Fotogrammetria - Lezione 3 Fondamenti analitici Tutti gli algoritmi utilizzati in fotogrammetria analitica si basano su due problemi geometrici fondamentali: - la rototraslazione spaziale - la prospettiva centrale La comprensione approfondita di questi due semplici strumenti matematici è il presupposto essenziale per la soluzione ragionata dei vari problemi che verranno affrontati durante il corso. Per questo dedichiamo questa settimana del corso allo studio di alcuni problemi geometrici semplici. Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 La rotazione nel piano H K Q O R S Si consideri un punto P(x,y) in un sistema di coordinate x,y ruotato di un angolo  rispetto al sistema di coordinate X,Y. Si vogliono determinare le coordinate X e Y di P in quest’ultimo sistema. Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Introducendo i coseni direttori degli assi x,y rispetto al sistema X,Y le relazioni così trovate possono essere riscritte nella seguente forma: Utilizzando la notazione matriciale abbiamo: R è detta matrice di rotazione: è una matrice quadrata, ma non simmetrica, che contiene i coseni direttori degli assi x,y rispetto al sistema X,Y Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 I quattro elementi rik essendo coseni direttori degli assi x, y nel sistema X, Y rappresentano le componenti dei versori i, j degli assi x, y per cui devono soddisfare le seguenti condizioni di ortogonalità e normalizzazione: j = i = Una matrice che soddisfa queste condizioni è detta matrice ortonormalizzata (det R = 1). Poichè i quattro elementi della matrice di rotazione devono soddisfare le tre condizioni di ortogonalità e di normalizzazione, solo un parametro è indipendente: l’angolo di rotazione . Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Per definizione, moltiplicando una matrice quadrata A a sinistra per la sua inversa A-1 si ottiene la matrice unitaria I: A-1·A=I Proviamo ad eseguire il prodotto tra la matrice trasposta della matrice di rotazione e la matrice di rotazione stessa: = I Per le matrici di rotazione vale l’importante proprietà: R-1 = RT Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 I punti riferiti al sistema X, Y possono essere trasformati nel sistema x, y nel seguente modo: ATTENZIONE! Tutte le relazioni viste sono valide per  positivo in senso antiorario. Fotogrammetria - Lezione 3

La rotazione nello spazio Tutte le considerazioni eseguite nel piano possono essere estese allo spazio per trasformare un punto P(x,y,z) in un sistema X, Y, Z, utilizzando i coseni direttori degli assi coordinati Consideriamo i tre versori i, j, k del sistema x, y, z. Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Possiamo definire tre condizioni di ortogonalità e tre condizioni di normalizzazione per i nove elementi della matrice di rotazione R iTi = jTj = kTk = 1 iTj =iTk = jTk = 0 Perciò una rotazione nello spazio è definita da tre parametri indipendenti. In fotogrammetria si adottano di solito i tre angoli di rotazione , ,  attorno agli assi coordinati. Occorre avere ben chiara la sequenza delle rotazioni, come risultano dall’esame di un giunto cardanico:  = rotazione primaria attorno all’asse x  = rotazione secondaria attorno all’asse y  = rotazione terziaria attorno all’asse z Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 La rotazione arbitraria del sistema x, y, z si può considerare come il risultato complessivo delle tre rotazioni prima definite ciascuna considerata positiva se eseguita in senso antiorario quando si guarda in direzione dell’asse corrispondente verso l’origine del sistema di coordinate. Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Supponiamo che il sistema x,y,z, in via di trasformazione, coincida inizialmente con il sistema finale X,Y,Z e ruotiamo la terna x,y,z in tre fasi successive. Rotazione primaria Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Rotazione secondaria Sostituendo questa relazione in quella precedente si ottiene: Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Rotazione terziaria Sostituendo questa relazione in quella precedente si ottiene: Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Il prodotto delle tre matrici parziali si effettua in due fasi R = RR= R = RR= ATTENZIONE! Se si cambia la sequenza delle rotazioni bisogna cambiare di conseguenza la sequenza delle moltiplicazioni delle matrici parziali Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Talvolta è necessario ricavare gli angoli di rotazione a partire dagli elementi della matrice di rotazione spaziale Se r13 > 0 l’angolo  si trova nel primo o secondo quadrante; in caso contrario si trova nel terzo o nel quarto quadrante. Tale ambiguità non esiste nel calcolo degli altri due angoli: Come conseguenza dell’ambiguità dell’angolo  esistono due serie di angoli corrispondenti a una stessa matrice di rotazione spaziale Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Attenzione al caso in cui  = 0! Fotogrammetria - Lezione 3

La prospettiva centrale Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 All’atto della presa, il punto oggetto P, il centro di presa O e il punto immagine P’ giacciono su una stessa retta. Introduciamo un nuovo sistema terreno X’,Y’,Z’, parallelo al sistema immagine  ( = 0 per tutti i punti immagine e  = c per il centro di presa) ma con origine coincidente con quelle del sistema X,Y,Z. Le condizioni di collinearità che esprimono l’allineamento tra i tre punti considerati nel sistema X’,Y’,Z’ sono espresse nel seguente modo: Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Esplicitiamo le coordinate immagine: Le coordinate X’, Y’, Z’ del punto oggetto P e le coordinate X’o, Y’o, Z’o del centro di proiezione possono essere trasformato nel sistema X,Y,Z mediante la matrice di rotazione spaziale R prima definita: Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Quindi moltiplicando a sinistra le ultime relazioni per la matrice RT = R-1 otteniamo le relazioni cercate tra le coordinate immagine e le coordinate terreno: Poiché il sistema X’,Y’,Z’ è parallelo al sistema immagini ,, i termini rik rappresentano: i coseni degli angoli fra gli assi coordinati del sistema immagine e del sistema terreno le funzioni degli angoli , ,  di cui il fotogramma era ruotato, rispetto al sistema terreno, all’atto della presa Fotogrammetria - Lezione 3

Linearizzazione delle equazioni di collinearità (1) Fotogrammetria - Lezione 3

Linearizzazione delle equazioni di collinearità (2) Fotogrammetria - Lezione 3

Fotogrammetria - Lezione 3 Ad ogni punto oggetto corrisponde un punto immagine Ad ogni punto immagine possono corrispondere infiniti punti oggetto Fotogrammetria - Lezione 3