Definizione Dati un punto O del piano α e un numero reale k ≠ 0, si dice omotetia di centro O e rapporto k la trasformazione del piano in sé che associa ad ogni punto P di α il punto P’ di α tale che: O, P, P’ siano allineati OP’ ≅ |k| OP P’ appartenga alla semiretta OP se k > 0 (omotetia diretta) P’ appartenga alla semiretta opposta ad OP se k < 0 (omotetia inversa) L’omotetia diretta viene indicata con il simbolo ωo,k, quella inversa con ωo,-k. Se k = 1 l’omotetia coincide con l’identità, infatti quindi P’ coincide con P. Se k = -1 l’omotetia coincide con la simmetria centrale, infatti e i segmenti OP’ e OP sono opposti. 1

Esempio ESEMPIO Dato il triangolo ABC costruiamo A’B’C’ = ωo,-½ (ABC) Il rapporto di omotetia è negativo (-½), quindi i punti omotetici A’, B’, C’ si trovano sulle semirette opposte a OA, OB e OC. OA’ = ½ OA OB’ = ½ OB OC’ = ½ OC Troviamo i corrispondenti dei vertici: 2

3 Proprietà L’omotetia gode delle seguenti proprietà: trasforma un segmento AB in un segmento A’B’ ad esso parallelo tale che A’B’ ≅ |k| AB k > 0 k < 0 trasforma una retta r in una retta r’ ad essa parallela trasforma una semiretta in una semiretta parallela concorde se k > 0, parallela discorde se k < 0 k > 0 k < 0 trasforma un angolo in un angolo ad esso congruente con i lati paralleli e concordi se k > 0, paralleli e discordi se k < 0. 3

4 CONSEGUENZE: Proprietà se due poligoni si corrispondono in una omotetia, allora hanno i lati omologhi paralleli e di rapporto |k| e gli angoli omologhi congruenti. Inoltre: se |k| > 1 si ottiene un ingrandimento della figura se |k| < 1 si ottiene una riduzione se k ≠ 1 il solo punto unito della trasformazione è il centro O ogni retta passante per il centro è unita ma non è una retta di punti uniti il rapporto tra i perimetri di due poligoni omotetici è |k| il rapporto fra le aree di due poligoni omotetici è k2 4

Prodotto di omotetie Componendo due omotetie entrambe di centro O e rapporti rispettivamente h e k si ottiene ancora una omotetia di centro O e rapporto hk. Se le due omotetie hanno centri diversi P e Q, allora: se hk = 1 si ottiene una traslazione 5

Prodotto di omotetie se hk = -1 si ottiene una simmetria centrale il cui centro è allineato con P e Q se |hk| ≠ 1 si ottiene una omotetia di rapporto hk il cui centro è allineato con P e Q 6

7 ESEMPIO Prodotto di omotetie Dato un triangolo ABC e le omotetie ωP,2 e ωQ,⅓, costruiamo A’B’C’ = ωP,2 (ABC) e successivamente A’’B’’C’’ = ωQ,⅓ (A’B’C’). I triangoli A’’B’’C’’ e ABC si corrispondono nell’omotetia di rapporto k = 2 · ⅓ = ⅔ e di centro O, intersezione di AA’’ con BB’’. I punti P, O e Q sono allineati e CC” passa per O. 7

8 ESEMPIO F ~ F’’ Definizione Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria, in qualunque ordine queste trasformazioni vengano applicate. Per indicare che due figure G e G’ sono simili si scrive G ~ G’ ESEMPIO Applichiamo alla figura F una omotetia di centro O e rapporto k e successivamente una simmetria di asse r. F ~ F’’ 8

Proprietà Per la similitudine valgono tutte quelle proprietà che valgono contemporaneamente per una omotetia e per una isometria, quindi, in una similitudine: il rapporto fra segmenti corrispondenti è costante ed è uguale al valore assoluto del rapporto di omotetia; esso prende il nome di rapporto di similitudine e lo indicheremo con k angoli che si corrispondono sono congruenti la figura simile a una retta è una retta se due rette sono parallele anche le loro corrispondenti lo sono e se due rette sono incidenti anche le loro corrispondenti sono incidenti allo stesso modo. Inoltre: due figure omotetiche sono anche simili (l’isometria in questo caso coincide con l’identità) due figure congruenti sono anche simili (l’omotetia ha rapporto k = 1). 9

10 Riconoscere poligoni simili Se due poligoni hanno: i lati ordinatamente proporzionali: gli angoli ordinatamente congruenti: allora sono simili. Per i triangoli esistono inoltre tre criteri di similitudine 10

11 I criteri di similitudine Teorema (I criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti. 11

12 I criteri di similitudine Teorema (II criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo fra essi compreso congruente. 12

13 I criteri di similitudine Teorema (III criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno i tre lati proporzionali. 13

14 ESEMPIO Criteri di similitudine Da un punto M del lato AB di un triangolo ABC tracciamo la parallela al lato BC che incontra in N il lato AC; dimostriamo che i triangoli ABC e AMN sono simili. Hp. MN ║ BC Th. ABC ~ AMN Possiamo condurre la dimostrazione in diversi modi: possiamo dire che i due triangoli si corrispondono nell’omotetia di centro A e che quindi sono anche simili possiamo dire che i due triangoli hanno l’angolo di vertice A in comune ed inoltre, per il teorema di Talete, AM : AB = AN : AC; essi sono quindi simili per il secondo criterio possiamo dire che, essendo MN ║ BC, i lati dei due triangoli sono proporzionali (conseguneza del teorema di Talete) e che essi sono quindi simili per il terzo criterio possiamo dire che i due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti: ANM ≅ ACB e AMN ≅ ABC perché corrispondenti e che essi sono quindi simili per il primo criterio 14

15 Proprietà dei triangoli simili Se due triangoli sono simili con rapporto di similitudine uguale a k: il rapporto fra altezze, mediane, bisettrici omologhe è uguale a k il rapporto tra i perimetri è uguale a k, cioè: il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto di similitudine, cioè: 15

16 Corrispondenza con i teoremi di Euclide Dalla similitudine dei triangoli ABC, ABH e ACH si deduce che: in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa in ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa 16

17 Similitudine e circonferenza Relativamente ad una circonferenza e alle sue corde, secanti e tangenti, valgono le seguenti proprietà: se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti di una corda sono i medi, i segmenti dell’altra corda sono gli estremi di una proporzione CP : BP = AP : DP se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano due secanti, una secante e la sua parte esterna sono i medi, l’altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione PD : PB = PA : PC 17

18 Similitudine e circonferenza se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente è medio proporzionale fra l’intera secante e la sua parte esterna PB : PQ = PQ : PA 18

19 Similitudine e circonferenza r (AC, BD) r (AB, CD) + r (BC, AD) Vale inoltre il teorema di Tolomeo: Teorema. Se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza, il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti del quadrilatero. r (AC, BD) r (AB, CD) + r (BC, AD) E il suo inverso: Se in un quadrilatero il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti, allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza. 19