la seguente regola: F₁=1 F₂=1 Fn = Fn- ₁+ Fn- ₂ (per ogni n>2) Gli elementi sono anche detti numeri di Fibonacci. I primi termini della successione di Fibonacci sono: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…

La successione di Fibonacci è legata al «rapporto aureo» (o «sezione aurea»). Infatti, se vediamo il rapporto tra due numeri adiacenti della successione, questo converge a 1,61803… che è il numero della sezione aurea. 1/1 = 1,0000 2/1 = 2,0000 3/2 = 1,5000 5/3 = 1,6667 8/5 = 1,6000 13/8 = 1,625 21/13 = 1,6154 34/21 = 1690 55/34 = 1,6176 89/55 = 1,6182 144/89 = 1,6180 ………….. RAPPORTO AUREO

La sezione aurea è una delle costanti matematiche più antiche che esistano. È stata definita "sezione aurea", o “rapporto aureo”, proprio perché in architettura sembra essere il rapporto più estetico fra i lati di un rettangolo e si indica con Φ ( dalla lettera iniziale del nome greco dello scultore Fidia). Φ fu descritto da Keplero come uno dei "due grandi tesori della geometria“ (l’altro è il teorema di Pitagora). Non è altro che un semplice rapporto tra grandezze, ma è fondamentale oltre che in geometria, anche in botanica, fisica, zoologia, architettura, pittura e musica!

GEOMETRIA ARCHITETTURA Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire questa figura si disegni un quadrato di lato a, i cui vertici chiamiamo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi si divida il segmento AE in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in A' si disegni un arco che da E intersechi il prolungamento del segmento DF in C. Con una squadra si costruisca il segmento CB perpendicolare ad DF ed il segmento EB, perpendicolare a EF. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale il lato AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea. ARCHITETTURA Pare che questo rapporto fosse noto fin dai tempi degli egizi, poiché si ritrova nello studio delle dimensioni della piramide di Cheope. Analoghe proporzioni si riscontrano ripetutamente anche sul Partenone di Atene e su archi classici.

PITTURA La sezione aurea è anche stata usata ampiamente in pittura: in molti quadri, soprattutto nel Rinascimento, questa proporzione veniva usata moltissime volte all'interno dell'opera. Si dice, ad esempio, che nella rappresentazione di un panorama l'orizzonte debba dividere l'altezza del quadro secondo la sezione aurea, per ottenere un risultato più soddisfacente. La sezione aurea, in quanto legge strutturale del corpo umano,ha conosciuto in Leonardo da Vinci (1452-1519) un geniale assertore, infatti in moltissime sue opere si può ritrovare il rettangolo aureo. Ne “L’uomo vitruviano” Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo. NATURA La sezione aurea è strettamente legata alla successione di Fibonacci, che si compone di una sequenza di numeri 1,1,2,3,5,8,13,21,34… in cui ogni termine è la somma dei due precedenti. Curioso il fatto che il rapporto tra due termini successivi tenda al valore della sezione aurea. I numeri di Fibonacci si ritrovano in natura, nel numero delle spirali dei semi del girasole, dei petali di alcuni fiori, delle scaglie dell’ananas…

MUSICA IN FIBONACCI Possiamo assegnare ad ogni numero una nota musicale scegliendo la scala diatonica di 7 note: DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI. Una successione così armonica come quella di Fibonacci non può non avere una sua precisa natura melodica. Per sentire la melodia dei suoi numeri, è necessario che questi siano convertiti in note musicali. Dato che la successione cresce all’infinito, utilizziamo un semplice strumento matematico – l’operazione di modulo – per adeguarla alle sette note naturali.

ANCHE I NUMERI SANNO SUONARE… Abbiamo ottenuto una sequenza di numeri che variano tra 0 e 6 e che, quindi, possono essere semplicemente trasformati nelle sette note musicali: I numeri della successione dopo l’operazione di modulo e le note musicali corrispondenti :

UNA MELODIA RICORSIVA Continuando nella sostituzione, ci accorgiamo che la sequenza di note si ripete identica ogni 16 note.

Abbiamo ottenuto una melodia ricorsiva che possiamo suonare (per evitare che le note, salendo vorticosamente – insieme a un disegno melodico esteso oltre l’immaginabile –, non risultino più percettibili o comprensibili, le comprimiamo in una sola ottava): Modificando la durata (e l’altezza) di alcune note, si ottiene la seguente melodia:

LAVORO SVOLTO DA: VERGANI MATTEO & SAMMARCHI ANDREA