Il valore della moneta nel tempo Capitolo 4 Il valore della moneta nel tempo © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Contenuti del capitolo 4.1 La linea del tempo 4.2 Le tre regole del trasferimento nel tempo 4.3 Valutazione di una serie di flussi di cassa 4.4 Calcolo del valore attuale netto 4.5 Rendite perpetue, rendite di durata finita e altri casi speciali 4.6 Come risolvere problemi usando il foglio elettronico 4.7 Determinazione di variabili diverse dal valore attuale e dal valore futuro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Obiettivi di apprendimento Tracciare una linea del tempo per un dato flusso di cassa. Descrivere le tre regole del trasferimento nel tempo. Calcolare il valore futuro di : Un singolo flusso di cassa. Un flusso di cassa irregolare, che si manifesta oggi o nel futuro. Una rendita di durata finita , che inizia oggi o nel futuro. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Obiettivi di apprendimento (continua) Flussi di cassa che si manifestano a intervalli regolari e che ogni periodo crescono ad un tasso costante. Calcolare il valore attuale di: Un singolo flusso di cassa. Un flusso di cassa irregolare, che si manifesta oggi o nel futuro. Una rendita perpetua. Una rendita di durata finita , che inizia oggi o nel futuro. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Obiettivi di apprendimento (continua) Dati solo quattro dei cinque input di una rendita di durata finita, deteminare il quinto: (a) valore attuale, (b) valore futuro, (c) numero di periodi, (d) tasso di sconto, (e) rate. Dati solo tre dei quattro input di un singolo flusso di cassa, determinare il quarto: (a) valore attuale, (b) valore futuro, (c) numero di periodi, (d) tasso di sconto. Dati una serie di flussi di cassa e il loro valore attuale o futuro, determinare il loro TIR. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.1 La linea del tempo Una linea del tempo è una rappresentazione lineare della collocazione temporale dei flussi di cassa attesi. Tracciare una linea del tempo dei flussi di cassa è utile per visualizzare il problema finanziario. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.1 La linea del tempo (continua) Supponiamo che un amico ci debba dei soldi e che abbia concordato di restituirci il debito mediante due pagamenti di $10.000 alla fine di ogni anno per i prossimi due anni: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.1 La linea del tempo (continua) Distinguere tra due tipi di flussi di cassa Le entrate sono flussi di cassa positivi. Le uscite sono flussi di cassa negativi, indicati da un segno – (meno). © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.1 La linea del tempo (continua) Supponiamo che prestiate $10.000 oggi e che il prestito vi sarà ripagato in due tranche annue di $6.000. Il primo flusso di cassa alla data 0 (oggi) è indicato come importo negativo perché è un’uscita. Le linee temporali possono rappresentare flussi di cassa che si verificano alla fine di qualsiasi periodo. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.1 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.1 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.2 Le tre regole del trasferimento nel tempo Le decisioni finanziarie spesso richiedono di combinare flussi di cassa o confrontare valori. Tre regole governano questi processi. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

La prima regola del trasferimento nel tempo Un dollaro oggi e un dollaro tra un anno non sono equivalenti. È possibile confrontare o combinare valori soltanto se riferiti allo stesso istante temporale. Che cosa preferireste: ricevere in regalo $1.000 oggi o $1.210 in una data futura? Per rispondere a questa domanda, dovete confrontare le alternative in modo da stabilire quale ha maggior valore. Un fattore da considerare: quanto sono distanti le due date considerate? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

La seconda regola del trasferimento nel tempo Per spostare un flusso di cassa in avanti nel tempo, occorre capitalizzarlo. Supponiamo di poter scegliere tra ricevere $1.000 oggi o $1.210 tra due anni. Riteniamo di poter guadagnare il 10% sui $1.000 oggi, ma vogliamo sapere quanto varranno $1.000 tra due anni. La linea del tempo è la seguente: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

La seconda regola del trasferimento nel tempo (continua) Valore futuro di un flusso di cassa © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Utilizzare il foglio elettronico: le basi Le cinque funzioni finanziarie di Excel: NUM.RATE(TASSO;RATA;VA;VAL.FUT) TASSO(NUM.RATE;RATA;VA;VAL.FUT) VA(TASSO;NUM.RATE;RATA;VAL.FUT) RATA(TASSO;NUM.RATE;VA;VAL.FUT) VAL.FUT(TASSO;NUM.RATE;RATA;VA) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Utilizzare il foglio elettronico: le basi (continua) Foglio di calcolo Excel I flussi di cassa che si muovono in direzioni opposte devono avere segni opposti. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Soluzione del foglio elettronico Input: NUM. RATE = 2 TASSO = 10 VA = 1.000 RATA = 0 Output: VAL.FUT= –1.210 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Figura 4.1 Composizione degli interessi nel tempo © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.2 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.2 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.2 del libro - Soluzione con il foglio elettronico con n = 7 anni Input: NUM. RATE = 7 TASSO = 10 VA = 1.000 RATA = 0 Output: VAL.FUT= –1.948,72 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.2 Per spostare un flusso di cassa in avanti nel tempo, occorre capitalizzarlo. Supponiamo di poter scegliere tra ricevere $5.000 oggi o $10.000 tra cinque anni. Riteniamo di poter guadagnare il 10% sui $5.000 oggi, ma vogliamo sapere quanto varranno $5.000 tra cinque anni. La linea del tempo è la seguente: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.2 (continua) In cinque anni i $5.000 varranno: $5.000 × (1,10)5 = $8.053 Il valore futuro di $5.000 al 10% per cinque anni è $8.053. Sarebbe meglio rifiutare il regalo di $5.000 oggi e accettare i $10.000 tra cinque anni. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.2 - Soluzione con il foglio elettronico Input: NUM. RATE = 5 TASSO = 10 VA = 5.000 RATA = 0 Output: VAL.FUT= –8.052,55 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

La terza regola del trasferimento nel tempo Per spostare un flusso di cassa all’indietro nel tempo, occorre scontarlo. Valore attuale di un flusso di cassa © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.3 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.3 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.3 del libro - Soluzione con il foglio elettronico Input: NUM. RATE = 10 TASSO = 6 VAL.FUT = 15.000 RATA = 0 Output: VA= –8.375,92 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.3 Supponiamo che ci venga offerto un investimento che pagherà $10.000 tra cinque anni. Se ci aspettiamo un rendimento del 10%, qual è il valore di questo investimento? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.3 (continua) Il valore oggi di $10.000 tra cinque anni è: $10.000 ÷ (1,10)5 = $6.209 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.3 - Soluzione con il foglio elettronico Input: NUM. RATE = 5 TASSO = 10 VAL.FUT = 10.000 RATA = 0 Output: VA= –6.209,21 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Applicazione delle regole del trasferimento nel tempo Ricordiamo la prima regola: è possibile confrontare o combinare valori soltanto se riferiti allo stesso istante temporale. Finora abbiamo effettuato soltanto confronti. Supponiamo di voler mettere da parte $1000 oggi e $1000 alla fine di ognuno dei prossimi due anni. Se riceviamo un tasso di interesse fisso del 10% sui nostri risparmi, che somma avremo da qui a tre anni? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Applicazione delle regole del trasferimento nel tempo (continua) La linea del tempo è la seguente: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Applicazione delle regole del trasferimento nel tempo (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Applicazione delle regole del trasferimento nel tempo (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Applicazione delle regole del trasferimento nel tempo (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Applicazione delle regole del trasferimento nel tempo (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.4 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.4 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.4 del libro - Soluzione con il foglio elettronico Possiamo determinare il VAN dell’investimento e poi determinare il suo valore futuro. Input: TASSO = 10 Valore dei pagamenti futuri = 1.000 , 1.000 Output: VAN= 1.735,54 + 1.000 = 2.735,54 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.4 Supponiamo che un investimento paghi $5.000 oggi e $10.000 tra cinque anni. La linea del tempo è la seguente: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.4 (continua) Possiamo calcolare il valore attuale dei flussi di cassa combinati sommando i loro valori. Il valore attuale di entrambi i flussi di cassa è $11.209. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.4 (continua) Possiamo calcolare il valore futuro dei flussi di cassa combinati sommando i loro valori all’anno 5. Il valore futuro di entrambi i flussi di cassa è $18.053. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.4 (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.3 Valutazione di una serie di flussi di cassa Dalla prima regola del trasferimento nel tempo possiamo derivare una formula generale per valutare una serie di flussi di cassa: per trovare il valore attuale di una serie di flussi di cassa, possiamo semplicemente sommare i valori attuali di ciascuno. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.3 Valutazione di una serie di flussi di cassa (continua) Valore attuale di una serie di flussi di cassa © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.5 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.5 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.5 del libro - Soluzione con il foglio elettronico Input: TASSO = 6 Valore dei pagamenti futuri = 5.000 , 8.000 , 8.000 , 8.000 Output: VAN= 24.890,66 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Valore futuro di una serie di flussi di cassa Valore futuro di una serie di flussi di cassa con valore attuale VA © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.5 Problema Qual è il valore futuro fra tre anni dei seguenti flussi di cassa, se il tasso di capitalizzazione è il 5%? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.5 (continua) Soluzione Oppure © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.4 Calcolo del valore attuale netto Il calcolo del VAN di flussi di cassa futuri ci consente di valutare una decisione di investimento. Il valore attuale netto confronta il valore attuale dei flussi in entrata (benefici) e il valore attuale dei flussi in uscita (costi). © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.6 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.6 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.6 del libro - Soluzione con il foglio elettronico Input: TASSO = 10 Valore dei pagamenti futuri = 500, 500, 500 Output: VAN= 1.243,43 – 1.000 = 243,43 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.6 Problema Sareste disposti a pagare $5.000 per la seguente serie di flussi di cassa, se il tasso di sconto è il 5%? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.6 (continua) Soluzione Il valore attuale dei benefici è: 3.000 / (1,05) + 2.000 / (1,05)2 + 1.000 / (1,05)3 = 5.535,04 Il valore attuale del costo è $5.000, perché il flusso di cassa si verifica ora. VAN = VA(benefici) – VA(costi) = 5.535,04 – 5.000 = 535,04 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio altenativo 4.6 - Soluzione con il foglio elettronico Input: TASSO = 5 Valore dei pagamenti futuri = 3.000, 2.000, 1.000 Output: VAN= 5.535,04 – 5.000 = 535,04 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.5 Rendite perpetue, rendite di durata finita e altri casi speciali Una serie di flussi di cassa identici che si manifestano a intervalli regolari e durano per sempre è detta rendita perpetua. Il valore attuale di una rendita perpetua è semplicemente il flusso di cassa diviso per il tasso di interesse. Valore attuale di una rendita perpetua © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.7 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.7 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.7 Problema Volete finanziare una cattedra per una docente di finanza del vostro master. Vorreste attrarre un membro prestigioso della facoltà, per cui ritenete di dover versare un totale di $100.000 l’anno (stipendio, viaggi, banche dati..). Se vi aspettate di ottenere un rendimento del 4% annuo dal finanziamento, quanto avrete bisogno di donare per finanziare la cattedra? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.7 (continua) Soluzione La linea del tempo è la seguente: Si tratta di una rendita perpetua di $100.000 l’anno. La donazione da effettuare per poter finanziare la cattedra corrisponde al valore attuale della rendita. Dovrete donare 2,5 milioni di $ per finanziare la cattedra. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Rendite di durata finita Una serie di N flussi di cassa uguali pagati a intervalli regolari, per un determinato numero di periodi è una rendita di durata finita. Valore attuale di una rendita finita © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Valore attuale di una rendita finita Supponete di investire $100 in un conto bancario che paghi un tasso di interesse del 5%. Supponete, ogni anno, di prelevare gli interessi e di reinvestire i $100. Ipotizzate di chiudere il conto dopo 20 anni. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Valore attuale di una rendita finita (continua) Con l’investimento iniziale di $100 si e creata una rendita di $5 l’anno per 20 anni,oltre ad avere altri $100 tra 20 anni. Quindi: Ri-ordinando i termini: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Valore attuale di una rendita finita (continua) La formula generale: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.8 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.8 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.8 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.8 del libro - Soluzione con il foglio elettronico Input: NUM. RATE = 29 TASSO = 8 VAL.FUT= 0 RATA = 1.000.000 Output: VA= 11.158.406 + 1.000.000 = 12,16 milioni di $ 15 milioni di $ > 12,16 milioni di $, conviene riscuotere i 15 milioni di $ oggi. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Valore futuro di una rendita © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.9 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.9 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.9 del libro - Soluzione con il foglio elettronico Input: NUM. RATE = 30 TASSO = 10% VA= 0 RATA = 10.000 Output: VA= -1.644.940 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Rendita perpetua crescente Supponiamo di attenderci che l’ammontare del pagamento perpetuo aumenti a un tasso costante g. Valore attuale di una rendita perpetua crescente © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.10 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.10 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.10 Problema Nell’Es. Alternativo 4.7 avete pianificato di finanziare una cattedra per una docente di finanza del vostro master, versando una ammontare pari a $100.000 l’anno. Dato un tasso di interesse del 4%, la donazione richiesta era di 2,5 milioni di $. L’Università vi ha chiesto di aumentare la vostra donazione considerando l’effetto dell’inflazione, che si stima pari al 2% annuo. Quanto dovrete donare per soddisfare la richiesta dell’Università? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 4.10 (continua) Soluzione La linea del tempo è la seguente: Il costo delle donazione è di $100.000 che crescono al tasso del 2% l’anno. Si tratta di una rendita perpetua crescente. Dovrete donare 5 milioni di $ per finanziare la cattedra. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Rendita di durata finita crescente Il valore attuale di una rendita di durata finita crescente con flusso di cassa iniziale C, tasso di crescita g e tasso di interesse r è definito come: Valore attuale di una rendita di durata finita crescente © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.11 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.11 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.6 Come risolvere problemi usando il foglio elettronico I fogli elettronici semplificano i calcoli dei problemi relativi al valore della moneta nel tempo. NUM.RATE TASSO VA RATA VAL.FUT © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.12 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.12 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.13 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.13 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.7 Determinazione di variabili diverse dal valore attuale e dal valore futuro Talvolta si conosce il valore attuale o futuro, ma non si conoscono alcune delle variabili che abbiamo precedentemente utilizzato come input. Per esempio, quando si accende un mutuo si potrebbe conoscere la somma che si vuole prendere a prestito, ma non i pagamenti rateali che saranno richiesti per estinguerlo. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.14 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.14 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.7 Determinazione di variabili diverse dal valore attuale e dal valore futuro (continua) In alcune situazioni si conoscono il valore attuale e i flussi di cassa di un’opportunità di investimento, ma non il tasso interno di rendimento (TIR), il tasso di interesse che rende il valore attuale netto dei flussi di cassa uguale a zero. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.15 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.15 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.16 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.16 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

4.7 Determinazione di variabili diverse dal valore attuale e dal valore futuro (continua) Oltre a calcolare i flussi di cassa o il tasso di interesse, si può valutare il tempo che servirà a un importo per aumentare fino a raggiungere un determinato valore. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.17 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 4.17 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Domande di verifica Si possono confrontare o combinare flussi di cassa riferiti a diversi istanti temporali? Come si può calcolare il valore attuale di una serie di flussi di cassa? Quale beneficio riceve un’impresa quando accetta un progetto con VAN positivo? Come si calcola il valore attuale netto di: Una rendita perpetua? Una rendita di durata finita? Una rendita perpetua crescente? Una rendita di durata finita crecente? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino