Insiemi di numeri e insiemi di punti Intorno completo di un punto Si dice intorno completo di un punto x0 ogni intervallo aperto che contiene x0. Un intorno completo di x0 è quindi un intervallo della forma (x0 − δ1, x0 + δ2) con δ1 e δ2 numeri reali positivi; lo indicheremo con il simbolo I(x0). Se poi δ1 = δ2 , allora l’intorno ha la forma (x0 − δ, x0 + δ), è simmetrico rispetto a x0 e viene detto intorno circolare. La differenza tra l’estremo di destra e quello di sinistra dell’intorno rappresenta la sua ampiezza. ESEMPIO L’intervallo (1, 3) è un intorno di , di 2 e di qualunque altro numero compreso tra 1 e 3; è anche un intorno circolare di 2 di semiampiezza 1 in quanto esso si può vedere come (2 −1; 2 +1).

Insiemi di numeri e insiemi di punti Intorno destro e intorno sinistro Intorno sinistro di un punto x0 è ogni intervallo della forma (x0 − δ, x0). Esso viene indicato con il simbolo I−(x0). Intorno destro di un punto x0 è ogni intervallo della forma (x0, x0 + δ). Esso viene indicato con il simbolo I+(x0). ESEMPIO (2,8 ; 3) è un intorno sinistro di 3 (1; 1,4) è un intorno destro di 1

Insiemi di numeri e insiemi di punti Intorni di infinito Intorno di −∞ è un qualunque intervallo aperto della forma (−∞, a). Lo indicheremo con il simbolo I(−∞). Intorno di +∞ è un qualunque intervallo aperto della forma (b, +∞). Lo indicheremo con il simbolo I(+∞). Intorno di ∞, senza precisazione di segno, è l’unione tra un intorno di −∞ e un intorno di +∞. Lo indicheremo con il simbolo I(∞). ESEMPIO L’insieme definito dalla disuguaglianza è un intorno di +∞ perché corrisponde all’intervallo L’insieme definito dalla disuguaglianza è un intorno di −∞ perché corrisponde all’intervallo L’insieme delle soluzioni della disequazione è un intorno di ∞ perché corrisponde all’intervallo cioè all’unione degli intervalli

I punti di accumulazione Considerato un insieme A di numeri reali, diciamo che il punto x0 è di accumulazione per A se ogni intorno completo di x0 contiene infiniti elementi di A. ESEMPIO L’insieme A numeri reali x tali che 4 < x < 12 ha come punto di accumulazione qualunque numero intero reale compreso tra 4 e 12, estremi inclusi. infatti: il punto 4 non appartiene ad A ma è di accumulazione: qualunque intorno completo di 4 contiene infiniti elementi di A. il punto 12, per motivi analoghi, è di accumulazione per A anche se non gli appartiene. per lo stesso motivo tutti i punti di A sono di accumulazione per questo insieme. Il punto 3,9 non è invece di accumulazione perché riusciamo a trovare un intorno di questo punto, per esempio l’intorno (3,8 ; 3,94), che non ha al suo interno elementi di A.

Il limite finito per x  x0 Si dice che Per ogni ε > 0 esiste un intorno completo I del punto x0 tale che risulti per tutti i punti di I eccettuato al più x0.

I(1) Verifica di un limite ESEMPIO Verifichiamo che In questo limite: Dobbiamo quindi verificare che: la disequazione è verificata in un intorno di 1 (escluso al più 1). cioè ha tra le sue soluzioni un intorno di questo punto. Svolgendo i calcoli, dopo aver semplificato per (x-1), otteniamo il sistema: 1 I(1) Tale intervallo costituisce un intorno di 1 per ogni valore di ε (escluso 1) e quindi possiamo affermare che il limite è verificato.

Il limite destro e il limite sinistro Si dice che per ogni ε > 0 esiste un intorno sinistro I−(x0) tale che risulti per tutti i punti di I− eccettuato al più x0. Si dice che per ogni ε > 0 esiste un intorno destro I+(x0) tale che risulti per tutti i punti di I+ eccettuato al più x0.

Il limite infinito per x  x0 Si dice che per ogni M > 0 esiste un intorno completo I del punto x0 tale che risulti per tutti i punti di I eccettuato al più x0. Il caso Il caso Si dice che per ogni M > 0 esiste un intorno completo I del punto x0 tale che risulti per tutti i punti di I eccettuato al più x0.

I(-2) Il limite infinito per x  x0 ESEMPIO Verifichiamo che In questo limite Dobbiamo perciò verificare che la disequazione abbia tra le sue soluzioni un intorno completo di −2, escluso al più il punto 2. Svolgendo i calcoli e tenendo conto che il denominatore è sempre positivo, ad esclusione del punto −2, otteniamo -2 I(-2) Questo intervallo, privato del punto −2, è proprio un intorno di x0. Il limite risulta verificato.

Il limite infinito per x  x0 Il limite destro e il limite sinistro. Anche per i limiti infiniti si può parlare di limite sinistro e limite destro. Considerata una funzione diciamo che:

Il limite infinito per x  x0 ESEMPIO Verifichiamo che Dobbiamo verificare che la disequazione abbia tra le sue soluzioni un intorno destro di 0. Risolviamo la disequazione Studiamo il segno del numeratore e del denominatore: + − Avremmo potuto trascurare lo studio del segno del denominatore in quanto positivo in un intorno destro di zero. La disequazione ha per soluzione l’intervallo che è un intorno destro di 0. Il limite è quindi verificato.

Il limite finito per x  ∞ Il caso Si dice che per ogni ε > 0 esiste un numero N > 0 tale che risulti per tutti gli x che appartengono a un intorno di +∞, cioè che sono maggiori di N. Il caso Si dice che per ogni ε > 0 esiste un numero N > 0 tale che risulti per tutti gli x che appartengono a un intorno di −∞, cioè che sono minori di −N. Se allora diciamo che

Il limite finito per x  ∞ ESEMPIO Verifichiamo che Dobbiamo verificare che la disequazione ha tra le sue soluzioni un intorno di ∞. La disequazione equivale al sistema Il sistema ha come soluzione gli intervalli Il primo di essi è un intorno di −∞, il secondo è un intorno di +∞, quindi insieme essi rappresentano un intorno di ∞. Il limite è verificato.

x tende a +∞ e f (x) ha limite +∞ x tende a +∞ e f (x) ha limite −∞ Il limite infinito per x  ∞ Il limite infinito per Sia una funzione il cui dominio comprende un intorno di infinito. I casi che si possono presentare sono i seguenti: x tende a +∞ e f (x) ha limite +∞ x tende a +∞ e f (x) ha limite −∞ x tende a −∞ e f (x) ha limite +∞ x tende a −∞ e f (x) ha limite −∞

Il limite infinito per x  ∞ Quando Si dice che per ogni M > 0 esiste un numero N > 0 tale che risulti per tutti gli x che sono maggiori di N. Si dice che per ogni M > 0 esiste un numero N > 0 tale che risulti per tutti gli x che sono maggiori di N.

Il limite infinito per x  ∞ Quando Si dice che per ogni M > 0 esiste un numero N > 0 tale che risulti per tutti gli x che sono minori di −N. Si dice che per ogni M > 0 esiste un numero N > 0 tale che risulti per tutti gli x che sono minori di −N.

I(−∞) I(+∞) Il limite infinito per x  ∞ ESEMPIO Affinché il limite sia verificato, la disequazione 2x2 > M deve avere tra le sue soluzioni un intorno di ∞. Risolvendola troviamo I(−∞) I(+∞) L’insieme ottenuto è l’unione di un intorno di −∞ con un intorno di +∞ e rappresenta quindi un intorno di ∞. Il limite è verificato.

I primi teoremi sui limiti Teorema sull’unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Consideriamo le funzioni f (x), g (x) e h (x) e supponiamo che per esse valgano le seguenti ipotesi: tutte siano definite nello stesso intervallo eccettuato al più il punto c di esso; in ogni punto di tale intervallo sia f (x) ≤ h (x) ≤ g (x); esista il limite per delle funzioni f (x), g (x) e sia Allora esiste anche il limite di h (x) ed è

I limiti delle funzioni elementari Con il termine funzione elementare intendiamo le funzioni e le funzioni goniometriche Per esse si dimostra che: Per esempio:

I limiti delle funzioni elementari Nella valutazione del limite di una funzione elementare per si possono incontrare forme che coinvolgono la divisione per zero oppure per ∞. In questi casi occorre ricordare che: Per esempio:

I limiti che non esistono Il limite di una funzione potrebbe non esistere. Ad esempio, non esiste.

I teoremi sul calcolo dei limiti Quando le funzioni hanno entrambi i limiti finiti. Siano f (x) e g (x) due funzioni entrambe definite in un intorno del punto c e sia Allora il limite della somma di due funzioni è uguale alla somma dei loro limiti: il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei loro limiti: In particolare: Se n ≠ 0, il limite della potenza n-esima di una funzione è la potenza del suo limite: il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei loro limiti se il secondo è diverso da zero:

I teoremi sul calcolo dei limiti ESEMPIO

I teoremi sul calcolo dei limiti I precedenti teoremi si riferiscono al solo caso in cui f (x) e g (x) hanno limiti finiti. Che cosa accade quando uno dei due o entrambi sono infiniti? Per la loro valutazione dobbiamo considerare che: se a ∞ aggiungiamo o sottraiamo un numero finito a otteniamo ancora ∞: se moltiplichiamo ∞ per una costante a non nulla otteniamo ancora ∞ con le consuete regole dei segni: se sommiamo due infiniti dello stesso segno otteniamo un infinito dello stesso segno:

I teoremi sul calcolo dei limiti ESEMPIO

La risoluzione delle forme di indeterminazione Ci sono limiti che si presentano in una forma non direttamente valutabile; tali forme vengono dette di indeterminazione e sono le seguenti: ESEMPIO

La risoluzione delle forme di indeterminazione La forma +∞−∞ Per calcolare si raccoglie il termine di grado massimo: si calcola il limite di ciascuna delle frazioni all’interno della parentesi: quindi tende ad a0

La risoluzione delle forme di indeterminazione ESEMPIO Un caso particolare Per risolvere questa forma di indeterminazione moltiplichiamo e dividiamo per la somma dei due termini:

La risoluzione delle forme di indeterminazione La forma Questa forma si presenta, per esempio, nella valutazione del limite per x che tende a infinito del rapporto tra due polinomi. è uguale al limite del rapporto tra i termini di grado massimo ed è:

La risoluzione delle forme di indeterminazione ESEMPI 1. 2. 3.

La risoluzione delle forme di indeterminazione Un esempio più complesso Il limite si presenta nella forma raccogliamo il termine x2 all’interno di ciascun radicale e trasportiamolo fuori dal simbolo di radice:

La risoluzione delle forme di indeterminazione La forma Calcoliamo sia il numeratore che il denominatore tendono a zero. Il limite si presenta quindi nella forma Poiché sia il numeratore che il denominatore sono divisibili per il binomio x − 3, per eliminare la forma di indecisione conviene scomporre numeratore e denominatore e dividere per il fattore comune:

La risoluzione delle forme di indeterminazione La forma Nella maggior parte dei casi questa forma di indeterminazione si risolve modificando opportunamente l’espressione della funzione. Calcoliamo che si presenta nella forma

I limiti notevoli Il primo limite notevole Si dimostra che, se x è misurato in radianti: Da questo limite possiamo dedurre i seguenti:

I limiti notevoli ESEMPI 1. 1 2. 3.

I limiti notevoli Il secondo limite notevole (dove e è la base dei logaritmi naturali) Da questo limite notevole derivano i seguenti:

I limiti notevoli ESEMPI 1. e 2. ln5 3. 1

Successioni e limiti Le definizioni Le successioni sono particolari funzioni definite in N; per esse si può calcolare solo il limite per Diciamo che la successione di termine generale an ha per limite e scriviamo: se: per ogni ε > 0 esiste un indice v tale che sia verificata la relazione per ogni indice n > v. Quando il limite di una successione è un valore finito , diciamo che la successione converge ad

Successioni e limiti Diciamo che la successione di termine generale an ha per limite +∞ e scriviamo: se: per ogni M > 0 esiste un indice v tale che sia verificata la relazione an > M per ogni indice n > v. Quando il limite di una successione è +∞, diciamo che la successione diverge a +∞.

Successioni e limiti Diciamo che la successione di termine generale an ha per limite −∞ e scriviamo: se: per ogni M > 0 esiste un indice v tale che sia verificata la relazione an < −M per ogni indice n > v. Quando il limite di una successione è −∞, diciamo che la successione diverge a −∞.

Successioni e limiti Per il calcolo del limite di una successione volgono gli stessi termini e le stesse regole viste per i limiti delle funzioni. ESEMPI 1. 2. 3.

Successioni e limiti Una successione può non convergere a un numero e non divergere a +∞ o a −∞ in quanto il suo limite per non esiste. Diciamo allora che la successione è irregolare o indeterminata. ESEMPIO La successione è irregolare perché i suoi termini valgono alternativamente 7 e 3 e non esiste quindi il limite per