La parabola e la sua equazione Si dice parabola il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza da un punto fisso F, chiamato fuoco, e da una retta fissa d, chiamata direttrice. Fissati dunque la direttrice d e il fuoco F, i punti della parabola sono tutti e soli i punti P per i quali , essendo H il piede della perpendicolare condotta da P su d (figura). 1

2 La parabola e la sua equazione Equazione della parabola con asse parallelo all’asse y con a, b, e c coefficienti reali e . L’equazione canonica di questa parabola è Posto , essa ha: vertice nel punto fuoco nel punto per asse di simmetria la retta di equazione per direttrice la retta di equazione Inoltre: se la parabola è concava verso l’alto se la parabola è concava verso il basso 2

3 La parabola e la sua equazione ESEMPIO Nell’equazione della parabola abbiamo Vertice: Fuoco: Asse: Direttrice: Poiché a = 2 > 0 la parabola è concava verso l’alto. 3

4 La parabola e la sua equazione Il grafico Per tracciare il grafico di una parabola, nota la sua equazione, basta trovare il vertice e le coordinate di qualche punto. ESEMPIO Disegniamo la parabola di equazione . Conosciamo già le coordinate del vertice Troviamo le coordinate di qualche punto. x y -2 -1 -3 1 3 4

5 La parabola e la sua equazione Casi particolari Nell’equazione se c = 0 l’equazione assume la forma e il suo grafico passa per l’origine degli assi Casi particolari Nell’equazione se b = 0 l’equazione assume la forma e il vertice appartiene all’asse delle ordinate Se b = c = 0 la parabola assume la forma e ha vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y 5

6 La parabola e la sua equazione Equazione della parabola con asse parallelo all’asse x L’equazione canonica di questa parabola è: con , , coefficienti reali e . Essa ha: vertice nel punto fuoco nel punto per asse di simmetria la retta di equazione per direttrice la retta di equazione 6

7 La parabola e la sua equazione ESEMPIO Nell’equazione della parabola abbiamo e Vertice: Fuoco: Asse: Direttrice: Poiché a = −2 < 0 la parabola volge la concavità nella direzione del semiasse negativo dell’asse x. 7

8 La parabola e la sua equazione Per costruire il grafico, oltre al vertice, troviamo le coordinate di qualche punto attribuendo valori di nostra scelta alla y e calcolando il corrispondente valore di x. y x 1 -1 -3 8

La parabola e la sua equazione Possiamo riassumere tutte le formule nella seguente tabella che evidenzia le corrispondenze fra gli elementi delle due parabole nel caso generale. 9

10 Condizioni per determinare una parabola Per trovare l’equazione di una parabola sono necessari e sufficienti tre informazioni indipendenti, ad esempio: le coordinate di tre punti che le appartengono il vertice e un’altra informazione (ad es: le coordinate di un altro punto, le coordinate del fuoco, l’equazione della direttrice…) le coordinate del fuoco e di un punto appartenente alla parabola l’equazione della direttrice e le coordinate del fuoco 10

11 Condizioni per determinare una parabola ESEMPIO Determiniamo l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y passante per i punti: La parabola richiesta ha l’equazione generale del tipo Imponiamo che essa sia soddisfatta dalle coordinate di ciascuno dei punti assegnati: Risolvendo il sistema otteniamo: L’equazione della parabola è quindi: 11

12 Condizioni per determinare una parabola ESEMPIO Determiniamo l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse, di vertice V (1; -2) e passante per il punto P (-3; 0) Considerata l’equazione generale scriviamo il sistema associato: ordinata del vertice uguale a -2 passaggio per V passaggio per P risolviamio il sistema e troviamo: L’equazione della parabola è 12

13 Condizioni per determinare una parabola In alternativa al precedente metodo, ricordiamo che una parabola che ha vertice in V(x0, y0) ha equazione: cioè nel nostro caso: Imponendo il passaggio per P e svolgendo i calcoli otteniamo lo stesso risultato.  13

14 Posizioni reciproche di una retta e una parabola Per determinare la posizione di una retta rispetto a una parabola si deve: impostare il sistema retta-parabola determinare l’equazione risolvente di secondo grado nella variabile x (oppure y) a seconda del tipo di parabola calcolare il discriminante Δ di questa equazione: se Δ > 0 la retta è secante la parabola se Δ = 0 la retta è tangente alla parabola se Δ < 0 la retta non interseca la parabola 14

15 Posizioni reciproche di una retta e una parabola ESEMPIO La retta di equazione è secante la parabola di equazione . Infatti: Poiché Δ > 0 la retta è secante la parabola. La parabola e la retta si intersecano nei punti di coordinate 15

16 Posizioni reciproche di una retta e una parabola Il caso delle rette tangenti ad una parabola condotte da un punto del piano A seconda della posizione del punto P si possono distinguere tre casi: P è esterno alla parabola Ci sono due rette tangenti per P P appartiene alla parabla C’è una sola retta tangente per P P è interno alla parabola Non esistono rette tangenti per P 16

17 Posizioni reciproche di una retta e una parabola Per trovare le equazioni delle rette tangenti dobbiamo: scrivere l’equazione della retta che passa per in questa equazione m è il valore incognito che deve essere trovato affinché la retta sia tangente alla parabola; scrivere il sistema tra l’equazione della parabola e della retta; trovare l’equazione risolvente del sistema imporre che il discriminante di questa equazione sia uguale a zero 17

18 Posizioni reciproche di una retta e una parabola ESEMPIO Data la parabola di equazione vogliamo determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola passanti per il punto Scriviamo il fascio di rette di centro P: cioè Mettiamolo a sistema con l’equazione della parabola: Eliminiamo la variabile y e ricaviamo l’equazione risolvente: Affinché la retta sia tangente alla parabola, il determinante dell’equazione deve essere nullo: da cui In corrispondenza ai due valori di m si trovano le equazioni delle tangenti 18

19 Posizioni reciproche di una retta e una parabola Nel caso in cui appartenga alla parabola, il coefficiente angolare della retta tangente si può calcolare con la formula: se la parabola è del tipo se la parabola è del tipo 19

20 Posizioni reciproche di una retta e una parabola Data la parabola di equazione , troviamo l’equazione della retta tangente nel suo punto : Abbiamo che: La retta tangente ha equazione: 20