PRIMI CONCETTI DI PROBABILITÀ La probabilità PRIMI CONCETTI DI PROBABILITÀ Scuola Secondaria 1° grado; Argomento: Probabilità - Prob; (30.09.13); Pacchetto: S1.C.1

INDICE Introduzione alla probabilità Eventi casuali Esempi di calcolo della probabilità Valore della probabilità La legge empirica del caso Eventi incompatibili ed eventi compatibili Eventi complementari Eventi composti La probabilità condizionata e gli eventi dipendenti

Introduzione alla probabilità La maggior parte dei fenomeni, ai quali assistiamo quotidianamente, può manifestarsi in vari modi, ma è quasi sempre impossibile stabilire a priori quale di essi si presenterà ogni volta. Se si getta in aria una moneta e si registra il risultato (testa o croce) del lancio, si dice che si è effettuato un esperimento casuale semplice o un esperimento casuale elementare. In effetti prima di effettuare il lancio, entrambi i risultati sono possibili, per cui a priori il risultato dell’esperimento è incerto. Situazioni simili si possono avere gettando in aria un dado, sorteggiando il numero della tombola e via dicendo. 3

Eventi casuali Un evento casuale (o evento aleatorio) può essere: evento impossibile, come quello di estrarre il numero 100 dalla tombola evento certo, come l’uscita di un numero compreso tra 1 e 6 nel lancio di un dado evento possibile, come quello di estrarre una pallina bianca da una scatola contenente sia palline bianche che rosse 4

Definizione classica di probabilità Una prima definizione, che si usa chiamare «classica», è quella che definisce la probabilità di un evento aleatorio come il rapporto tra il numero di casi favorevoli ad esso e quello di tutti i casi possibili, purché essi abbiano la stessa probabilità di verificarsi. 5

Esempi di calcolo della probabilità La probabilità è un numero che si associa a un evento E ed esprime il grado di aspettativa circa il suo verificarsi Facciamo un esempio: se lancio una moneta qual è la probabilità che esca “croce”? I casi possibili sono 2 “testa” o “croce” Il caso favorevole è 1 cioè “croce” La probabilità che esca “croce” sarà 1 su 2, cioè 1/2 6

Esempi di calcolo della probabilità Facciamo un altro esempio: se lancio un dado qual è la probabilità che esca un “numero pari”? I casi possibili sono 6 (tanti quanti sono i numeri che possono uscire) I casi favorevoli sono 3 (cioè può uscire il numero 2, 4 o 6) La probabilità che esca un numero pari 3 su 6, cioè 3/6 7

Dal grado di probabilità alla percentuale La probabilità che un evento si verifichi si può esprimere: Con una frazione, ad esempio 3 su 6: Probabilità=3/6 3= numero di casi favorevoli 6= numero di casi possibili Con un numero decimale che va da 0 a 1. Ad esempio: 3/6= 0,5 Con una percentuale, ad esempio: 3/6= 0,5 0,5x100=50% Infatti 3/6=0,5=50% 8

Valore della probabilità Valore della probabilità (P) P=0 0<P<1 P=1 La probabilità di un evento casuale qualsiasi è sempre un numero compreso fra 0 e 1. La probabilità di un evento casuale certo è 1 La probabilità di un evento casuale impossibile è 0 9

Valore della probabilità Per una adeguata comprensione della relazione tra il verificarsi o meno degli eventi ed i relativi livelli di probabilità possiamo utilizzare la seguente una scala orientativa: Evento impossibile Evento poco probabile Evento incerto Evento molto probabile Evento certo 10

La legge empirica del caso 1/1 La legge più importante del calcolo delle probabilità è la legge empirica del caso o legge dei grandi numeri, che stabilisce una relazione fra la probabilità teorica di un evento e la frequenza statistica con cui quell’evento si verifica. Ad esempio, lanciando una moneta gli eventi possibili sono: E1= «esce testa» e E2= «esce croce» le rispettive probabilità sono: P(E1)= 1/2 e P(E2)= 1/2 Naturalmente non possiamo assolutamente affermare che se eseguiamo due lanci e al primo otteniamo «testa», al secondo avremo sicuramente «croce»! 11

La legge empirica del caso 1/2 Supponiamo di effettuare 10 lanci della moneta e di ottenere 6 volte «testa» e 4 volte «croce», si può affermare che: Il numero di volte che un evento E si è verificato, durante un numero n di prove effettuate, si chiama frequenza assoluta dell’evento. Il rapporto fra la frequenza assoluta dell’evento E e il numero n di prove effettuate si chiama frequenza relativa, F(E) dell’evento: Nel nostro caso possiamo scrivere: «esce testa» P(E1)= 1/2, F(E1)=6/10 «esce croce» P(E2)= 1/2, F(E2)=4/10 12

La legge empirica del caso 1/3 Continuando ad eseguire un numero elevato di lanci si osserva che il valore della frequenza relativa si avvicina al valore della probabilità, pertanto si può affermare che: In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza relativa si approssima sempre più alla probabilità dell’evento stesso. Con l’aumentare del numero di prove tale approssimazione tende a coincidere con la probabilità matematica. Tale definizione riconduce a quella che viene definita concezione frequentista della probabilità. 13

Introduciamo il concetto di eventi incompatibili 1/1 Consideriamo il lancio di un dado ed esaminiamo due eventi possibili: E1: «esce il numero 4» E2 :«esce il numero 1» E’ ovvio che si potrà verificare uno solo dei due eventi, in quanto non possono uscire contemporaneamente, in un solo lancio, il 4 e il 1, quindi il verificarsi di E1 esclude il verificarsi di E2; ma è anche possibile che nessuno dei due si verifichi in quanto possono uscire l’ 3, il 2, il 5 o il 6. Eventi come quelli che abbiamo considerato si dicono incompatibili. Due eventi aleatori E1 e E2 sono incompatibili se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro e può anche accadere che nessuno dei due si verifichi. 14

Eventi incompatibili 1/2 Dati due eventi incompatibili, qual è la probabilità che si verifichi o l’uno o l’altro? Riconsideriamo l’esempio: E1: «esce il numero 4» P(E1)=1/6 E2 :«esce il numero 1» P(E2)=1/6 La probabilità dell’evento «esce il numero 4 o il numero 1» è uguale a : P(E1o E2)=1/6+1/6=2/6=1/3 Dati due eventi aleatori incompatibili, E1 ed E2, la probabilità che si verifichi o l’uno o l’altro è data dalla somma delle probabilità di ciascuno dei due eventi: P(E1o E2)=P(E1)+P(E2) 15

Eventi compatibili 1/1 Consideriamo l’estrazione di una carta da un mazzo di carte napoletane ed esaminiamo due eventi possibili: E1 : «esce una carta di spade» E2 :«esce un asso» I due eventi possono verificarsi contemporaneamente in quanto, se esce l’asso di spade, si verifica sia l’evento E1 (esce una carta di spade), sia l’evento E2 (esce un asso). Eventi come quelli che abbiamo considerato si dicono compatibili. Due eventi aleatori E1 e E2 sono compatibili se il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’ altro, è cioè possibile che si verifichino entrambi contemporaneamente. 16

Eventi compatibili 1/2 Dati due eventi aleatori compatibili, qual è la probabilità che si verifichi uno dei due? Riconsideriamo l’esempio: E1 : «esce una carta di spade» p(E1)=10/40=1/4 E2 :«esce un asso» p(E2)= 4/40=1/10 Per calcolare la probabilità dell’evento «esce una carta di spade oppure un asso» dobbiamo addizionare le due probabilità (E1+E2) e sottrarre la probabilità dell’evento comune E «esce l’asso di spade» con probabilità p(E)=1/40. Per cui la probabilità che si verifichi uno dei due eventi compatibili sarà: P(E1o E2)=P(E1)+P(E2)-P(E)=1/4+1/10-1/40=13/40 Dati due eventi aleatori compatibili, E1 ed E2, la probabilità che si verifichi uno dei due è data dalla somma delle probabilità di ciascuno dei due eventi meno la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi: P(E1o E2)=P(E1)+P(E2)-P(E1e E2) 17

Eventi complementari 1/2 Consideriamo l’estrazione di una lettera da un sacchetto contenente le seguenti lettere: ed esaminiamo due eventi possibili: E1 : «estrarre una consonante» E2 : «estrarre una vocale» I due eventi sono incompatibili: il verificarsi di E1 esclude il verificarsi di E2, però uno dei due si verificherà certamente; infatti l’evento «estrarre una consonante o una vocale» è un evento certo. Eventi come quelli che abbiamo considerato si dicono complementari. S T A T I S T I C A Due eventi casuali E1 e E2 sono complementari se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’ altro, ma uno dei due si verificherà certamente. 18

Eventi complementari 2/2 Riconsideriamo l’esempio «estrazione di una lettera da un sacchetto contenente le lettere S T A T I S T I C A» e calcoliamo le probabilità: E1 : «estrarre una consonante» P(E1)= 6/10 E2 :«estrarre una vocale» P(E2)= 4/10 Se consideriamo l’evento E: «estrarre una consonante o una vocale», otteniamo un evento certo, per il quale quindi deve essere P(E)=1; eseguendo la somma delle probabilità otteniamo infatti: P(E)=P(E1)+P(E2)=6/10+4/10=1 Due eventi complementari sono sempre incompatibili, ma due eventi incompatibili non sono necessariamente complementari. La somma delle probabilità di due eventi complementari è uguale a 1. P(E)=P(E1)+P(E2)=1 19

E1,1=(T, T); E1,2=(T, C); E2,1=(C, T); E2,2=(C,C) Eventi composti Lanciando una moneta si possono verificare due eventi semplici E1 = Testa ; E2 = Croce Lanciando la stessa moneta due volte, sono possibili i seguenti eventi E1,1=(T, T); E1,2=(T, C); E2,1=(C, T); E2,2=(C,C) Un evento che può essere suddiviso in eventi semplici è un evento composto 20

La probabilità di eventi indipendenti tra loro Un evento E2 è indipendente da un evento E1 se il verificarsi di E1 non altera la probabilità che E2 ha di manifestarsi. Se consideriamo un’urna contenente 10 palline, numerate da 1 a 10, la probabilità che estraendone una si abbia la pallina n°3 o la pallina n°10 è 1/10. Se si estrae la pallina n°3 e la si rimette nell’urna, la probabilità di estrarre la n°8 ad una seconda estrazione è ancora 1/10 per cui i due eventi sono indipendenti detti anche «processi senza memoria» Il sorteggio con ripetizione (cioè con reimmissione) dà luogo ad eventi indipendenti, poiché la composizione dell’urna rimane la stessa nelle varie estrazioni successive e la probabilità degli eventi considerati non si altera 21

La probabilità di eventi dipendenti tra loro Se però la pallina n°3 sorteggiata non si rimette nell’urna, la probabilità di estrarre la n°8 al secondo sorteggio diventa 1/9. La probabilità quindi si è modificata e gli eventi sono diventati dipendenti Il sorteggio senza ripetizione dà luogo ad eventi dipendenti 22

La probabilità condizionata 1/2 Quando gli eventi sono dipendenti bisogna introdurre il concetto di probabilità condizionata Si supponga con riferimento a due eventi E1 ed E2 di sapere che E1 si sia già verificato: se si vuole conoscere la probabilità che verrà indicata con P(E2|E1), che l’evento E2 si verifichi subordinatamente alla condizione che si sia verificato E1, qual è il valore di questa probabilità? Riprendiamo il precedente esempio delle estrazioni successive, ma senza reimmissione delle palline n°3 e n°8: la probabilità dell’evento P(E2 e E1) = 1/90 poiché i casi possibili sono 90 ( essi si ottengono associando ognuna delle 10 palline della prima estrazione con ognuna delle 9 rimanenti della seconda) mentre si ha un solo caso favorevole (uscita del n° 3 alla prima estrazione e del n° 8 alla seconda); 23

La probabilità condizionata 2/2 la probabilità dell’evento E1 alla prima estrazione è 1/10 la probabilità dell’evento E2 alla seconda estrazione, subordinatamente al verificarsi di E1 nella prima, cioè la probabilità di E2|E1 è 1/9, poiché i casi possibili sono 9, mentre si ha un solo caso favorevole (uscita della n° 8) Pertanto 1/9= 1/90 / 1/10 P(E2|E1)=P(E2 e E1)/P(E1) 24

Definizione soggettiva di probabilità Ci sono casi in cui non ci sono le condizioni per calcolare la probabilità utilizzando la definizione classica o frequentista, come ad esempio se vogliamo sapere quale squadra di calcio vincerà il campionato se vogliamo sapere se una nuova trasmissione televisiva avrà successo o no In casi di questo genere si fa ricorso all’approccio soggettivista della probabilità. La definizione soggettiva della probabilità di un evento è definita come la misura del grado di fiducia che una persona, in base alle informazioni in suo possesso e alla sua opinione, assegna al verificarsi di un evento. 25

…e adesso… buon lavoro! Rete per la promozione della cultura statistica