TEORIA DELLA RELATIVITÀ

La relatività e suddivisa in : ristretta e generale La relatività e suddivisa in : ristretta e generale. La relatività ristretta riguarda i sistemi inerziali,cioè i sistemi in quiete o che si muovono di moto rettilineo uniforme. La relatività generale riguarda i sistemi dotati di accelerazione.

RELATIVITÀ RISTRETTA La teoria della relatività ristretta si basa sui due postulati seguenti: 1° postulato PRINCIPIO DI RELATIVITÀ di Einstein Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi inerziali. È impossibile distinguere con esperimenti fisici due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro. Questo postulato indica che non esistono moti assoluti, ma solamente moti relativi a diversi sistemi di riferimento. Il moto è sempre relativo, non esiste moto assoluto.

2° postulato La velocità della luce nel vuoto è costante in tutti i sistemi inerziali, cioè è indipendente dal moto dell’osservatore e dalla sorgente luminosa. Da questo segue che i fronti d’onda luminosi devono essere sferici. L’equazione della sfera nello spazio è:

dove: con c velocità della luce. Sostituendo si ottiene: Quindi i fronti d’onda luminosi, cioè lo spostamento della luce, devono obbedire all’equazione (1).

TRASFORMAZIONI GALILEIANE Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali S ed S’. S è in quiete e S’ si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v.

y Y’ P S S’ Y’ O O’ x x’ X’ z d=vˑt z’ x

Galilei aveva trovato che le coordinate del punto P in S’ rispetto al sistema S sono date da: Ovviamente le inverse sono:

Verifichiamo se tali trasformazioni sono coerenti con il secondo postulato, cioè se esse danno luogo ad un fronte d’onda luminoso di tipo sferico. Deve risultare: (*) (**) (2)

La (2) non verifica la (1) perché non è l’equazione di una sfera La (2) non verifica la (1) perché non è l’equazione di una sfera. In base alle trasformazioni galileiane, il fronte d’onda visto da S’ non sarebbe sferico; ciò contraddice il postulato iniziale. Dunque le trasformazioni cercate sono altre. Proviamo con le seguenti: con f costante da determinare

Sostituendo t’ nella (*)si ha: (3) Si pongono uguali i termini misti (perché deve risultare l’equazione di una sfera)

Sostituendo nella (3) si ottiene:

moltiplicando e dividendo per affinché si abbia la (1) basterà porre:

Trasformazioni di Lorentz

Verifichiamo che tali trasformazioni soddisfino l’equazione che il fronte d’onda luminoso sia di tipo sferico: Sostituendo risulta:

dividendo tutto per

ma c.d.d.

TRASFORMAZIONI DI LORENTZ INVERSE

si pone: dividendo per e 1 2 3 4 (*) così le trasformazioni diventano:

Le trasformazioni inverse sono:

(1) (**)

Dimostrazione della (1): Si parte dalla (*) (1) (2) e sostituendo nella (2) si ha:

e moltiplicando ambo i membri per

ma infatti: c.d.d.

Dimostrazione (**) Dalla 4* e dalla (1) sostituendo

ma dim. m.c.m.

DILATAZIONE DEI TEMPI

Dimostriamo che la durata di un certo fenomeno non è costante, ma dipende dal sistema di riferimento: l’intervallo di tempo sarà maggiore nel sistema in moto e minore nel sistema in quiete (tempo proprio). Consideriamo un intervallo Δt’ nel sistema in moto nel sistema in quiete

per le trasformazioni di Lorentz e posto quindi dalla (1)

>1 con

Esempio: Supponiamo che un osservatore O a bordo di un’astronave in moto con velocità 0,9 c rispetto ad un sistema S’ (per esempio la Terra), misuri un intervallo di tempo di 1 secondo tra due eventi che avvengono nello stesso punto, per esempio sull’astronave. (Δt =tempo proprio) Calcolare il valore dell’intervallo di tempo Δt’

tra i due eventi misurato da un osservatore O’ che si trova sulla terra.

Secondo l’osservatore sulla Terra l’intervallo di tempo tra i due eventi è oltre il doppio di quello misurato dall’osservatore sull’astronave. Gli orologi in moto rallentano.

CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE

Dimostriamo che la lunghezza di un oggetto in un sistema in moto si contrae nella direzione del moto. S’ S

Consideriamo lo stesso righello posto nel sistema S e S’. La lunghezza del righello nel sistema in quiete è: Nel sistema in moto

per le trasformazioni di Lorentz inverse:

< > Nel sistema in moto la lunghezza perché LA LUNGHEZZA MINORE SI HA NEL SISTEMA IN MOTO, QUELLA MAGGIORE NEL SISTEMA IN QUIETE

La lunghezza di un corpo non è più un invariante, ma dipende dal sistema di riferimento. Esempio: Calcolare la contrazione relativistica di un’astronave di lunghezza 100 m in moto alla velocità di 0,99 c sempre relativamente ad un osservatore sulla Terra.

Paradosso dei gemelli Supponiamo che un gemello viaggi ad una velocità elevata e il suo gemello rimanga a terra. Il suo orologio misura la lunghezza propria del viaggio. Per il fenomeno della contrazione delle lunghezze, per il gemello viaggiatore il percorso da compiere è minore e quindi torna a casa più giovane dell’altro gemello sulla terra. Dal punto di vista del gemello che rimane sulla terra invece, il battito cardiaco del gemello in viaggio (il suo orologio interno) ha un ritmo più lento e quindi torna dallo spazio più giovane.

COMPOSIZIONE RELATIVISTICA DELLA VELOCITA’

S’ S v

Dati due sistemi di riferimento S ed S’ con S’ in moto con velocità v rispetto ad S, consideriamo una particella e chiamiamo la sua velocità rispetto a S’ e la sua velocità rispetto a S Per le trasformazioni di Lorentz si ha:

dividendo numeratore e denominatore per

Oppure la relazione inversa:

Con la formula relativistica della velocità viene superato un paradosso della fisica galileiana, per il quale invece

Consideriamo un osservatore che si muove su una scala mobile con velocità u’, mentre la scala mobile, rispetto alla terra, si muove con velocità v. u’ v u’ velocità dell’osservatore rispetto alla scala mobile v velocità scala mobile Per la relatività galileiana l’osservatore ha, rispetto alla terra, una velocità pari alla somma

ma se pensiamo al seguente esperimento ideale (gedanken): una scala mobile che si muove a velocità v=0,6 c (il 60% della velocità della luce) e una persona che si muove sulla scala mobile a una velocità u’=0,5 c l’osservatore avrebbe rispetto alla terra una velocità: Cioè superiore alla velocità della luce, e ciò contraddice il 2° postulato della R.R.

Con la legge relativistica della velocità si ha invece: che è un valore inferiore a c, come deve essere.

DINAMICA RELATIVISTICA

MASSA RELATIVISTICA La massa relativistica di un corpo non è un’invariante, ma è funzione della sua velocità. (1) dove m0 è la massa del corpo a riposo, ovvero la massa misurata in un sistema in cui il corpo è in quiete.

La (1) prevede che la massa non sia costante, ma aumenti all’aumentare della velocità. per v=c m → ∞ per v<<c m ̃mo quindi la formula relativistica coincide con la previsione classica. Mentre la massa a riposo di un corpo è un’ invariante, non lo è la sua inerzia.

Grafico velocità-massa mo per v=0 у=1 m=mo per v →c у → ∞ m → ∞ c v

Quantità di moto relativistica

LEGGE FONDAMENTALE DELLA DINAMICA La forza e l’accelerazione non sono invarianti relativistici, poiché dipendono dalla velocità del corpo e quindi dal sistema di riferimento in cui sono misurati.

L’equazione (2) dice che è necessaria una forza crescente per accelerare un corpo e che questa forza tende ad infinito quando la velocità del corpo si avvicina a quella della luce. Ritroviamo, in termini dinamici, la velocità limite della luce. La (2) può essere scritta così: se v<< c у ̃ 1 e il primo termine coincide con l’accelerazione classica. Il secondo termine diventa significativo per velocità dell’ordine di c, altrimenti è anch’esso trascurabile (se у ̃ 1 costante la sua derivata è zero.)

ENERGIA RELATIVISTICA Nella meccanica classica l’energia meccanica totale E=K+U Quando l’energia potenziale U=0 E=K cioè l’energia è tutta cinetica. E è l’energia totale relativistica.

ENERGIA CINETICA RELATIVISTICA se

Però E=E0 Cioè il corpo a velocità v=0 possiede una quantità di energia a riposo E0

RELAZIONE TRA QUANTITA’ DI MOTO ED ENERGIA RELATIVISTICA (1) (2) Sottraendo la (2) la (1) si ha: