Le macchine termiche Il primo principio ci offre la possibilità di trasformare energia interna, calore in lavoro meccanico Le macchine che realizzano queste trasformazioni di chiamano “macchine termiche” esempi di macchine termiche: Il motore dell’automobile Le vecchie locomotive a vapore Gli stessi principi vengono utilizzate dai Frigoriferi, condizionatori, pompe di calore DU = 0 Q = W Una espansione isoterma trasforma tutto il calore assorbito dal serbatoio di calore a temperatura T in lavoro meccanico Una volta raggiunta la pressione atmosferica l’espansione si arresta Così anche la produzione di lavoro Occorre riportare il sistema al punto di partenza e ripetere l’espansione La macchina termica deve operare su un ciclo Perché ci sia una reale produzione di lavoro occorre far tornare indietro il sistema lungo una isoterma a temperatura più bassa

Rendimento di una macchina termica Se ritorno indietro lungo una isoterma a temperatura più bassa, il lavoro da effettuare, area in rosa, per riportare il sistema nello stato iniziale è più piccolo di quello ottenuto nella prima fase Nel ciclo si ottiene una produzione netta, positiva, di lavoro del sistema sull’ambiente esterno Il lavoro è rappresentato dall’area racchiusa dal ciclo Se il ciclo viene percorso in verso orario, come è il caso descritto, il lavoro è positivo (il sistema fa lavoro sull’esterno) h g Se il ciclo viene percorso in verso antiorario, il lavoro è negativo, allora è l’ambiente esterno ad effettuare un lavoro sul sistema Si osservi che sulla isoterma if il sistema assorbe un calore Q pari al lavoro effettuato (area sotto la trasformazione, grigia) Nella isoterma gh il calore è negativo, viene ceduto dal sistema all’ambiente esterno Lungo le isocore in una il calore viene assorbito (hi) nell’altra viene ceduto (gf). Si definisce rendimento di una macchina termica il rapporto tra il lavoro prodotto nel ciclo e il calore comunque assorbito nel ciclo:

Macchine termiche che lavorano tra due serbatoi Le macchine termiche sono sistemi termodinamici che descrivono un ciclo C’è una parte del ciclo in cui il sistema assorbe calore da uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno C’è un’altra parte del ciclo in cui il sistema cede calore ad uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno Nel ciclo il sistema esegue un lavoro netto positivo sull’ambiente esterno Un caso particolare di macchina termica è quella che lavora tra due serbatoi Schematizzabile come nella figura a lato La macchina assorbe calore Q1 dal serbatoio a temperatura più elevata T1 Cede il calore Q2 al serbatoio a temperatura inferiore T2 Produce il lavoro W Il rendimento della macchina è dato da W

La macchina e il ciclo di Carnot La macchina di Carnot è una macchina reversibile che opera con due soli serbatoi di calore Il ciclo è costituito da due isoterme (alle temperature T1 e T2) e da due adiabatiche (è l’unica trasformazione reversibile che non richiede ulteriori serbatoi di calore) Nella figura è rappresentato il ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto W Scegliendo il punto b dove far finire l’espansione isoterma, si può variare il lavoro fatto dalla macchina in un ciclo. Tutte le macchine reversibili che operano con due soli serbatoi di calore sono macchine di Carnot Il ciclo può essere percorso da una qualsiasi sostanza: gas perfetto, gas reale, acqua e vapor d’acqua, freon, etc.

Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto Va Vb Trasformazione ab - Espansione isoterma DU=0, Q1=Wab La trasformazione è reversibile: possiamo suddividerla in tratti infinitesimi Il lavoro in ciascun tratto infinitesimo sarà: dW=PdV Il lavoro complessivo Dato che Vb è maggiore di Va (espansione) il lavoro è positivo Il calore Q1 è uguale al lavoro: è anch’esso positivo (calore assorbito)

Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto Va Vb Vc Vd Trasformazione bc - Espansione adiabatica Qbc=0, DUbc =-Wbc La variazione di DU energia del gas perfetto Dato che T2 è più piccolo di T1, DU <0 Il lavoro W è maggiore di zero (il lavoro viene fatto dal sistema sull’ambente esterno Trasformazione cd - Compressione isoterma DU=0, Q2=Wcd Operando come sulla trasformazione ab, otteniamo il lavoro complessivo Dato che Vd è minore di Vc (compressione), il lavoro è negativo Il calore Q2 è uguale al lavoro: è anch’esso negativo (calore ceduto)

Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto Va Vb Vc Vd Trasformazione da - Compressione adiabatica Qda=0, DUda =-Wda La variazione di DU energia del gas perfetto Dato che T2 è più piccolo di T1, DU >0 Il lavoro W è minore di zero (il lavoro viene fatto sul sistema dall’ambente esterno Si osservi che Wda=-Wbc Il lavoro complessivo svolto nel ciclo sarà: W=Wab+Wbc+Wcd+Wda Il calore assorbito nel ciclo è solo Q1=Wab Il rendimento del ciclo di Carnot

Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto Va Vb Vc Vd Vogliamo far vedere che: Moltiplicando tutti i primi membri e tutti i secondi membri tra loro

Il frigorifero w Il ciclo di Carnot è un ciclo reversibile Quindi può essere percorso all’indietro Ma quando una trasformazione viene percorso al contrario Si invertono i segni degli scambi energetici Sicuramente cambia segno DU Ma anche W e Q Quelle che erano le quantità assorbite diventano cedute e viceversa quindi la macchina di Carnot al contrario assorbe il lavoro W assorbe il calore Q2 dal serbatoio più freddo cede la quantità di calore Q1 al serbatoio più caldo Abbiamo realizzato un frigorifero Si definisce coefficiente di prestazione del frigorifero

Il secondo principio della Termodinamica - Enunciato di Kelvin-Plank Le macchine termiche sono sistemi termodinamici che descrivono un ciclo C’è una parte del ciclo in cui il sistema assorbe calore da uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno C’è un’altra parte del ciclo in cui il sistema cede calore ad uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno Nel ciclo il sistema esegue un lavoro netto positivo sull’ambiente esterno W(=Q1) è impossibile realizzare un processo il cui unico risultato sia quello di assorbire calore da un serbatoio e di convertirlo completamente in lavoro. Macchina monoterma

Il secondo principio della Termodinamica - Enunciato di Clausius non è possibile realizzare un processo il cui unico risultato sia quello di far passare del calore da un corpo più freddo ad uno più caldo. Il passaggio di calore da un corpo più freddo ad uno più caldo deve essere sempre accompagnato da qualche altra modifica da qualche altra parte nell’universo Ossia c’è bisogno di un lavoro esterno

Verifica dell’equivalenza tra le due formulazioni Si può vedere che violando una formulazione è violata anche l’altra Supponiamo che esiste una macchina termica che riesca a trasformare tutto il calore estratto da un serbatoio a temperatura T1 in lavoro meccanico. Posso usare questa macchina accoppiandola ad una macchina di Carnot che facciamo lavorare come frigorifero Il lavoro prodotto dalla prima macchina viene utilizzato per far funzionare il frigorifero L’effetto cumulativo delle due macchine è un frigorifero ideale che preleva il calore Q2 dal serbatoio più freddo e lo trasferisce a quello più caldo senza richiedere alcun lavoro dall’esterno Questa macchina viola la seconda formulazione del II principio

Irreversibilità e II principio Il secondo principio della termodinamica ci fa capire perché alcune trasformazioni sono irreversibili Prendiamo il passaggio di calore tra due corpi inizialmente a temperatura differente: Il secondo principio ci impedisce di realizzare la condizione di partenza perché bisogna trasferire del calore da un corpo più freddo ad uno più caldo è per fare questo occorre produrre qualche altra modifica da qualche altra parte nell’universo prendiamo un pendolo messo in oscillazione che dopo un po’ si ferma perdendo la sua energia meccanica in energia interna dell’aria e dei corpi interessati Per rispristinare la situazione iniziale occorrerebbe estrarre dall’aria e dai corpi questa energia interna e ritrasformala, tutta, in lavoro (energia meccanica) Il secondo principio ci impedisce di fare questo: una parte dell’energia non può essere trasformata in lavoro meccanico e deve essere ceduto ad un serbatoio a temperatura più bassa.

Il teorema di Carnot Q’1 Q’2 Tutte le macchine che lavorano tra due termostati hanno un rendimento che è minore, o al massimo uguale, a quello di una macchina di Carnot che lavori tra gli stessi due termostati. tutte le macchine reversibili (tutte le macchine di Carnot) che lavorano tra gli stessi termostati hanno, tutte, lo stesso rendimento. La dimostrazione si fa per assurdo: Supponiamo che esista una macchina X che lavora tra i due termostati a temperatura T1 e T2 che abbia un rendimento maggiore della macchina di Carnot operante tra gli stessi termostati Regolando il ciclo della macchina di Carnot facciamo in modo che il lavoro fatto dalle due macchine in un ciclo sia uguale Consideriamo positive tutte le quantità di calore, per distinguere il calore assorbito da quello ceduto useremo esplicitamente il segno w C

Il teorema di Carnot Q’1 Q’2 w C

Il teorema di Carnot Se combiniamo le due macchine otteniamo una macchina che trasferisce il calore Q=Q2-Q’2 (>0) dal serbatoio a temperatura più bassa a quello a temperatura più alta senza richiedere alcuna altra modificazione nell’universo. Contraddice il secondo Principio della Termodinamica L’ipotesi da cui siamo partiti è falsa. Quindi Dimostrazione della 2a parte Se la macchina X è reversibile allora il suo ciclo può essere invertito e si può scambiare il ruolo della macchina X con quello della macchina di Carnot Ripetendo lo stesso ragionamento a ruoli invertiti otterremo: Le due relazioni precedenti devono essere vere contemporaneamente. Questo accade solo se

Conseguenze del teorema di Carnot Dati due termostati a temperatura diversa, la maniera più efficiente per trasformare calore in lavoro meccanico è quello di utilizzare una macchina di Carnot. il rendimento di una macchina di Carnot è indipendente dalla sostanza impiegata per percorre il ciclo, gas perfetto, gas reale, acqua e vapore d’acqua, freon. etc, dipende solo dalle temperature dei termostati tra cui opera: Abbiamo già calcolato il rendimento di una macchina di Carnot operante con un gas perfetto Tutte le macchine di Carnot operanti tra questi due termostati avranno tutti lo stesso rendimento appena calcolato.

La temperatura termodinamica o assoluta Il teorema di Carnot ci permette di definire una ulteriore scala di temperatura Infatti se prendiamo una macchina di Carnot che opera tra il corpo di cui si vuole conoscere la temperatura e il sistema del punto triplo Dalla definizione di rendimento Il calore scambiato da una macchina di Carnot gioca il ruolo di caratteristica termometrica Questa nuova definizione della temperatura, è equivalente alla scala di temperatura del gas perfetto per tutte le temperature misurabili col gas perfetto Estende fino allo zero assoluto l’intervallo di temperature misurabili, perché all’interno della macchina di Carnot ci possiamo mettere qualunque sostanza.

Un inventore sostiene di aver inventato cinque motori, ciascuno operante tra i serbatoi termici a 400 e 300 K. Per ogni ciclo, i dati di ogni motore sono i seguenti: Qa=200 J, Qc=-175 J, W=40 J Qa=200 J, Qc=-150 J, W=50 J Qa=600 J, Qc=-200 J, W=400 J Qa=100 J, Qc=-90 J, W=10 J Qa=500 J, Qc=-200 J, W=400 J Dire quali dei due principi della termodinamica (eventualmente entrambi) vengono violati da ciascun motore. Nel caso invece entrambi i principi della termodinamica risultino soddisfatti, stabilire se il ciclo è reversibile Applicazione No primo Ok primo, ok secondo, reversibile Ok primo, no secondo Ok primo, ok secondo, non reversibile

Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1. Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto g dei calori specifici del gas. Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione. Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature estreme. Applicazione Questo ciclo è denominato “ciclo Otto” ed è il ciclo secondo cui funziona il motore benzina. Punto 2 Punto 3

Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1. Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto g dei calori specifici del gas. Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione. Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature estreme. Applicazione Punto 4

In un ciclo di Carnot l'espansione isoterma di un gas ideale avviene a 412 K e la compressione isoterma a 297 K. Durante l'espansione il gas assorbe 2090 J di energia termica. Determinare: Il lavoro fatto dal gas durante l'espansione isoterma Il calore ceduto dal gas durante la compressione isoterma Il lavoro fatto sul gas durante la compressione isoterma Il rendimento del ciclo. Applicazione O

Una macchina termica ciclica funziona tra due sorgenti costituite rispettivamente da una massa m di vapore d'acqua a 100°C e da una massa m1=1kg di ghiaccio a 0°C. la macchina preleva calore dalla sorgente calda e viene fatta funzionare finché tutto il ghiaccio si è fuso o il vapore si è liquefatto. la macchina termica sia irreversibile con rendimento h*=0,2: quale deve essere il valore della massa del vapore m se si vuole fondere tutto il ghiaccio? Si dica quale tipo di macchina si deve usare per fondere il ghiaccio facendo liquefare la massa minima di vapore, la massa di vapore più grande possibile (mmax). Si calcoli la variazione di entropia del sistema costituito dalle sorgenti e dalla macchina termica nei tre casi considerati. Si usino i seguenti valori approssimati: calore latente di fusione del ghiaccio lf = 79,7 cal/g, calore di liquefazione del vapore di acqua le = 539 cal/g. Applicazione O

Applicazione P b c V1,P1 a d V0,P0 V Una mole di gas perfetto monoatomico viene utilizzata come sostanza di lavoro di una macchina termica che compie il ciclo mostrato in figura. Si calcoli: Il lavoro fatto dalla macchina in un ciclo. Il calore assorbito per ciclo Il rendimento di una macchina di carnot operante tra la più alta e la più bassa temperatura presenti nel ciclo Si ponga P1=3P0, V1=2V0, P0=1,01x105 Pa e V0=22,5 litri. Applicazione P b c V1,P1 O a d V0,P0 V